Moltiplicate tra loro la radice quadrata, la cubica, la quarta, la quinta… di 2. Insomma fate il prodotto √2 · 3√2 · 4√2 · 5√2 … Questo prodotto è finito o infinito?
(un aiutino lo trovate sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p207.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema tratto da Math StackExchange).
Non sono sicuro ma credo si possa esprimere il risultato come 2 elevato alla serie armonica semplice (meno 1).
Se questo è corretto il prodotto è infinito perché la serie armonica è monotona strettamente crescente di carattere divergente.
Quello che mi sfugge però è la giustificazione formale del passaggio da
\lim_{N \to \infty}{2^{\sum_{i=2}^{N}{1/i}}}}
a
2^{\lim_{N \to \infty} \sum_{i=2}^{N}{1/i}}
che è necessario per poi sostenere che il tutto diverge. Si vede che sono passati 20 anni dagli esami di analisi :(
per far vedere che diverge basta dimostrare che la successione dei prodotti parziali è crescente e che prima o poi è maggiore di ogni M prefissato, non ti servono i limiti :-)