Noi diamo per scontato che i numeri non interi si scrivano con la virgola… tranne se abbiamo tra le mani un testo in inglese dove il separatore dei decimali è un punto. Colpa dell’imperialismo americano: di per sé il sistema metrico decimale e le norme ISO vorrebbero la virgola, ma gli Yankee (o sono stati gli albionici?) sono riusciti a infilare un’eccezione che complica la vita a tutti. A parte questo problema di notazione, scrivere un numero in formato decimale è una cosa relativamente moderna: prima ci si è dovuti abituare a scrivere i numeri con le cifre indo-arabiche, poi qualcuno ha avuto l’idea di continuare a usare lo stesso sistema anche per rappresentare le parti dell’unità.

Ma quando è stato quel “poi”? I libri di storia della matematica danno come ideatori Christophorus Clavius (quello del calendario gregoriano) e Simon Stevin verso la fine del 1500. Ma Gerd van Brummelen ha scritto un articolo in cui afferma che l’ideazione del punto decimale è precedente di un secolo e mezzo, ed è da assegnare all’astronomo e matematico italiano Giovanni Bianchini. Un po’ di contesto: van Brummelen è il massimo esperto contemporaneo di storia della trigonometria. La trigonometria di cui stiamo parlando non è esattamente quella che studiamo a scuola, ma quella sferica, che serviva per trovare le posizioni dei pianeti nel cielo e quindi calcolare le loro orbite. Per farlo, occorreva una grande precisione, quella che tra l’altro permise a Keplero di guardare i dati delle osservazioni di Marte raccolti da Tycho Brahe e accorgersi che qualunque sistema di riferimento si scegliesse quell’orbita non poteva per nulla essere circolare, e quindi portò alla formulazione delle sue tre leggi. Le funzioni trigonometriche però sono le stesse nostre; a partire dall’antichità si compilarono delle tavole sempre più precise, con un lavoro certosino tenuto conto che i “calcolatori” erano esseri umani e che non è nemmeno possibile calcolare analiticamente senza saper risolvere equazioni cubiche il seno di un grado ma bisogna usare metodi approssimati.

Storicamente i sottomultipli del grado, seguendo l’antica tradizione babilonese, erano divisi in sessantesimi: le partes minutae primae e le partes minutae secundae (ma anche tertiae e oltre), mentre per quanto riguardava i valori li si moltiplicava per una grande potenza di 10 in modo da avere solo numeri interi. Bianchini aveva una formazione da mercante e non da astronomo: non era quindi legato a queste convenzioni, e nel suo testo (manoscritto…) del 1440 Tabulae primi mobilis B usa quello che indubitabilmente è un punto decimale, tanto che spiega addirittura come fare le moltiplicazioni con quei numeri. Forse è proprio per questo suo non essere mainstream che la sua notazione si perse. Van Brummelen è però convinto che Clavius non abbia reinventato il separatore decimale, ma abbia riciclato senza dire nulla il risultato di Bianchini, tanto che usa il punto solo nelle opere astronomiche e non nel resto della sua produzione successiva. Viste le credenziali accademiche di van Brummelen, non vedo perché non possa essere così.

Comunque sia andata la storia, una cosa è certa: quando finalmente la comunità matematica ha capito l’utilità del separatore decimale, non ha più potuto farne a meno. Se solo ci si fosse stabilizzati su una singola notazione…

(Immagine di Gerd van Brummelen, tratta dall’articolo di Nature qui citato)

Ultimo aggiornamento: 2024-02-28 09:51

Forse Wordle non ha più l’hype di un paio d’anni fa, ma continua a esserci un nutrito gruppo di fedeli giocatori. Ed è ovvio che i giocatori si interrogano su quale sia la strategia migliore di gioco. Così il New York Times, che si è comprato i diritti del gioco, ha creato Wordlebot, che analizza la partita che abbiamo giocato e mostra come lui avrebbe fatto di meglio. Tra l’altro, con il 2024 Wordlebot ha cambiato la parola iniziale da lui usata: non più SLATE ma TRACE.

Però Wordlebot non usa tutte le possibili parole inglesi di cinque lettere, 12974, ma solo un loro sottoinsieme che comprende quelle che sono effettivamente soluzioni possibili (2309) oltre a un paio di migliaia di altri termini. In Wordle infatti l’elenco delle soluzioni contiene solo quelle che dovrebbero essere le parole inglesi più comuni: che sia vero o no non lo so, posso solo dire che a volte devo cercare sul vocabolario il significato del risultato. Cosa succederebbe se il bot avesse a disposizione tutte le parole possibili e dovesse cercare una soluzione? Qui ci viene in aiuto la teoria dell’informazione, che ci permette di dare una misura quantitativa (l’entropia) alla nostra conoscenza. Più l’entropia è alta, più informazione abbiamo in media. La prima scelta migliore pare essere SOARE (arcaico per “giovane falco”), che ha circa 5,89 bit di entropia. Questo valore significa che dopo averla giocata il numero medio di possibili soluzioni si riduce di un fattore 2^{5,89, anche se c’è chi afferma che ROATE sia meglio. Mi stupisce solo che questo acronimo sia presente tra le possibili parole inglesi… Da qua si può andare avanti a cercare una seconda parola. Se non possiamo sapere in anticipo il nostro punteggio con il primo tentativo, dopo SOARE si dovrebbe usare THILK (altra parola arcaica che può significare “this” o “that”) che aggiunte 4,11 bit di entropia; ma a questo punto esistono altre coppie leggermente migliori – so che una comincia con SLANE ma non so qual è la seconda parola.}

Tutto bellissimo, ma c’è un ma. Un computer non ha problemi a scegliere quelle parole e verificare a una a una le scelte rimanenti. Noi esseri umani non vogliamo certo ricordarci a memoria tutto l’albero di combinazioni possibili a seconda del risultato del primo nostro tentativo; quindi sceglieremo una parola diversa, subottimale ma più semplice da gestire. Al momento per esempio il mio primo tentativo è STARE, che non sarà il massimo ma è abbastanza buona. La morale di tutto ciò? Ricordarsi che va bene la competizione, ma dovremmo ricordarci che in fin dei conti stiamo giocando, e non val la pena perdere tutto il divertimento!

Il principio dei cassetti è uno degli strumenti più usati nei giochi matematici, ma anche nella matematica “seria”. La sua formulazione, almeno per come viene di solito riportata in Italia (anche Wikipedia lo definisce così) è la seguente: “se abbiamo una cassettiera con n cassetti, in qualunque modo ci mettiamo dentro n+1 oggetti possiamo essere certi che almeno un cassetto conterrà almeno due oggetti”.

Dimostrare il principio dei cassetti è così facile che sembra che ci sia qualcosa sotto. Numeriamo gli oggetti da 1 a n+1, prendiamo i primi n e li mettiamo in un cassetto, evitando di metterne due nello stesso cassetto sennò abbiamo perso. Alla fine l’ultimo oggetto rimasto deve andare da qualche parte, ma tutti i cassetti sono occupati.

Uno dei problemi più noti che sfruttano il principio dei cassetti è quello di mostrare come a Roma ci siano due persone con lo stesso numero di capelli. La dimostrazione consiste nello stimare il massimo numero di capelli che può avere in testa una persona, verificare che è minore del numero di abitanti nella capitale, e applicare il principio dei cassetti. Questo è però un classico caso di problema malposto: la soluzione è anche corretta, ma basta passarsi la mano in testa e con ogni probabilità vi rimarrà qualche capello (a meno che non siate calvi…) e quindi non esiste un momento in cui si possa stabile quali siano le due persone co-tricotiche. Ma anche nome e attribuzione del problema fanno una certa confusione!

Peter Gustav Lejeune Dirichlet usò il principio in un suo lavoro del 1842 sulle equazioni di Pell (equazioni quadratiche di cui si cercano le soluzioni intere), e in molte nazioni soprattutto nell’Europa dell’est si parla infatti di principio di Dirichlet oppure di principio dei cassetti di Dirichlet. Non che lui gli avesse dato un nome, ritenendo evidentemente la cosa troppo banale; solo in seguito l’ha chiamato “Schubfach Prinzip” che sta appunto per “principio del cassetto” (singolare). Pat Ballew riporta però un’attestazione precedente – e fin qui nulla di strano, vista l’ovvietà del principio – in un’opera inaspettata: i Portraits littéraires di Charles Augustin Sainte-Beuve, che riporta l’esempio dei capelli e lo fa risalire a Pierre Nicole, giansenista contemporaneo di Pascal che a sua volta l’avrebbe preso da Jean Leurechon.

Nel mondo anglosassone la parola “Schubfach” (o l’equivalente francese “tiroir”) è stata resa con “pigeonhole” perché quello era il nome delle strutture con tanti piccoli spazi dove mettere le buste, che magari avete ancora visto alla reception di un vecchio albergo. Solo che poi chi come noi l’inglese non lo mastica tanto bene ha preso il significato letterale, e adesso si sente parlare del principio della piccionaia. Considerata la quantità di deiezioni dei pennuti, preferisco continuare a parlare di cassetti…

Se volete verificare di aver compreso bene il principio, eccovi tre problemi.

• I 15 cavalieri della tavola rotonda hanno pasteggiato un po’ troppo prima di sedersi a discutere, e quando si sono seduti nessuno di essi era seduto al proprio posto. Dimostrate che è possibile ruotare la tavola in modo che ci siano almeno due persone al posto corretto.
• Se scegliete sei numeri interi tra 1 e 999 ce ne saranno almeno due la cui differenza è un multiplo di 5.
• Avete una bilancia a due piatti e 28 monete, una delle quali è più pesante delle altre. Dimostrate che non è possibile trovare quale sia la moneta più pesante con tre pesate.

Un’ultima cosa. Naturalmente il principio dei cassetti non vale se i cassetti sono infiniti: se abbiamo una fila infinita di cassetti numerati 1, 2, 3, 4, … e prendiamo gli ℵ₀+1 numeri pari con in più 1, possiamo lasciare quanti buchi vogliamo. Ma c’è anche chi ha affermato che il principio è violato nella fisica quantistica, e possiamo avere tre particelle in due scatole senza che nessuna particella contenga più di una particella. Si direbbe ovvio che uno degli autori del paper faccia di cognome Colombo :-). Purtroppo però a quanto pare l’interpretazione data dagli autori di quell’articolo sembra errata…

(immagine da FreeSVG)