Secondo voi, è maggiore 2^3000 oppure 3^2000, dove il carattere ^ indica l’elevamento a potenza? È consentito l’uso della calcolatrice.
(un aiutino lo trovate sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p449.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema di Sunil Singh.)
Potremmo calcolare 2^3000/3^2000 e vedere se é maggiore o minore di 1.
Facciamo il log10 di entrambi e viene 3000Log(2)/2000Log(3), cioé 3/2 Log base 3 di 2; questo deve essere maggiore o minore di 0, ed é evidentemente maggiore come lo é il log di qualsiasi numero maggiore di 1.
Per generalizzare, non conta se all’esponente sono migliaia, centinaia, milioni, etc.
Qualsiasi eg 2^300000 è maggiore di 3^200000.
Per far invertire la disequazione serve un numero <1 sul logaritmo in base numero a destra.
Quindi pure 2^5000… é maggiore di 5^2000….
O 2^9000… é maggiore di 9^2000….
Concludendo, rimanendo nel dominio degli interi, se a sx c'è il 2, é sempre maggiore.
Stai dicendo che 2^3 > 3^2?
Scusa, sono andato nel pallone mattutino, lo devi leggere tutto al contrario…
Ho riletto, e anche al contrario non funziona…
2^35^2.
In generale, x^y può essere maggiore, uguale o minore di y^x. Non esiste un “sempre”
Non so cosa sia successo, ma quel 2^35^2 doveva essere: 2^3 è minore di 3^2, tuttavia 2^5 è maggiore di 5^2
non si possono usare il carattere maggiore e minore
Attenzione! La calcolatrice si rompe se uno prova a fare queste operazioni! Compare -E- e poi i tasti non funzionano più!! Non mi stupirei se poi volano le denunce e voglio vedere a spiegare nelle sedi competenti che era tutto uno scherzo!
il mio “ragionamento” che non è un ragionamento, ma un procedere “a naso” è questo.
Tengo le basi 2 e 3.
Gli esponenti sono tra loro in rapporto 3:2
Inizio con un caso semplice
2^3 e 3^2 , fanno 8 e 9
aumento un po’
2^6 e 3^4 , fanno 64 e 81
aumento , restando nel campo dei conti fattibili a memoria
2^9 e 3^6 , fanno 512 e 729
Con la calcolatrice mi spingo a
2^15 e 3^10 , fanno 8192 e 59049
la differenza è sempre a vantaggio della potenza con base 3; e in modo incrementale.
Non vedo perché dovrebbe cambiare andando avanti
Siccome il logaritmo e’ una funzione monotona crescente
log2(2^30000) e’ maggiore/minore/uguale di log2(3^20000)
cioe’ 3/2 log2(2) e’ maggiore/minore/uguale di log2(3)
cioe’ 3/2 e’ maggiore/minore/uguale di log(3)/log(2)
Mi sembra molto più semplice: 2³<3² e ora eleviamo tutto alla 1000.
O fare la radice millesima di entrambi i termini, e restano 8 e 9
Voto per LightKnight!
propritetà dei logaritmi: log(x^y) = y log(x).
Si analizza
log(2^3000) log(3^2000)
3000log2 = 2079 (circa)
2000log3 = 2197 (circa)
quindi
2^3000 < 3^2000
intendevo:
Si analizza
log(2^3000) > < log(3^2000)
3^2000 è maggiore di 2^3000
Come 3^2 è maggiore di 2^3.
3^20 maggiore di 2^30 e cosi via.
Lo dice la calcolatrice ;o)
Non volevo risolvere troppo presto il quizzino, per cui rispondo solo adesso :-)
Chiaramente il primo termine è molto minore del secondo, si tratta di confrontare una grandezza approssimativamente pari a 1.2 * 10^903 con un’altra approssimativamente pari a 1.7 * 10^954 (quest’ultima è circa 1.42 * 10^51 volte la prima).
Il confronto si risolve a occhio, per le grandezze si lavora di logaritmi; in realtà il logaritmo decimale di 2 fino al terzo decimale lo ricordo a memoria (.301) e anche quello di 3 (.477), per cui l’ordine di grandezza si trova facilmente, e comunque con una qualche calcolatrice, hardware o software, si risolvono i dubbi.
La cosa curiosa è che, nell’ambito dei numeri composti da una sola cifra decimale, solo 3^N è sempre maggiore di N^3, qualsiasi sia il valore di N (da 0 a 9; ovviamente c’è identità nel caso di N=3); mentre il 2 pareggia col 4, e genericamente il risultato di (base) ^ (esponente) è più grande quando, nella coppia considerata, l’esponente è il maggiore tra i due, ma questo è abbastanza intuitivo.