Gino e Pino decidono di fare una partita a paintball e si accordano di sparare alternativamente finché uno di loro non viene colpito. Gino, che riesce a colpire Pino il 40% delle volte, sarà il primo a sparare. Se entrambi i giocatori hanno la stessa probabilità di vincere il duello, qual è la probabilità che Pino riesca a colpire Gino?
(un aiutino lo trovate sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p303.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema tratto da Varsity Math; immagine di dashell, da OpenClipArt.)
senza andare all’infinito, credo che basti che si raggiunga la parità dopo un colpo sparato da ciascuno. quindi anche il secondo deve avere un 40% al primo sparo. E siccome avrà occasione di sparare solo nel 60% dei casi, a lui gli diamo un bel 2/3. Nel 20% dei casi in cui entrambi saranno ancora puliti, ci si riporta alla situazione iniziale.
Sia p la prob di vittoria del primo e 1-p la prob di vittoria del secondo.
Per risolvere il problema basta osservare che la prob di vittoria del secondo è uguale alla prob che il primo sbagli il suo primo tiro per la prob di vittoria p che il primo aveva prima di commettere tale sbaglio, perché adesso le situazioni del primo e del secondo si sono invertite. Cioè
1-p = 0,6 p da cui p = 5/8
Oltre che con il metodo “elegante” di cui al mio precedente post, il problema, ovviamente, si può risolvere in modo “pedestre”:
Il primo può vincere al 1°, al 3°, al 5°, al 7°…. lancio con prob
0.4 ; 0,4·(0.6)^2 ; 0,4·(0.6)^4 ; 0,4·(0.6)^6 ; 0,4·(0.6)^8 ….
Mettendo in evidenza lo 0,4 e sostituendo gli 0,6^2n con 0.36^n si ottiene una serie geometrica convergente la cui somma è 0,4[1/(1-0,36)]=5/8
Mi fa tornare alla mente questa storiella: due treni distanti fra loro 100 km viaggiano sullo stesso binario uno contro l’altro a 50 km/h. Una mosca che vola a 80 km/h va dal primo treno al secondo e appena lo raggiunge gira e torna verso il primo, e così via con una serie infinita di corse sempre più corte, finché i treni si scontrano e la mosca muore spiaccicata (che esagerazione far scontrare due treni per ammazzare una mosca! Ma non è colpa mia: non l’ho inventata io questa storia). Ovviamente, poiché il viaggio dei due treni dura un’ora, durante la quale la mosca vola sempre a 80 km/h, essa percorre 80 km.
Si racconta che il quesito fu posto a un celebre matematico che diede immediatamente la risposta esatta, al che il suo interlocutore si complimentò dicendo “e pensare che alcuni si mettono a calcolare una serie infinita…” E il matematico con aria stupita “beh, perché? Io così ho fatto!”
mi stimo…