Quizzino della domenica: Triangolo curvilineo

Nel quadrato ABCD di lato 4 mostrato qui sotto in figura sono stati disegnati due archi di cerchio di centro A e B rispettivamente e di raggio 4, che si incontrano in un punto O. Quali sono il perimetro e area del triangolo curvilineo ADO colorato nella figura?


(un aiutino lo trovate sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p367.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema classico.)

3 comments

  1. Ho trovato la seguente soluzione
    \ 16 è l’area del quadrato di lato 4

    \ 16*Pi è l’area del cerchio di raggio 4

    \ 4*Pi è 1/4 dell’area del cerchio di raggio 4

    \ a = arco

    \ t = triangolo fra i segmenti

    \ s = settore compreso fra l’arco e il segmento omonimo

    \ tc = triangolo curvilineo delimitato da archi e lati del quadrato

    AB=BC=CD=DA=AO=OB=4 \ sono i lati del quadrato ABCD e del triangolo equilatero ABO
    4

    AOa=OBa=4*Pi/3 \ sono gli archi del triangolo circolare ABOtc
    4.1887902047863909846168578443726705123

    DOa=OCa=4*Pi/6 \ sono gli archi del triangolo circolare DCOtc
    2.0943951023931954923084289221863352561

    AOBt=16*sin(Pi/3)/2 \ area del triangolo equilatero AOB
    6.9282032302755091741097853660234894678

    AOs=16*Pi/6-AOBt \ area del settore circolare sotteso dall’arco AOa e dal segmento AO
    1.4493771792972727951239303227218515568

    AOBtc=AOBt+2*AOs \area del triangolo circolare AOBtc sotteso dal lato AB e dagli archi AOa e OBa
    9.8269575888700547643576460114671925813

    ADOtc=4*Pi-AOBtc \ area del triangolo circolare ADOtc sotteso dal lato DA e dagli archi DOa e AOa
    2.7394130254891181894929275216508189555

    DCOtc=16-2*ADOtc-AOBtc \ area del triangolo circolare DCOtc sotteso dal lato DC e dagli archi DOa e OCa
    0.69421636015170885665649894523116950769

    AOBtc+2*ADOtc+DCOtc \ somma dei 4 triangoli circolari pari all’area del quadrato
    16.000000000000000000000000000000000000
    infine la soluzione al quesito

    perimetro triangolo curvilineo ADO = DOa + AOa + DA
    10.283185307179586476925286766559005768

    area del triangolo curvilineo ADO = ADOtc
    2.7394130254891181894929275216508189555

  2. C’è stato un problema nella scrittura del testo dove dice “che si incontrano in li sono il perimetro” e inoltre la pagina del quizzino restituisce 404.

    [SEGUE TENTATIVO DI SOLUZIONE]

    Comunque basta osservare che:

    * l’arco DO è uguale all’arco CO e quindi il perimetro del triangolo curvilineo ADO è pari alla somma della lunghezza del lato AD e di quella del quarto di circonferenza AC;
    * l’area del triangolo curvilineo ADO è pari all’area del quarto di cerchio ABD meno quella del triangolo curvilineo ABO e quest’ultima è equivalente a quella di un segmento circolare a una base di ampiezza 2π/3 (120°). Alternativamente: area del settore circolare DAO di ampiezza π/6 (30°) meno area del segmento circolare a una base di estremi A e O di ampiezza π/3 (60°).

    Non sono riuscito a trovare un modo più semplice :-)

  3. Nella pagina della soluzione manca il diagramma della risposta e all’inizio c’è un tag “italic” non chiuso (sì, su queste cose sono spietato :-P).