Quizzino della domenica: grandi potenze

Secondo voi, è maggiore 2^3000 oppure 3^2000, dove il carattere ^ indica l’elevamento a potenza? È consentito l’uso della calcolatrice.

maggiore o minore

(un aiutino lo trovate sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p449.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema di Sunil Singh.)

16 comments

  1. Potremmo calcolare 2^3000/3^2000 e vedere se é maggiore o minore di 1.
    Facciamo il log10 di entrambi e viene 3000Log(2)/2000Log(3), cioé 3/2 Log base 3 di 2; questo deve essere maggiore o minore di 0, ed é evidentemente maggiore come lo é il log di qualsiasi numero maggiore di 1.
    Per generalizzare, non conta se all’esponente sono migliaia, centinaia, milioni, etc.
    Qualsiasi eg 2^300000 è maggiore di 3^200000.
    Per far invertire la disequazione serve un numero <1 sul logaritmo in base numero a destra.
    Quindi pure 2^5000… é maggiore di 5^2000….
    O 2^9000… é maggiore di 9^2000….
    Concludendo, rimanendo nel dominio degli interi, se a sx c'è il 2, é sempre maggiore.

      • Scusa, sono andato nel pallone mattutino, lo devi leggere tutto al contrario…

        • Ho riletto, e anche al contrario non funziona…
          2^35^2.
          In generale, x^y può essere maggiore, uguale o minore di y^x. Non esiste un “sempre”

          • Non so cosa sia successo, ma quel 2^35^2 doveva essere: 2^3 è minore di 3^2, tuttavia 2^5 è maggiore di 5^2

  2. Attenzione! La calcolatrice si rompe se uno prova a fare queste operazioni! Compare -E- e poi i tasti non funzionano più!! Non mi stupirei se poi volano le denunce e voglio vedere a spiegare nelle sedi competenti che era tutto uno scherzo!

  3. il mio “ragionamento” che non è un ragionamento, ma un procedere “a naso” è questo.
    Tengo le basi 2 e 3.
    Gli esponenti sono tra loro in rapporto 3:2
    Inizio con un caso semplice
    2^3 e 3^2 , fanno 8 e 9
    aumento un po’
    2^6 e 3^4 , fanno 64 e 81
    aumento , restando nel campo dei conti fattibili a memoria
    2^9 e 3^6 , fanno 512 e 729
    Con la calcolatrice mi spingo a
    2^15 e 3^10 , fanno 8192 e 59049

    la differenza è sempre a vantaggio della potenza con base 3; e in modo incrementale.
    Non vedo perché dovrebbe cambiare andando avanti

  4. Siccome il logaritmo e’ una funzione monotona crescente
    log2(2^30000) e’ maggiore/minore/uguale di log2(3^20000)
    cioe’ 3/2 log2(2) e’ maggiore/minore/uguale di log2(3)
    cioe’ 3/2 e’ maggiore/minore/uguale di log(3)/log(2)

  5. Mi sembra molto più semplice: 2³<3² e ora eleviamo tutto alla 1000.

    • O fare la radice millesima di entrambi i termini, e restano 8 e 9

  6. propritetà dei logaritmi: log(x^y) = y log(x).
    Si analizza
    log(2^3000) log(3^2000)

    3000log2 = 2079 (circa)
    2000log3 = 2197 (circa)

    quindi
    2^3000 < 3^2000

  7. 3^2000 è maggiore di 2^3000
    Come 3^2 è maggiore di 2^3.
    3^20 maggiore di 2^30 e cosi via.

    Lo dice la calcolatrice ;o)

  8. Non volevo risolvere troppo presto il quizzino, per cui rispondo solo adesso :-)

    Chiaramente il primo termine è molto minore del secondo, si tratta di confrontare una grandezza approssimativamente pari a 1.2 * 10^903 con un’altra approssimativamente pari a 1.7 * 10^954 (quest’ultima è circa 1.42 * 10^51 volte la prima).

    Il confronto si risolve a occhio, per le grandezze si lavora di logaritmi; in realtà il logaritmo decimale di 2 fino al terzo decimale lo ricordo a memoria (.301) e anche quello di 3 (.477), per cui l’ordine di grandezza si trova facilmente, e comunque con una qualche calcolatrice, hardware o software, si risolvono i dubbi.

    La cosa curiosa è che, nell’ambito dei numeri composti da una sola cifra decimale, solo 3^N è sempre maggiore di N^3, qualsiasi sia il valore di N (da 0 a 9; ovviamente c’è identità nel caso di N=3); mentre il 2 pareggia col 4, e genericamente il risultato di (base) ^ (esponente) è più grande quando, nella coppia considerata, l’esponente è il maggiore tra i due, ma questo è abbastanza intuitivo.