Nel garage dove tengo il mangime per i miei cavalli ho una bilancia a due piatti, un sacco con 2,5 Kg di fulminato di biada e un peso da 100 grammi, e devo preparare un sacco con esattamente 1,1 Kg di fulminato. Qual è il numero minore di pesate che mi occorrono per prepararlo? Ho a disposizione tutti i sacchi che mi servono per tenere a bada la biada.
![[bilancia]](https://i0.wp.com/xmau.com/wp/notiziole/wp-content/uploads/sites/6/2020/03/q440a.png?resize=300%2C300&ssl=1)
(un aiutino lo trovate sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p440.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema tratto da Math StackExchange; immagine da FreeSVG.org.)
La indovino con 5!
La indovino con 2 !
Per ora sono a 3, vediamo se riesco a fare meglio.
Ci sono dei limiti fisici? Ad esempio, posso mettere tutti i 2,5 kg di fulminato su un solo piatto? (OK, ho capito che è un problema puramente matematico, ma sempre meglio chiedere)
nessun trucco. Anche il peso può solo essere messo su un braccio oppure non usato.
cos’è il f.d.b. ed è possibile metterlo insieme al peso da 100g, in modo che né l’uno né l’altro si deteriorino o contaminino (oppure esplodano)?
Se è possibile, allora sto per due :-)
il fulminato di biada è un composto molto stabile e suddivisibile, e può tranquillamente essere messo insieme al peso.
Bingo! Sono arrivato a 2 anch’io :-D
Se metto due sacchi vuoti sulla bilancia e aggiungo il fulminato un po’ alla volta nei due sacchi, vale come una sola pesata?
Se non sposti mai il peso direi di sì.
Male che vada è un fuoco di paglia.
Ho letto la “Risposta” del quizzino, e pur essendo ovviamente d’accordo con la soluzione, ho delle riserve per quanto indicato nell’aiutino (che non avevo ancora visto) :-)
Utilizzando 10 sacchi uguali, quindi oltre al contenitore del prodotto acquistato (che potrebbe dover essere restituito), si può disporre di quantità determinate, in rapporto binario tra loro, salvo l’ultimo:
1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, 1/128, 1/256, 1/512, 1/512;
naturalmente si parte con i primi due sacchi vuoti, nei quali si inserisce gradualmente la stessa quantità di materiale, tendendo a mantenere l’equilibrio tra i piatti fino ad utilizzare tutto il materiale originale (a quel punto il contenitore originale è vuoto e si rende disponibile per la restituzione o per altri usi) con l’eventuale spostamento di materiale tra un sacco e l’altro per riequilibrare i piatti della bilancia.
Ora si può togliere uno dei sacchi, che conterrà appunto la metà della quantità in origine, e al suo posto verrà piazzato un sacco vuoto (a questo punto, il terzo), nel quale sarà riversata una parte del contenuto del sacco presente nell’altro piatto della bilancia, fino a riequilibrare nuovamente la bilancia, ottenendo quindi, per ciascun sacco, la misura di un quarto della quantità originale.
Dopo 2 pesate avremo, quindi, 3 sacchi con, nell’ordine, 1/2, 1/4, 1/4; continuando la procedura, cioè mettendo da parte uno dei sacchi e sostituendolo con un sacco vuoto, e poi riequilibrando nuovamente la bilancia spostando materiale da un sacco all’altro, fino ad utilizzare tutti i 10 sacchi che avevamo a disposizione, arriveremo alla situazione indicata all’inizio.
Con queste quantità disponibili si può comporre una qualsiasi altra misura intermedia, mettendo opportunamente insieme i contenuti di uno o più sacchi, con un errore (teorico) massimo pari alla metà della misura più piccola, quindi meno dello 0.1% della quantità totale, che è accettabile nel caso di una normale bilancia a due piatti.
Tornando ai valori stabiliti nel problema, quindi dovendo prelevare 1.1 kg (cioè il 44% dei 2.5 kg, che è il peso iniziale), avremo bisogno di (1.1/2.5)*512/512 = 225.28/512 del peso iniziale, approssimato a 225/512 che si scompone in 128/512 + 64/512 + 32/512 + 1/512 = 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/512 (cioè il secondo, il terzo, il quarto e il nono sacco) con un errore stimato di circa 1.4 grammi in difetto, quindi accettabile, il tutto limitandosi ad equilibrare i piatti, senza utilizzare pesi accessori.
Le 2 pesate sono una soluzione rapida ma vincolata al caso specifico, mentre la procedura lunga risolve qualsiasi problema simile, e si accosta ai classici metodi di conversione da digitale ad analogico (DAC).
se sposti un sacco, hai finito la pesata :-)
:-)
e infatti è per quello che la definisco “procedura lunga”, quando si mette da parte un sacco termina la corrispondente pesata, alla nona (ed ultima) pesata sui piatti restano due sacchi con 5 grammi scarsi di f.d.b. per parte; si potrebbe anche continuare ma non credo che possa essere molto vantaggioso.
(2.5 – 0.1 ) / 2
ho riproposto (citandoti) il quiz su Base5, noto sito di matematica. Tra le risposte ottenute: Ho proposto il quiz a mia moglie (non esattamente un’appassionata di matematica :) ) che mi ha dato una risposta originale che prevede una sola pesata:
Metto su un piatto della bilancia un bicchierino vuoto e il peso da 100 g; nell’altro piatto un bicchierino identico al primo e lo riempio con 100 g di farina.
Poi segno il livello sul bicchiere con un pennarello e lo riempio altre 10 volte senza bisogno di pesarlo.
Non sarà precisissimo ma formalmente mi sembra che non faccia una piega :D
Devi avere un bicchiere :-)
Bisogna avere *DUE* bicchieri, uguali. -E- un pennarello. E un buon occhio :-)
Comunque è interessante il fatto che il f.d.b. sia assimilabile alla farina, pensavo che l’aspetto equivalente fosse quello dei fiocchi di avena, tanto per dare l’idea, anche se in realtà non ho ancora un’idea precisa di cosa si sta parlando :-)