Quizzino della domenica: geometria solida

In realtà i quizzini sono due…
(1) Un poliedro regolare può naturalmente essere posato su qualunque faccia e rimanere stabile, per ovvie ragioni di simmetria. Non è però difficile costruire un poliedro che posato su una specifica faccia caschi: pensate a un prisma obliquo che sia molto obliquo, tanto che la verticale dal baricentro caschi fuori dalla superficie della faccia. È possibile costruire un solido che caschi se posato su una qualsiasi delle sue facce?
(2) Il baricentro di un tetraedro regolare giace nello stesso piano di due suoi vertici qualsiasi. La cosa è vera anche per un tetraedro non regolare?
[un prisma che casca]
(un aiutino lo trovate sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p183.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problemi di Martin Gardner, da Math Horizons 4:2, novembre 1996

3 comments

  1. Ohhh, almeno il primo lo so dimostrare e non solo per la via empirica per cui ci sono volte che mi cadono solidi di ogni forma e materiale (“Legge delle mani di pastafrolla”) ma anche per via del “Principio degli elementi persi”, della “Legge di Simon” e della “Legge di Guizot”.
    Certo che se una faccia del solido fosse stata spalmata di burro il quizzino sarebbe stato più facile.

  2. Sbaglio, o una risposta affermativa al primo quesito implicherebbe l’esistenza del moto perpetuo?

  3. Per un tetraedro non regolare vale invece la regola che il suo baricentro giace nello stesso piano di due vertici di un qualsiasi altro tetraedro :)