Se prendete la radice cubica di 512, ottenete 8. Se fate la somma delle cifre di 512, ottenete 8. È un caso? Noi di .mau.ager crediamo di no. D’altra parte, possiamo vedere se la cosa è così comune, cercando tutti i numeri con questa caratteristica. Per esempio 0 e 1 hanno come radice cubica sé stessi, e quindi la somma della singola cifra è uguale alla loro radice cubica: ma magari ci sono altri esempi. Come trovarli?

Per prima cosa, notiamo che il numero non può essere troppo grande. Se avesse sette cifre la loro somma sarebbe al più 7×9 = 63, ma 63³ è un numero di sei cifre e quindi non possono esserci numeri di sette (o più) cifre con quella proprietà. Quindi il numero può avere al più sei cifre, ed essere al massimo 6×9 = 54. Basta pertanto testare tutti i numeri da 0 a 54 e vedere quali hanno la proprietà richiesta. Oltre a 0, 1 e 512 abbiamo 4913 = 17³, 5832 = 18³, 17576 = 26³ e 19683 = 27³. Questi sette sono gli unici numeri di Dudeney, dal nome del matematico ricreativo che – almeno in era moderna – è stato il primo a trovarli tutti.

Notate che a parte 8 i numeri sono a coppie di consecutivi: 0-1, 17-18, 26-27. E questo sarà un caso? Beh, mi sa di sì…

Ho letto il libro di Daniele Caligiore IA – Istruzioni per l’uso. Non mi è piaciuto molto, ma ne parlerò un altra volta: qui volevo commentare una frase che ho trovato interessante soprattutto per quello che sottintende. Caligiore scrive a pagina 39:

ll problema dell’informazione complessa del mondo reale non è che non possa essere espressa in forma binaria, ma che può non esserlo in forma discreta. Binario o base 10 sono la stessa cosa.

La seconda frase è del tutto corretta: dal punto di vista teorico, lavorare in base 2 o in base 10 non cambia nulla. Occhei, lavorando con calcolatori finiti i numeri (“di macchina”) esprimibili in base 2 non sono gli stessi esprimibili in base 10, almeno se si usa una codifica a virgola mobile: ma non è molto importante. Quello su cui vorrei discutere è se davvero esistono fenomeni che possono essere espressi solo in maniera continua.

La mia prima osservazione è che il verbo usato da Caligiore non è corretto: quello che vogliamo davvero sapere è se l’informazione complessa del mondo reale non possa essere trattata in forma discreta. La differenza è enorme, non tanto per il “discreta” anziché “binaria”, come ho detto sopra, ma per il verbo usato. Noi non vogliamo entrare nelle diatribe se lo spazio e il tempo sono discreti o continui, diatribe che hanno alle spalle due millenni e mezzo di filosofia e mezzo secolo di fisica (se la distanza e il tempo di Planck sono le minime misure esprimibili con le attuali teorie fisiche, non è chiaro se esista qualcosa al di sotto di esse). Vogliamo semplicemente capire se possiamo usare un formato digitale e ottenere dei risultati pratici sensati. In fin dei conti, poi, l’uso di equazioni nel campo continuo per modellare le informazioni fisiche nasce con Galileo. È ovvio che il continuo era già considerato in passato: pensate al sistema tolemaico con cicli ed epicicli per rappresentare le orbite terrestri: ma il movimento era pensato come geometrico e non analitico, tanto che poi si usavano le tavole numeriche per ottenere il risultato originale.

Passiamo dunque alla domanda davvero importante, almeno per me. L’informazione del mondo reale può essere trattata in modo digitale? Caligiore sa sicuramente che i nostri neuroni lavorano in modo discreto: sotto una certa soglia di input non fanno nulla, sopra di essa lanciano una scarica. E sa ancora meglio che i modelli di IA che abbiamo adesso scimmiottano questo comportamento con neuroni virtuali il cui input può tecnicamente essere definito continuo (i pesi sono numeri di macchina semplicemente per le limitazioni hardware, ma sono da intendersi come approssimazioni di numeri reali) ma che hanno un output essenzialmente discreto. Si potrebbe trattare meglio l’informazione del mondo reale in modo analogico? In linea di principio può darsi. Ma dire che potrebbe darsi che sia impossibile trattarla in modo digitale significa che nemmeno noi esseri umani possiamo trattarla, il che di nuovo è di per sé possibile ma sicuramente preoccupante per le nostre speranze di capire il mondo. Quello di Caligiore mi sembra insomma un non-problema, o se preferite una frase a effetto buttata lì…

“canta tra i cespugli zampettando”
(Poesia gaussiana)

Benvenuti all’edizione numero 170 del Carnevale della matematica, dal tema “matematica razionale”! Il 170 si fattorizza 2×5×17: la cellula melodica non ha pertanto altezze o intervalli complicati da prendere, ma non è banalissima da cantare.

Qualche proprietà del 170: essendo il prodotto di tre primi distinti, è sfenico. È difettivo, nontotiente e noncototiente; in base 4 si scrive 2222 e in base 16 AA; fa parte di otto terne pitagoriche distinte. Inoltre è il più grande intero il cui fattoriale può essere memorizzato nel formato a virgola mobile in doppia precisione (“binary64”) IEEE 754; il che probabilmente è la ragione per cui è il più grande fattoriale calcolabile dal calcolatore interno alla ricerca Google.

Veniamo ai contributi!
Dioniso, in Gabriele Lolli: la matematica è consolidata, stabile e cumulativa, racconta come nel terzo capitolo “Matematica on the move” del suo libro, Matematica in movimento, Gabriele Lolli cerca di definire che cosa si intenda per “matematica” e riflette sulla visione che la vuole consolidata, stabile e cumulativa.

Annalisa Santi ha preso spunto dal tema per fare alcune considerazioni sui, più strani, “matematici irrazionali” e sui, più conosciuti, “numeri irrazionali”, intendendo per “matematici irrazionali” intendo alcuni di quei geni matematici che hanno avuto comportamenti o fatto scelte di vita ben lontani da ciò che comunemente viene considerata “razionalità”. Il suo post è “Razionale e irrazionale, spunti di riflessioni matematiche“.

Roberto Zanasi parla di ponti, archi, guglie, catenarie, parabole e Malebolge in Inferno, canto XVIII.

Tra i pesi massimi, i Rudi Mat(h)ematici sono stranamente in anticipo, e insolitamente laconici.
⋄ Cinematica del pettegolezzo : Il titolo dice un po’ tutto quello che c’è da dire: anche per il gossip si può esare la matematica. E’ un Paraphernalia, chi legge RM sa cosa siano i PM.
⋄ Il Ponte è invece uno Zugzwang, quindi la descrizione di un gioco giocabile. Che lo si giochi, dunque.
⋄ Frazioni di girotondo è il Post istituzionale che raccoglie le soluzione al quesito pubblicato sulla rivista madre del blog, “Le Scienze”.
⋄ Un po’ peggio delle api è un altro PM scritto dal GC, pieno di colori e tassellature.
⋄ Buon compleanno Alonzo!, riciclato dal 2018, festeggia il compleanno di Alonzo Church, del 2018. Il titolo originale era “Zone di confine”. Se non lo vedete è per ché il post è schedulato per oggi.

Prendetevela comoda, perché ora arrivano i post di MaddMaths!.
⋄ Il dopolavoro matematico continua la sua esperienza con…un centro estivo matematico! Il Dopolavoro matematico, progetto politico nato a Roma a gennaio 2022, continua la sua esperienza organizzando dal 19 giugno al 14 luglio a Tor Bella Monaca a Roma un centro estivo matematico. Nello spirito del Dopolavoro, l’obiettivo sarà quello di provare a far vivere delle esperienze matematiche differenti da quelle scolastiche ai ragazzi e alle ragazze che parteciperanno. Il centro estivo romano nasce grazie alla collaborazione con Fondazione Bulgari e si aggiunge come località al progetto Summer Camp de Il Cielo Itinerante, associazione che ha organizzato per questa estate 5 camp dello stesso tipo fra Milano e Napoli. Scopriamo insieme a Giacomo Scettri qualcosa di più su questo campo estivo e sulle altre iniziative del Dopolavoro matematico.
⋄ Roma Math Career Day 2023: 22 settembre L’istituto per le applicazioni del calcolo e l’Istituto di analisi dei sistemi ed informatica del Cnr e i dipartimenti di matematica dei tre atenei romani, Sapienza, Tor Vergata e Roma Tre, dopo il successo della prima edizione dello scorso anno, hanno deciso di organizzare il Roma Career Day 2023 allo scopo di mettere in contatto i neolaureati e laureandi in matematica con aziende potenzialmente interessate a reclutarli.
⋄ Festival del Fundraising, tra imperfezione e speranza Si è appena conclusa la sedicesima edizione del Festival del Fundraising, un coinvolgente evento che dal 5 al 7 giugno ha popolato le modernissime sale del Pala Riccione, il Palazzo Congressi di Riccione. Un’attività, quella del fundraising, che può essere molto interessante nei contesti di ricerca o didattica e a cui fanno già appello tante realtà come musei e fondazioni, facendovi dipendere grosse porzioni di budget per le loro iniziative. Per questo motivo abbiamo pensato di approfondire l’argomento e visitare il festival. Un reportage di Jacopo Peretti Cucchi per MaddMaths!
⋄ Tassellazione, i quattro colpiscono ancora: trovato “Spectre”, un monotile aperiodico che supera “Hat” Trovata una nuova tassellazione del piano aperiodica fatta da una sola tessera, una news di Stefano Pisani.
⋄ Le Maschere del Carnevale Matematico: Episodio 10 – sqrt 2, 2sin(45°) Le Maschere del Carnevale Matematico è una serie podcast di Fabio Quartieri per Maddmaths! che raccoglie le interviste dei protagonisti del Carnevale della matematica: docenti, ricercatori, matematici che vogliono raccontare la matematica per renderla più accessibile a tutti. Racconteranno le loro esperienze e i motivi per cui reputano l’attività di divulgazione così importante. I protagonisti di questa puntata sono due autori di libri. Flavio Ubaldini ci ha parlato dei suoi racconti, mentre Elena Tosato delle sue poesie.
⋄ È uscito il numero 13 di “Didattica della Matematica” È uscito il tredicesimo numero della rivista Open Access Didattica della matematica. Dalla ricerca alle pratiche d’aula. Con i suoi tre articoli di riflessione e ricerca, quattro esperienze didattiche e cinque recensioni di libri, anche questo numero intende promuovere e diffondere ricerche, riflessioni, progetti, pratiche, rivolti all’approfondimento dei numerosi aspetti che compongono la complessa e affascinante disciplina della didattica della matematica. Di seguito il sommario con i link agli articoli corrispondenti e sotto l’editoriale di Silvia Sbaragli.
⋄ La Lente Matematica, rubrica di Marco Menale: Correlazione non è causalità. Due grandezze variano insieme. Tendiamo a concludere che l’una è causa dell’altra. Mentre può trattarsi di sola correlazione.
⋄ Letture Matematiche Rivoluzioni matematiche: il Teorema di Noether Con il numero di Giugno de Le Scienze troverete in allegato il nono dei venti volumi della collana dedicata ad alcuni tra i maggiori teoremi matematici. La collana è stata elaborata in collaborazione con la redazione di MaddMaths!. Questo nuovo volume è dedicato al Teorema di Noether ed è a cura di Edoardo Provenzi dell’Università di Bordeaux.
⋄ Il potere dei numeri, Bernard I. Cohen Brevi consigli per letture matematiche. “Il potere dei numeri – Come la matematica ha rivoluzionato la vita moderna” di Bernard I. Cohen, consigliato da Marco Menale.

Al fotofinish arriva Gianluigi Filippelli. Dal suoblog principale, DropSea, c’è solo un post della serie de Le grandi domande della vita: Un integrale sensato?, in cui prova a trovare un senso a una scrittura integrale diciamo piuttosto originale. La maggior parte dei post si trova infatti sul Caffè del Cappellaio Matto, con una serie di articoli dedicati al supereroe Flash e intitolati “Quelli che cavalcano il fulmine”: Catturare pallottole al volo – Correre in verticale – Guida per il camminatore sull’acqua – Parlare a supervelocità – Abbattere muri. Ai post è abbinata una serie di video: il primo è a https://scienzasupereroi.substack.com/p/flash-afferrare-pallottole-al-volo. Infine Topicamente della serie Disney Comics&Science presenta una serie di elucubrazioni teoriche sulla materia topica ideata dal professor Enigm all’inizio della storia.

E io che ho scritto? Per la rubrica Povera matematica, in I complottisti dell’acqua spiego che è facile dire che l’alluvione in Romagna è stata esacerbata dall’apertura delle dighe appenniniche: peccato che non funzioni. Per Matematica light, National Numeracy Day e numerismo prova a inventare una parola per tradurre “numeracy”, mentre Ma 2 è un numero primo? prende spunto dall’annosa domanda “1 è un numero primo?” per mostrare che c’è stato un periodo in cui nemmeno 2 lo era. Tra le recensioni c’è una non-recensione di Hinton, di Mark Blacklock, che ho piantato a meno di un terzo; The Infinite di A.W. Moore vede l’infinito matematico dal punto di vista filosofico; Infinity and the mind di Rudy Rucker per me è sopravvalutato; The Gödelian Puzzle Book di Raymond Smullyan è bello tosto. Infine i quizzini del mese sono Autoseparazione 2d, Quattro 8, Serpenti di fiammiferi, Rapporti e Quasi mezzanotte.

Questo è tutto. Arrivederci a settembre!

Ogni tanto c’è qualcuno che si lamenta che 1 non viene considerato un numero primo. “Ma la definizione dice che un numero è primo se è divisibile solo per 1 e sé stesso, e quindi è verificata!” Un Vero Matematico potrebbe ribattere dicendo “No, la definizione afferma che un numero è primo se e solo se ha esattamente due divisori, e 1 ne ha uno solo”: ma in realtà è tutta una questione di definizioni. Dire che 1 non è primo permette di esprimere il Teorema fondamentale dell’aritmetica in modo più semplice, e nell’ultimo secolo e mezzo questo ha portato alla sua eliminazione dall’elenco dei primi: ma per esempio l’immagine qui sopra è presa dal libro del 1853 Tables of the Prime Numbers, and Prime Factors of the Composite Numbers from 1 to 100,000; With the Methods of Their Construction, and Examples of Their Use di Edward Hinkley e come vedete 1 è considerato primo sin dalla copertina.

Attraverso Pat’s Blog mi sono però imbattuto in questo articolo, che scombina ancora di più le carte in tavola. Chris Caldwell e Yeng Xiong cominciano con il far notare che fino al XVI secolo si seguiva la definizione data dai greci, dove 1 non era un numero ma il generatore dei numeri, e quindi non poteva essere un numero primo perché gli mancava appunto la caratteristica principale. Ma nella tarda latinità nemmeno il 2 era considerato un numero primo! Marziano Capella è il primo a quanto pare ad averne scritto, ma non sono riuscito a trovare la citazione originale in Le nozze di Filologia e Mercurio; quindi vi dovete accontentare di Severino Boezio che nel suo De institutione arithmetica scrive a pagina 30

Et primus quidem et incompositus est qui nullam aliam partem habet nisi eam, quae a tota numeri quantitate denominata sit, ut ipsa pars non sit nisi unitas, ut sunt III V VII XI XIII XVII XVIIII XXIII XXVIIII XXXI

Il mio latino è piuttosto arrugginito, ma direi che il testo dice che un numero viene detto primo se non può essere partizionata in parti uguali diverse dall’unità. Pertanto 2, che viene diviso 1+1, non è evidentemente un numero primo.

E quindi? E quindi niente. Come ho scritto all’inizio, dire che un numero è primo o no è una definizione, e le definizioni si scelgono in modo che siano utili. Al giorno d’oggi l’utilità maggiore si ha nel considerare 1 una unità, cioè un numero che non è né primo né composto, e 2 un numero primo; ma un tempo non era così e in futuro le cose potrebbero ancora cambiare, almeno in teoria. In fin dei conti in algebra i campi a caratteristica 2 si comportano in modo diverso da quelli a caratteristica p, con p un primo dispari… Magari ci si scoccerà di dire “caratteristica diversa da 2” e si toglierà di nuovo 2 dall’elenco dei numeri primi. (No, non credo capiterà, non preoccupatevi!)

Leggo da Rob Eastaway che oggi nel Regno Unito si celebra il National Numeracy Day: una giornata per far sì che ragazzi e adulti abbiano una maggiore confidenza con i numeri. (Ripeto: con i numeri, non con la matematica in genere. Insommma siamo proprio al livello di base). Eastaway nota come parecchi diciottenni non si ricordano più come si calcola una percentuale.

Sarebbe bello avere anche da noi una giornata simile. Ma a parte la mancata volontà politica, ho il sospetto che il problema sia a monte. La parola “literacy” ha il corrispondente italiano in “alfabetismo”, ma “numeracy” non ha una traduzione. Per dire, la voce Wikipedia che corrisponde a quella inglese è “far di conto” ed è in uno stato pietoso. Il libro Innumeracy di John Allen Paulos è stato tradotto come “Gli snumerati” e già il passaggio dall’astratto al concreto (con un altro neologismo, tra l’altro) mostra le difficoltà che abbiamo.

Gli spagnoli hanno “numerismo”: facciamo una campagna per cominciare a usare il nome, come primo passo per cercare di arrivare a una Giornata della Consapevolezza Numerista?

Ultimo aggiornamento: 2023-05-17 12:11

Come sapete, Lewis Carroll non fu solo uno scrittore di narrativa, ma con il suo vero nome Charles Dodgson pubblicò anche testi matematici. Solo che per quanto serio potesse essere mentre faceva matematica, continuava sotto sotto a essere Lewis Carroll: così ideò una serie di simboli per le funzioni trigonometriche, che pubblicò nell’opuscolo The Formula of Plane Trigonometry. I simboli sono quelli che vedete in cima a questo articolo. Se dovessi indovinare la logica seguita da Dodgson/Carroll. a parte il caso del senoverso che credo di aver sentito per la prima volta, tutte le funzioni trigonometriche sono costruite con un semicerchio e un segmento: per il seno il segmento è verticale nel centro (e sin 90° = 1); per il coseno è orizzontale in basso (e cos 0° = −cos 180° = 1); per la tangente è, beh, tangente in alto, e la cotangente è la tangente invertita.

La rivista The Athenæum pubblicò una recensione non esattamente positiva, dove si vedono questi simboli: non sono purtroppo riuscito a trovare una scansione dell’opuscolo. La cosa buffa è che uno potrebbe pensare che sia stata la lobby dei tipografi a remare contro l’introduzione di nuovi simboli, ma pochi decenni dopo Peano riuscì nello stesso intento. Diciamo insomma che forse Lewis Carroll non era poi considerato così tanto (a torto o a ragione) come matematico…

Ultimo aggiornamento: 2023-05-05 09:43

Siamo tutti in grado di riempire un piano con tanti quadratini uguali. Ovviamente dovremmo avere un tempo infinito a disposizione o limitarci a dare una formula esplicita per la posizione dei quadrati, ma i matematici non si curano di queste quisquilie. Anche esagoni e triangoli riempiono il piano in modo semplice: si può dimostrare che un qualunque triangolo o quadrilatero convesso può farlo, e ci sono quindici famiglie diverse di pentagoni (non regolari) connessi che permettono di riempire il piano.

Tutte queste tassellature (è il nome tecnico) hanno una proprietà in comune: sono periodiche. Detto in altri termini, se noi guardiamo il piano mettendo come origine un punto specifico, qualcuno potrebbe traslare il piano e noi non ci accorgeremmo di nulla: su un foglio (infinito) a quadretti possiamo per esempio spostarci di un quadretto a sinistra o a destra. Essendo i matematici quello che sono, si sono presto posti la domanda “esiste una tassellatura aperiodica del piano?

Nel 1961 il logico Hao Wang cercò di scoprire se dato un insieme di piastrelle si poteva trovare un algoritmo che dice se è possibile tassellare con esse il piano. Dimostrò che lo si può fare se e solo se esiste una tassellatura periodica; tre anni dopo Robert Berger mostrò che quel problema era insolubile, presentando un insieme di 20426 tessere diverse che permettono sono una tassellatura aperiodica. Da quel momento è partita una gara per ridurre il numero di tessere distinte necessarie: fino a ieri il record era detenuto da sir Roger Penrose e Robert Ammann, che nel 1974 trovarono le due tessere “dart” e “kite”. (Nota per i pignoli: per garantire che l’unica tassellatura possibile del piano sia aperiodica bisogna specificare alcune regole di adiacenza: lo si fa con degli incastri come nelle tessere dei puzzle che rovinano la bellezza delle forme).

Per quasi mezzo secolo c’è stata la ricerca di “einstein”, la forma singola che tassellasse il piano in modo aperiodico, chiamata così non in omaggio ad Alberto ma perché in tedesco “ein Stein” significa “una pietra”. Ci furono alcuni risultati, ma la tessera ottenuta non era semplicemente connessa (cioè era fatta di pezzetti sparsi qua e là) e quindi è squalificata. Ieri però è giunta la notizia che David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan, e Chaim Goodman-Strauss hanno trovato una singola tessera, che hanno chiamato “hat”, cappello, con questa proprietà; o per meglio dire hanno trovato una famiglia di tessere di cui l’hat è il membro archetipico. Trovate qualche informazione aggiuntiva in questo toot di John Baez.

La parte più interessante di tutto questo è che le tassellature aperiodiche possono esistere in natura! I quasicristalli sono strutture di questo tipo, che permettono per esempio di avere una simmetria pentagonale che era vietata dalla teoria. (Ricordo che l’aperiodicità è solo per traslazione, la rotazione è permessa). Nessuno avrebbe pensato a cercare queste strutture minerali se non ci fosse stato questo esempio teorico…

Con la scoperta della singola tessera, la storia finisce qui? Non ancora. Questo hat ricopre il piano, ma occorre anche rovesciare la tessera oltre che traslarla e ruotarla. Sarà possibile evitare questa macchiolina?

Ultimo aggiornamento: 2023-03-22 11:31