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La successione A052999 di OEIS ha una definizione un po’ strana. Prendiamo un numero primo p e cerchiamo il più piccolo numero primo  q che si ottiene permutando eventualmente le cifre di p aggiungendo se necessario degli zeri. Se non ci sono primi, come nei casi iniziali con 2, 3, 5, 7, si scrive 0; altrimenti prendiamo il valore assoluto della differenza |p − q| Per 11 abbiamo 101, e quindi il quinto valore della successione è 101 − 11 = 90; per 13 abbiamo 31 (e quindi per 31 abbiamo 13) e quindi il sesto (e l’undicesimo) sono 18. Ecco i primi ventidue valori della succesione:

0, 0, 0, 0, 90, 18, 54, 90, 1980, 199980, 18, 36, 360, 3960, 3960, 450, 450, 540, 540, 36, 36, 18.

In genere sono numeri non troppo grandi: solo il decimo termine, quello corrispondente a 29, è piuttosto grande, perché il più piccolo primo della forma 2000…009 è 200009. (Ovviamente un numero primo non può finire per 2 o 0, quindi il suo formato è fissato) E il ventitreesimo termine, quello corrispondente a 983? È

79999999999999999999999999999920.

Il più piccolo primo della forma 8000…003 è infatti $8*10^31+3$. Il bello è che poi la successione torna a valori più civili:

720, 18, 90, 72, 36, 90, 18, 144, 18, 36, 54, 270, 900, 414, 450, 450, 36, 18, 630, 720, 54, 18, 720, 810, 1980, 1800, 1800, 2790, 54, 180, 270, 20250, 1800, 1800, 144.

Non si sa se a parte i primi quattro valori la successione avrà mai uno zero, né si sa molto di più su questa successione: magari un LLM può trovare qualcosa, anche se ne dubito. Diciamo che i matematici si divertono con poco.

Forse non tutti sanno che un qualunque numero intero positivo può essere scritto come somma di al più quattro quadrati di interi positivi, o se preferite di esattamente quattro quadrati di numeri naturali (compreso lo zero). L’affermazione è stata congetturata già da Diofanto; Bachet la tradusse dal greco, Lagrange lo dimostrò e Legendre è considerato colui che nel 1798 ha anche dimostrato che gli unici numeri che richiedono effettivamente tutti e quattro i quadrati sono quelli della forma $4^k (8m+7)$, con k e m numeri naturali. A dire il vero Legendre per dimostrarlo assunse che dati due numeri interi a e b primi tra loro esistono infiniti primi della forma a + nb, con n intero; e Dirichlet dimostrò questo fatto solo quarant’anni dopo. La prima dimostrazione corretta fu del solito Gauss.

C’è però un altro problema apparentemente simile ma in pratica più complicato. Quali sono i numeri interi positivi che non possono essere scritti come somma di quadrati tutti diversi? È facile vedere che tra i numeri di una cifra ci sono 2, 3, 6, 7, 8; relativamente facile trovare 11, 12, 15, 18, 19, 22, 23, 24, 27, 28, 31, 32, 33; poi la cosa si fa più complicata. Gli altri numeri sono 43, 44, 47, 48, 60, 67, 72, 76, 92, 96, 108, 112, 128. Fine. Dopo questi 31 non ce ne sono altri, come del resto dice OEIS. Il tutto è stato dimostrato da Sprague nel 1948, quindi ben dopo il teorema dei quattro quadrati.

Il guaio è che la dimostrazione è per induzione, e passi: ma per la più brutta forma di induzione che io abbia mai visto. Se la guardate su ProofWiki, vedrete che il passo di base è verificare che tutti i numeri da 129 a 324 = 18² sono esprimibili, mostrare che dato un numero k > 324 e calcolato il numero i per cui i² < k ≤ (i+1)² possiamo scrivere k  − (i − 4)² come somma di quadrati distinti nessuno dei quali è (i − 4)², e infine controllare tutti i numeri da 1 a 128 per vedere se possono o no essere scritti in quel modo.

Occhei, non siamo certo al livello delle dimostrazioni IA, ma direi che comunque non è che si impari molto da questa dimostrazione!

Se vogliamo trovare il terzo lato $\overline{AB}$ di un triangolo quando conosciamo gli altri due lati $\overline{AC}$ e $\overline{BC}$ e l’angolo $γ$ tra di loro possiamo usare il teorema del coseno:

$$ \overline{AB}^2=\overline{AC}^2+\overline{BC}^2-2\cdot\overline{AC}\cdot\overline{BC}\cos\gamma $$

Fin qua nulla di così strano, anche se questo teorema di solito non si studia a scuola. Ma se stiamo navigando, la formula non funziona perché non tiene conto della sfericità della terra: ci vuole un teorema dei coseni apposito. La cosa buffa è che in trigonometria sferica non ci sono triangoli simili, quindi le lunghezze dei “lati” di un triangolo sferico (parti di un cerchio massimo sulla superficie sferica) sono indicate dal coseno dell’angolo al centro. Il teorema del coseno sferico è pertanto

$$ \cos c = \cos a \cos b + \sin a \sin b \cos C\ $$

dove $C$ è l’angolo interno del triangolo.

Fin qua ancora nulla di strano. Il problema è che i triangoli in mare sono sì sferici ma relativamente piccoli rispetto al raggio terrestre; quindi $a$ e $b$ sono numeri piccoli, i loro coseni sono molto vicini a 1 e i loro seni molto vicini a 0. Moltiplicando $\sin a \sin b$ otteniamo un numero ancora più piccolo, che sommato a un “quasi 1” si perde. Questo significa tra l’altro che anche adesso che abbiamo le calcolatrici non possiamo usare quella formula perché sballerebbe comunque. Brutta storia. Ma già gli indiani, nel loro trattato di astronomia Surya Siddhanta, avevano trovato la soluzione: la funzione senoverso, definita come

$$\textrm{versin}\theta := 1 – \cos\theta = 2\sin^2\frac{\theta}{2}$$

L’emisenoverso (haversine in inglese) è ovviamente la metà del senoverso, cioè $\textrm{hav}\theta := (1 – \cos\theta)/2$. Il nostro teorema del coseno sferico diventa così

$$\textrm{hav}(c) = \textrm{hav}(a − b) + \sin(a) \sin(b) \textrm{hav}(C)$$

Visto il trucco? La differenza di due valori piccoli è quasi zero, quindi il coseno è quasi 1 e l’emisenoverso quasi zero. Sommiamo insomma due numeri molto piccoli e non abbiamo problemi di perdita di precisione. Sembra incredibile, ma le prime tavole numeriche che tabulavano l’emisenoverso apparvero solo nel 1805, nonostante la loro indubbia utilità; evidentemente già in passato la matematica teorica e quella pratica andavano per conto loro…

PS: Per un algoritmo che uso nel mio lavoro dobbiamo calcolare la distanza di un’abitazione dalla cella telefonica che la serve. I miei colleghi avevano fatto una ricerca in rete e scoperto la formula dell’emisenoverso: non sono riuscito a convincerli che date le distanze in gioco (massimo 35 km) e la (scarsa) precisione dei dati a nostra disposizione l’errore che avremmo avuto usando banalmente il teorema di Pitagora era trascurabile…