(questo mi sa che sia venuto troppo complicato. Ragione di più per chiedere commenti, in modo che possa capire come semplificarlo!)
Tra le domande che mi vengono fatte “visto che tu sei matematico”, ce n’è una che mi arriva abbastanza spesso; non sono mai riuscito a capire perché mai la gente la trovi così interessante. La domanda, come avrete intuito dal titolo, è “Ma è proprio vero che 0,999999… con tutti 9 fino all’infinito è uguale a 1”? Non so in effetti quale sia la molla che scatta a chi me lo chiede: forse c’è il concetto dell’infinito potenziale che non si può mai raggiungere, forse echi nascosti del paradosso di Achille e della Tartaruga, forse i giochettini con la calcolatrice “scrivi 1/3*3 e vedi che cosa succede…”, o chissà cos’altro. Poi intendiamoci: la domanda è perfettamente lecita, visto che la risposta (sì, per quelli che non hanno voglia di leggere fino in fondo) è stata formalizzata in maniera completa solo da 150 anni; addirittura, se si vuole essere alternativi a tutti i costi, si potrebbe anche dire che la risposta è “no”: ma quello sarà l’argomento di un’altra mia notiziola.
Se ci si fida delle formulette pratiche, basta usare quella che si studiava alle medie ai miei tempi, e che vi presento qua nella sua versione più semplice, quella per convertire in frazione un numero della forma 0,abc...lmabc...lm..., cioè compreso tra 0 e 1, e con il periodo formato dalle cifre abc…lm. Se la lunghezza di questo periodo è di k cifre, basta avere una frazione che a numeratore abbia il periodo e a denominatore un numero formato ripetendo k volte la cifra 9. Come esempio pratico, 0,142857142857142… è uguale a 142857/999999, cioè a 1/7. E 0,999999…? Il periodo è di una sola cifra, la regoletta mi dice di fare 9/9, cioè 1. Ma magari uno della formuletta non si fida, e vuole andare più a fondo nella questione.
Un po’ di storia
Comincio allora con una provocazione. Innanzitutto, ha senso parlare di 0,999999…? Qualcuno è capace a misurare 0,999999… metri, o sintonizzare una radio a 0,999999… megahertz? Ovviamente no. Ogni misurazione ha una sua precisione e un suo margine di errore. La domanda iniziale, in un certo senso, è perciò assolutamente inutile. Addirittura i fisici oggigiorno ci dicono che non è possibile avere una precisione infinita, per il principio di indeterminazione di Heisenberg: insomma, la domanda è del tutto teorica. Ma questo non sarebbe un grave problema, visto che in fin dei conti qui stiamo parlando di matematica e non del mondo reale. Più interessante è un’altra obiezione, quella che fa notare che scrivere un numero con la virgola è un concetto piuttosto moderno.
Gli arabi introdussero la notazione nel XV secolo, in Europa essa apparve (probabilmente in maniera indipendente) per opera di Simon Stevin nel 1585, ma non si diffuse fino a dopo la rivoluzione francese, quando il sistema metrico decimale le diede la spinta finale. Pensateci su: se io dico 0,1 kilometri si capisce subito di che distanza sto parlando (sono cento metri), ma dire 0,1 miglia (176 iarde, o 528 piedi) significa ben poco, per chi i conti li fa in piedi e iarde! Non è un caso che la formuletta mostrata sopra converta un numero periodico in una frazione; per le attività pratiche, le frazioni sono molto più semplici da visualizzare, e non è un caso che ore e minuti siano divise in sessanta parti e i giorni in 24 ore. Il fatto che un terzo di ora siano 0,3333333…. ore non dà fastidio a nessuno, visto che tutti pensano immediatamente a venti minuti e di puntini all’infinito non ce ne sono per nulla. L’ultima cosa su cui sono più o meno d’accordo tutti è che i numeri si possono mettere belli ordinati su una retta, che viene appunto chiamata retta dei numeri. Se pensiamo a un metro di quelli da muratore o da sarto, oppure a un termometro analogico così che ci siano anche i numeri negativi, l’idea è chiarissima; magari facciamo un po’ fatica a collocare esattamente pi greco, ma la cosa non ci turba più di tanto perché immaginiamo che sia un poco a destra del 3, e se prendiamo una lente d’ingrandimento lo possiamo collocare in maniera ancora più precisa.
Diamoci un taglio!
Adesso sappiamo che i numeri con la virgola hanno sì e no duecento anni di uso pratico. Ma i numeri con infinite cifre dopo la virgola sono ancora più giovani, in effetti, e sono un prodotto di un complicato sforzo per capire cosa sono esattamente i numeri reali; numeri che venivano allegramente usati da secoli in analisi matematica senza che nessuno fosse poi realmente sicuro di cosa stava facendo. Questa sezione è un po’ più complicata: potete tranquillamente saltarla e passare alla successiva, se vi sentite troppo male.
Dopo tutti quei secoli di tentativi, alla fine fu Richard Dedekind a tirare fuori una soluzione accettata da praticamente tutti i matematici, che permette di definire un numero reale per mezzo dei numeri razionali; per la precisione, da due insiemi di razionali. Il modo che si usa di solito per spiegare come si fanno queste successioni è il definire la radice quadrata di due. Si prendono tutti i numeri razionali positivi e li si mettono in due insiemi: quelli il cui quadrato è maggiore o uguale a due, e quelli il cui quadrato è minore di due. Sì, lo so che non c’è un numero razionale il cui quadrato sia due, ma questo non è un problema, come vedremo.
Chiamiamo i due insiemi T+ e T-, e aggiungiamo tutti i razionali negativi e lo zero in T-. A questo punto abbiamo due insiemi – due semirette, se preferiamo guardare la retta dei numeri – tali che:
– ogni numero razionale appartiene ad esattamente uno dei due insiemi
– tutti i numeri dell’insieme T- sono minori di ciascun numero dell’insieme T+
Una suddivisione dei numeri razionali che rispecchi queste due caratteristiche si chiama taglio di Dedekind; la ragione del nome è chiara, se si pensa alla retta dei numeri e a un coltello molto affilato che la tagli in due parti. Il genio di Dedekind sta nell’avere affermato che i due insiemi sono un numero; se preferite essere un po’ più formali bisognerebbe dire che “rappresentano” un numero, ma un vero matematico non si preoccupa di tali distinguo formali. Un matematico si preoccupa solo che le definizioni siano corrette e coerenti: che cioè esistano delle operazioni “somma” e “prodotto” tali che “sommare” e “moltiplicare” due suddivisioni diano una suddivisione che corrisponda alla somma e al prodotto dei due numeri corrispondenti; e che se due numeri sono uguali anche i due insiemi corrispondenti lo siano. Vi risparmio tutta la parte tecnica di verifica di queste cose; l’unica cosa che è davvero interessante è che a volte capita che l’insieme dei numeri più piccoli abbia un massimo, a volte capita che l’insieme dei numeri più grandi abbia un minimo, e altre volte nessuno dei due insiemi ha un limite, come nel caso di T+ e T- che abbiamo visto sopra.
Non può darsi il caso che entrambi gli insiemi abbiano rispettivamente un massimo e un minimo. Infatti questi due valori devono essere distinti, altrimenti il numero apparterrebbe a entrambi gli insiemi; ma a questo punto possiamo prendere la media tra i due valori, che sarà un numero che non può appartenere a nessuno degli insiemi, e ciò non è possibile.
Finalmente ci siamo. I numeri razionali sono tutti e soli quelli per cui nella rappresentazione con i due insiemi uno di essi ha un limite; e quel limite è il nostro buon vecchio numero razionale. Tutto quello che rimane d’altro sono i numeri irrazionali; sappiamo dai tempi di Pitagora che ci sono, e siamo finalmente riusciti a disegnarli sulla retta dei numeri. D’accordo, sto barando un po’ perché dovrei anche dimostrare che in questo modo abbiamo finito tutti i numeri che possiamo trovare sulla nostra retta; posso garantirvi però che il modello di Dedekind ci assicura anche quello, sfruttando il principio di Archimede.
No, non è quello dell'”eureka” mentre faceva il bagno, ma una proprietà che dice che dati due numeri positivi a e b, è sempre possibile trovare un multiplo di a che sia maggiore di b. Prendiamo ora i due insiemi U-, definito come “tutti i numeri minori di 1” e U+, “tutti i numeri maggiori a 1”. Nell’insieme U- troviamo 0,9, 0,99, 0,999, …. e anche il nostro 0,999999… deve stare lì, visto che sicuramente non può essere maggiore di 1. U+ e U- non formano un taglio di Dedekind, perché lasciano fuori 1, ma da qualunque parte noi lo mettiamo otteniamo il nostro bel taglio, che per quanto detto sopra equivale al numero 1. Insomma, ce l’abbiamo fatta! (almeno fino al mio prossimo articolo)
Ricapitolando
Perché insomma possiamo dire che 0,999999…=1? Beh, abbiamo sfruttato fondamentalmente due cose. Il principio di Archimede, che possiamo anche esprimere dicendo “se prendiamo abbastanza granelli di sabbia possiamo fare un mucchio grande a piacere”, e che ci dice che se due numeri sono diversi, la loro differenza può essere ingrandita fino a superare una quantità a piacere; e il “modello standard” della retta dei numeri, che unito al taglio di Dedekind ci dice che se siamo sicuri di non aver lasciato nulla da parte siamo per forza arrivati allo stesso numero. Aggiungo, per chi si fosse perso per strada, che di per sé il fatto che esistano dei numeri irrazionali non c’entra nulla con la dimostrazione, anche se ce lo siamo trovati come bonus mentre facevamo i tagli di Dedekind: una conferma insomma della formuletta all’inizio che ci diceva che 0,999999… era in realtà una frazione. Per il momento è tutto, ma aspettatevi qualcosa di completamente diverso!

Ultimo aggiornamento: 2008-07-23 11:22

(la lista delle parole matematiche si trova qua!)
Siamo di nuovo in periodo di politici arrestati, e così le parole matematiche tornano alla ribalta con quanto detto dai nostri simpatici politici. Di “teorema”, usato in senso assolutamente opposto a quanto fanno i matematici, ho già scritto l’anno scorso, anzi è stata la parola che ha iniziato questo dizionario: oggi tocca a “tangente”, che ha una storia ancora più divertente.
La parola tangente deriva dal verbo latino tangere (con l’accento sulla a, per la cronaca), che ha il significato di “toccare” ed è una creazione tutta italica: non sono state infatti trovate radici indoeuropee corrispondenti. Chi ha un’infarinatura di cultura cattolica e/o artistica magari si ricorda il “Noli me tangere” (non toccarmi) pronunciato da Gesù appena risorto alla Maddalena. La parola passa all’italiano, tanto per cambiare, con Dante, ma di per sé non ha avuto un grande successo: l’unica espressione italiana in cui la si può trovare è “non mi tange”, nel senso di “non mi tocca, non me ne può importare di meno”. Per curiosità, il passato remoto farebbe “tansi, tangesti, tanse”, anche se nessuno lo usa. Più usato il derivato tangibile, nel senso di “che si può toccare con mano”, anche in senso figurato; di un vantaggio tangibile te ne accorgi, insomma.
Galileo però recuperò il verbo, anzi il suo participio (tangente, appunto) per indicare una retta con un punto in comune a una curva, e da lì il significato matematico iniziò a prosperare… non solo tra i matematici, visto che l’espressione “filarsela per la tangente” deriva da qua. Per amor di precisione, la definizione matematica attuale di tangente è un po’ diversa, visto che due curve sono tra loro tangenti se si toccano in un punto “che vale almeno per due”, ma si sa che i matematici sono dei precisini, a differenza della lingua comune dove la tangenziale tocca tutto il contorno di una città. Da questo punto di vista, i tedeschi che parlano di Ring (anello) sono più corretti!
Tra l’altro, il secondo significato matematico di tangente, vale a dire la funzione trigonometrica che si ottiene dividendo il seno per il coseno di un angolo, è una banale estensione di questo: se si prende un cerchio di raggio uno, si disegna un angolo x e si prolunga uno dei due raggi dell’angolo fino a incontrare la tangente (appunto…) al cerchio che passa dall’altro raggio si ottiene un segmento la cui misura è appunto la tangente dell’angolo.
Che c’entra tutto questo con i soldi passati sottobanco? C’entra, c’entra. Ricordate che avevo scritto all’inizio che il verbo “tangere” significa “toccare”? Nella seconda metà del XVIII secolo, la parola tangente prese il significato di “quota che tocca a ciascuno quando si dividono le spese o i guadagni”. In un resoconto della rivoluzione americana, si trova infatti la frase “La sostanza delle parole è che gli abitanti di quella Provincia pagassero «la loro tangente di tali tasse come erano allora levate, o che si dovessero levare in appresso dal Parlamento in Inghilterra»”. Il termine perse di importanza nel corso dell’Ottocento, dato che i puristi lo deprecarono, per poi essere ripreso nel 1977, con lo scandalo Lockheed. Il significato era ancora quello di “quota”, anche se a questo punto la quota era quella che toccava al potentino di turno solo perché lui esisteva. La parola ha però preso rapidamente quota :-), ci si è dimenticati del significato originale, e ormai significa solo “somma versata illegalmente per ottenere dei favori”, senza più pensare al “toccare”… a meno naturalmente che uno ritenga che gli tocchi qualcosa per il solo fatto di essere Uno Che Conta! (come? dite che in effetti è così? ah, scusate…)
Ah: il tango, nonostante il nome e il fatto che i due ballerini senza dubbio si tocchino, non ha alcuna relazione col verbo “tangere”. La parola sembrerebbe essere onomatopeica dal suono dei tamburi. Che adesso nel tango i tamburi non si usino più è irrilevante.

Ultimo aggiornamento: 2008-07-15 10:16

Se non siete per le strade a cantare la Marsigliese, potete andare a fare un salto da Matematicamedie per leggere la terza edizione del Carnevale della Matematica, ospitato appunto da Giovanna. Garantisco non ci sono solo formule :-)
E visto che la matematica non va certo in ferie, sono lieto di annunciarvi che anche il 14 agosto avremo un Carnevale! Chartitalia si è infatti offerto di ospitare l’edizione preferragostana. Magari ricordatevi di inviargli i vostri contributi (trovate il suo indirizzo email in alto a destra nel suo blog) con qualche giorno in più di anticipo, così potrà preparare il tutto e andare a cercare un po’ di sole anche lui.

Ultimo aggiornamento: 2008-07-14 16:30

Non so se è tempo di compiti per le vacanze o se Yahoo! Answers picchia come sempre duro, ma una ventina di minuti fa qualcuno è arrivato sul mio blog facendo la ricerca sulla frase “si lanciano due dadi trovare la probabilità che la somma dei due punteggi sia divisibile per tre“.
Questo è il classico problema che si può affrontare alla maniera dell’ingegnere (si calcolano le probabilità di ciascun risultato multiplo di tre possibile lanciando due dadi, e le si sommano), oppure alla maniera matematica, dove si fa una fatica boia per trovare un sistema per non far fatica a fare i conti (anche perché non è affatto vero che i matematici li sappiano fare, i conti!)
Come lo risolverebbe un matematico? Beh, inizierebbe a lanciare il primo dado. C’è una probabilità 1/3 che si ottenga un multiplo di tre (caso A), una probabilità 1/3 che si ottenga un valore che diviso per tre dia resto 1 (cioè si ottenga 1 o 4: caso B), una probabilità 1/3 che si ottenga un valore che diviso per tre dia resto 2 (caso C). Lanciando un secondo dado, per avere la somma multipla di tre possiamo partire dal caso A e avere di nuovo un multiplo di tre (probabilità 1/9), oppure dal caso B e ottenere 2 o 5 (probabilità 1/9) oppure dal caso C e ottenere 1 o 4 (probabilità 1/9). Totale delle probabilità: 1/3.
Immagino che a questo punto gli “ingegneri dentro” mi diranno che il mio approccio è più lungo del loro, e non hanno tutti i torti. Supponiamo però che adesso ci venga chiesto “e se lanciamo cento dadi, qual è la probabilità di ottenere un risultato multiplo di tre?” In questo caso, mettersi a fare tutti i conti è improponibile: invece con l’approccio qui sopra si vede che anche dopo il secondo lancio le probabilità di avere resto 0,1,2 sono sempre 1/3, 1/3 e 1/3 ed è immediato che a ogni lancio successivo del dado queste non possono variare: siano due, dieci, cento lanci la probabilità finale di avere un risultato multiplo di 3 è 1/3. QED.
La morale di questa favola non è “il metodo matematico funziona meglio di quello ingegneristico”, quanto piuttosto “a volte, generalizzare il problema rende più facile trovare la soluzione”. Se vi avessi subito proposto la versione “cento lanci”, probabilmente vi sareste messi a cercare una soluzione sulla falsariga della mia; con i due lanci, non vi sarebbe nemmeno venuto in mente di fare così. Il metodo si può anche applicare alla vita reale (ogni tanto, si intende!)

Ultimo aggiornamento: 2008-07-12 12:37

Ricordo agli interessati che tra sette giorni avremo la terza edizione del Carnevale della Matematica, ospitato da matematicamedie. Mandate a Giovanna i vostri contributi!

Ultimo aggiornamento: 2008-07-07 13:45

Uno, due, tre, quattro… mille… un milione… un miliardo… un fantastiliardo… Beh, che numero sia esattamente un fantastiliardo non è così certo, o perlomeno non saprei citare il numero esatto di Topolino in cui è stato definito formalmente. Sono capaci ad averlo fatto, sì. Però direi che siamo tutti d’accordo che ai numeri si può dare un nome, e che noi siamo abbastanza fortunati da poter dare un nome – in italiano, in inglese, in klingon o nella vostra lingua preferita – a ogni numero. No, ricominciamo da capo. Sicuramente possiamo dare un nome a ogni numero intero (o frazionario, o irrazionale algebrico). Dopo Cantor sappiamo infatti che i numeri reali sono “più infiniti” delle parole che abbiamo a disposizione; quindi se volessimo dare un nome a tutti i numeri reali, e non solo a pi greco o alla radice di due, siamo fregati in partenza: anzi, la percentuale di numeri a cui possiamo dare un nome è virtualmente nulla rispetto al totale. Ma questa è un’altra storia.
Limitiamo pertanto il nostro scopo e torniamo ai numeri interi, dove insomma si direbbe che siamo a posto. Qualunque numero finito uno scriva, lo possiamo leggere, sgolandoci al più con una sfilza di “miliardi di miliardi di miliardi”, o al limite risparmiando un po’ di voce sfruttando la norma CEE/CEEA/CE n.55 del 21/11/1994 che definisce che andando di mille in mille si hanno migliaia, milioni, miliardi, bilioni, biliardi, trilioni; poi si sono fermati, lasciando a Wikipedia l’onore di arrivare ai quadriliardi. Lo strano è che la norma CEE specifica le unità di misura tra le pieghe di una legge sul trasporto di merci pericolose: ma in effetti, anche solo sui numeri interi di cose strane ne abbiamo lo stesso!
Piccola digressione. Un’altra cosa che abbiamo imparato fin da bambini è che dato un numero possiamo sempre trovarne un altro dicendo “più uno!”, come si ricorderà chi giocava a dire il numero più grande. L’osservazione è meno stupida di quanto si pensi, come vedremo. Detto in altro modo, un numero lo si può chiamare in tanti modi: ad esempio, “cento” è anche “novantanove più uno”, oppure “dieci per dieci”, o ancora “il numero di quadratini del quadrato costruito sull’ipotenusa di un triangolo rettangolo i cui cateti hanno lunghezza rispettivamente sei e otto”. Quanti modi abbiamo a disposizione per definire un numero? Non lo so. Probabilmente infiniti, ma in realtà la cosa non è che ci importi più di tanto. Quello che importa è per ogni numero abbiamo (almeno) una rappresentazione “economica”, che cioè usa il numero minimo possibile di sillabe. A vedere gli esempi qui sopra non si capisce l’utilità di introdurre questi altri modi di chiamare un numero, ma ad esempio novecentonovantanovemila novecentonovantanove (venti sillabe) può essere espresso come “un milione meno uno” (otto sillabe: un bel risparmio!) Possiamo così decidere di chiamare ciascun numero con l’espressione che richede il minor numero possibile di sillabe: un’ottima idea, se abbiamo bisogno di risparmiare spazio.
A questo punto entra in gioco il signor G. G. Berry, che non era esattamente l’ultimo arrivato dato che era bibliotecario alla Bodleiana, una delle più importanti se non la più importante biblioteca di Oxford. Il signor Berry, poco più di cent’anni fa (era il 1904), ebbe l’idea di pensare a un numero che in fin dei conti un suo minimo interesse ce l’aveva: “il più piccolo numero che non si può esprimere con meno di trenta sillabe”. Si sa che i bibliotecari, quando si tratta di definire qualcosa, sono sicuramente bravi, no? Per amor di precisione, il testo originale inglese parla di “the least integer not nameable in fewer than nineteen syllables” (che in inglese dovrebbe essere 111.777, dice wikipedia); e sempre wikipedia afferma che in realtà Berry parlava semplicemente del più piccolo numero ordinale non definibile. (I numeri ordinali sono quelli che usiamo per contare “uno, due, tre…”. Finché usiamo numeri finiti non c’è una differenza pratica con i numeri cardinali che dicono in un botto quanto è grande un insieme; con i numeri transfiniti sì, ma non è questo il momento di parlarne)
Questo numero, chiamiamolo b in onore di Berry, deve per forza esistere: in fin dei conti i numeri sono infiniti, e le frasi composte al più di trenta sillabe sono finite. Occhei, sarà probabilmente un numero molto grande, ma in linea di principio lo si può calcolare. Persino un costruttivista come Brouwer, che giusto in quegli anni stava lamentandosi di come l’infinito venisse usato in maniera un po’ troppo disinvolta, non avrebbe avuto nulla da dire sulla correttezza della definizione. Ma era proprio così? Mica tanto. In effetti, se siete stati attenti, la frase “il più piccolo numero che non si può esprimere con meno di trenta sillabe” di sillabe ne ha 25. Ma allora non ci può essere nessun numero con tale proprietà! Se ci fosse un siffatto numero b, infatti, automaticamente gli potremmo affibbiare la descrizione di cui sopra e quindi non è vero che non si può esprimere con meno di trenta sillabe. Ciò è indubbiamente berrybile.
Qui c’era qualcosa che non andava: e subito Berry chiese lumi all’indubbio esperto del campo: quel Bertrand Russell che pochi anni prima aveva dato un duro colpo al lavoro di una vita di Frege con il famoso paradosso del barbiere del villaggio che fa la barba solo e unicamente a chi non se la fa da sé. (per la cronaca, il barbiere si chiavama Andrea ed era una splendida fanciulla…). Russell ci pensò un po’ su e alla fine sentenziò che il problema non si poneva: la definizione di b non era infatti valida perché era una metadefinizione, visto che non definiva un numero ma le proprietà del numero. Per fare un esempio più terra terra, se diciamo “tre ha tre lettere” non stiamo parlando del numero tre (anzi 3), ma della parola che lo definisce: il “lessicale”, mi suggeriscono i miei amici filosofi. Il paradosso gli sembrò comunque interessante, tanto che lo inserì come primo nella lista di sette che presentò nei Principia Mathematica: e chissà, magari la teoria dei tipi, l’idea cioè che ci fosse una gerarchia di insiemi dove a ciascun livello gli elementi costitutivi potevano essere al più insiemi dei livelli inferiori, nacque anche pensando a questa differenza tra numero e definizione del numero. Non che tutta quella fatica gli sia servita a qualcosa, visto che venticinque anni dopo Kurt Gödel gli scombinò tutta la sua teoria. E paradossalmente, una cinquantina d’anni dopo, Greg Chaitin riprese in mano il paradosso di Berry, lo formalizzò usando un linguaggio di programmazione, e riuscì in questo modo a dare una nuova (e più semplice) dimostrazione del Teorema di Incompletezza di Gödel. Una vendetta postuma, insomma…
Che dire? State sempre attenti, quando vi mettete a contare, perché non si sa mai dove si nascondano le insidie! (Se vi piacciono questi temi, consiglio la lettura anche dei Rudi Matematici)

Ultimo aggiornamento: 2008-07-02 12:49

Leggo da Isabel che tra gli svariati cerchi sui campi di grano che sono uno dei tormentoni preferiti dai britannici ne è stato trovato uno piuttosto particolare, che codificherebbe pi greco. L’immagine, con l’articolo relativo, è stata pubblicata da Metro – versione UK; in pratica, se vedete la specie di spirale fatta a tratti, i vari tratti sottendono un angolo di 3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 4 radianti, vale a dire le prime dieci cifre dello sviluppo decimale di π; questo prova – a detta di alcuni – che è un chiaro segno di messaggio extraterrestre.
A parte la battuta obbligatoria di Isabel (“il modo migliore per codificare π in un cerchio è disegnare il cerchio”), il suo post spiega con logica convincente che un disegno simile è un chiaro segno di messaggio non extraterrestre, per un banale fatto: non si vede perché la rappresentazione di π debba essere in base 10, un accidente storico planetario.
In effetti, se ci pensate su, ci sono numeri e misure “più naturali” (non nel senso di interi positivi) e altri meno. π, come anche ℮, sono ottimi candidati per mandare un “numero non casuale” e quindi dare un segno di intelligenza. La cosa è un po’ buffa, perché questi numeri appaiono spesso nei posti più impensati e quindi potrebbero capitare quasi per caso, ma tant’è. Anche la scelta di usare il radiante come unità di misura degli angoli è naturale: il radiante in fin dei conti è un angolo che sottende un arco della stessa distanza del raggio, e quindi è una misura indipendente dalle unità scelte. Il fatto che una circonferenza misuri un numero irrazionale di radianti (2π, se non ve lo ricordate) è un banale accidente, e nessuno si preoccupa più di tanto della cosa. Sarebbe in realtà peggio se la misura fosse qualcosa tipo 6.05 unità, perché uno si potrebbe chiedere se c’è stato un errore di misura.
Ma per la base numerica? Probabilmente la scelta migliore è la base 2. Infatti è una base numerica (la base 1, a parte richiedere una quantità spropositata di simboli, non è che possa rappresentare i numeri non interi se non con uno sforzo notevole), ed è la più piccola base numerica possibile. Insomma, il fatto che i calcolatori abbiano solo due “dita” è un altro accidente storico, ma due è un bel numero.
Certo, qualcuno potrebbe dire che gli extraterrestri ci hanno studiato e sanno che usiamo la base 10, ma a questo punto potrebbero tranquillamente mandarci una lettera e spiegarci le cose di persona, no? I giochini lasciamoli ai quiz.
E voi, che cosa proporreste come unità “naturali”?

Ultimo aggiornamento: 2008-06-19 09:34

Oggi è il quattordici del mese: benvenuti dumque al secondo numero del Carnevale della Matematica – versione italiana! (il primo numero, per chi se lo fosse perso, è stato ospitato da Proooof)
Il numero due forse non ha il fascino del numero uno, ma sicuramente ha caratteristiche interessanti, come del resto tutti i numeri sono interessanti. Tanto per iniziare, due è il primo numero pari, e il numero primo pari (ogni lingua ha i suoi giochi di parole: in inglese, “two is odd since it is the only prime which is not odd”). La base due è quella usata dai calcolatori, e – come forse sapete – il mondo si divide in 10 categorie: quelli che conoscono la base due e quelli che non la conoscono. I controlli di parità sfruttano per definizione il numero due, e per gli antichi greci il due, oltre a raffigurare il principio femminile, era anche il primo numero (uno non era considerato un numero, quanto un generatore di numeri). Insomma, due è un numero interessante… come ogni numero, del resto.
Ma bando alle ciance, e vediamo i contributi di questo mese. Proooof racconta del doppio pendolo (senza nessuna formula, mi dice, e io ringrazio della cosa: i miei lontani ricordi universitari mi preoccupano). Il pendolo lo conosciamo tutti, e il suo moto è abbastanza facile da capire. Col doppio pendolo si va nel caos, come si può vedere dal video. Per chi vuole proprio qualche formula, proooof ci racconta anche dei fogli A4, le cui misure non sono affatto state scelte a caso come qualcuno sicuramente crede, ma l’ISO si è messa di mezzo… pur senza sapere che si sarebbe arrivati ai circuiti integrati e ai frattali.
La prof Giovanna di matematicamedie ci mostra graficamente i numeri poligonali, che in effetti su una tavola pitagorica fanno un bell’effetto visivo. D’altra parte, i numeri poligonali sono stati proposti dagli antichi greci, quindi la tavola pitagorica è una loro parente, no?
Maurizio mi ha impedito di mettere un link a una barzelletta matematica (la trovate in data 8 giugno, se avete voglia di cercare). Essendo io perfido, segnalo altri due suoi post: un ricordo di due matematici e delle serie e la più bella formula matematica. Se invece preferite avere uno sguardo a più dimensioni sulla geometria, Odiamore racconta della bottiglia di Klein.
Gli amanti della storia della matematica hanno pane per i loro denti con Marcello Seri, che ha scritto un breve saggio sulla Storia dei Numeri, perché di tipi di numeri ce ne sono tanti, forse anche troppi secondo qualcuno. E a proposito di numeri, i Rudi Matematici (senza acca perché parliamo del blog su Le Scienze) hanno preparato un pippone su come si chiamano i numeri: non tanto quelli piccoli, ma quelli davvero grandi, ammesso che esistano. Si sa, c’è sempre qualche guastafeste che dice che se un numero è maggiore della quantità di particelle presenti nell’universo allora tale numero non esiste… però questo è il Carnevale della Matematica, non della Filosofia, e quindi tali pensieri sono banditi.
Per la serie “roba non nostra, ma comunque interessante”. i Rudi Matematici ci segnalano anche che è uscito il numero 6 di Matematicamente, che all’interno ha tra l’altro un saggio inedito di Ennio De Giorgi; cragganmore segnala invece un’interessante applicazione della matematica computazionale alla musica, con Wolfram Tones che parte dalle regole per la creazione di automi cellulari per tirare fuori motivetti musicali. Tranquilli, ce ne vorrà ancora molto prima di arrivare a Bach.
Chi volesse leggere qualcosa di matematica scritto su carta può avere qualche idea da due mie recensioni di libri matematici: Matematica, miracoli e paradossi, che racconta in uno stile leggero quante brutte cose sono capitate in quest’ultimo secolo e mezzo alle fondamenta della matematica; Unknown Quantity, dove gli anglofoni possono scoprire la storia dell’algebra, la parte della matematica che rende astratte le cose concrete… beh, detto così fa più paura di quello che capita in realtà! Ho anche sfruttato l’occasione per aggiornare le mie citazioni matematiche: più di 1200 frasi o paragrafi che citano una qualche forma di matematica e che vi faranno fare una bellissima figura con gli amici.
Per questo mese è tutto. Il 14 luglio, oltre a festeggiare la presa della Bastiglia, ricordate di passare da matematicamedie per il nuovo Carnevale della Matematica! E già che ci siamo una domanda: si fa un’edizione anche per il 14 agosto (“matematica da spiaggia”?) oppure no? commentate commentate!

Ultimo aggiornamento: 2008-06-14 06:00