Tutti voi conoscete la favola della Bella Addormentata, immagino. Quello che forse non sapete è che ultimamente, a causa della crisi che colpisce anche i Principi Azzurri, la fanciulla è stata costretta a cercare un lavoro; date le sue indubbie qualità è finita a fare la cavia in un esperimento scientifico.
Una domenica sera viene somministrato a Bella (non sapevate che era il suo vero nome?) una droga che la fa dormire profondamente. A questo punto i ricercatori lanciano in aria una moneta (equa). Se il risultato è testa, viene svegliata dopo ventiquattr’ore (quindi lunedì sera), intervistata e mandata a casa. Se invece il risultato è croce, viene ugualmente svegliata dopo ventiquattr’ore e le viene fatta una domanda; ma poi le viene nuovamente somministrata la droga. Il martedì sera viene nuovamente svegliata, le si fa una domanda, e la si manda a casa. Nessun paradosso con l’infinito, insomma: o ha dormito un giorno e le è stata fatta una domanda una volta, oppure ha dormito due giorni e le hanno fatto una domanda per due volte.. Dimenticavo: un effetto collaterale della droga è una leggera amnesia, quindi Bella non sa assolutamente che giorno sia, e se è la prima o la seconda volta che è stata svegliata. La domanda è la seguente: «Qual è secondo te la probabilità che il lancio della moneta abbia dato come risultato croce?»
È chiaro che dal punto di vista della Bella Addormentata la risposta non può che essere 1/2: non ha certo nessuna informazione in più rispetto a prima. Ma è anche chiaro che se l’esperimento fosse ripetuto mille volte, in media avremo cinquecento sveglie singole e cinquecento doppie, quindi le vengono fatte 1500 domande, e in mille di questi casi è uscita croce. Quindi la risposta non può che essere 1/3. Ma ancora, se prendiamo il punto di vista dei ricercatori, la risposta non può che essere 1/2: la moneta è sicuramente equa, no? (Notate che se la domanda fosse stata «Qual è secondo te la probabilità che oggi sia lunedì?» la risposta sarebbe stata indubbiamente 2/3, ma quella è una domanda diversa.)
Questo è noto come paradosso della Bella Addormentata: è stato ideato nel 1994 da Arnold Zuboff e Adam Elga, e trovate una rapida trattazione su Wikipedia in inglese. Qual è la vostra soluzione?

Ultimo aggiornamento: 2010-07-03 07:00

Questo mese il Carnevale della Matematica è ospitato da Gianluigi Filippelli nel suo Science Backstage; il tema non ufficiale è “A spasso con zio Bertie”, e i contributori erano stati invitati a scrivere qualcosa su Russell e la logica matematica. Andate subito a leggerlo, poi se avete voglia tornate qui che vi devo spiegare il mio post di sabato.
Non sapendo io esattamente che scrivere su Russell, mi è venuto in mente di riciclare quanto scritto da Hofstadter nel capitolo 11 di Anelli dell’io, quando passa dalle analogie alla trattazione del Teorema di Indeterminatezza di Kurt Gödel. Come forse sapete, Gödel ha praticamente buttato a carte quarantotto il sistema formale preparato da Bertrand Russell e Alfred Whitehead, i Principia Mathematica. Le due opere inesistenti citate sono entrambe analogie umoristiche sul procedimento da lui seguito; ci sono vari indizi che il lettore abile può ritrovare. Il “negozio tipico” ricorda la teoria dei tipi sviluppata da Alf e Bertie, e il nome della scrittrice, “Rossella Wadhead”, si pronuncia in modo simile a “Russell and Whitehead”, esattamente come succede con “W.A.I.Ted Enrustle” e “Whitehead and Russell”. Il dire una frase mentre si vuole significare l’opposto è l’equivalente dell’affermazione matematica che afferma la sua non dimostrabilità, e infatti viene pronunciata da “K.G.”. Nell’altra opera, il Principe Ippia – Matedrammatica sono ovviamente i Principia Mathematica, che parla per l’appunto di noiose proprietà dei numeri primi, che però possono essere lette – con la mappa creata da Kurt Gödel, pardon dal critico Gerd Külot, che è di origine TURKa – come proprietà sul libro in sé. Ci sono altri giochi di parole all’interno di quel capitolo, ma bisogna aver letto il resto del libro per coglierli e quindi qui li ho saltati: spero che comunque abbiate apprezzato questa presa in giro hofstadteriana del povero zio Bertie!
Aggiornamento: (17:30) vi ricordo che il Carnevale n. 27 sarà ospitato dal sottoscritto: non qua, però, bensì sul blog di matematica sul Post.

Ultimo aggiornamento: 2010-06-14 10:43

Eccovi qualche problema matematico molto semplice, alla portata davvero di tutti. Le risposte lunedì nei commenti: se volete rispondere voi, ricordate di iniziare il vostro commento con SPOILER:
1) Quant’è la metà dei due terzi dei tre quarti dei quattro quinti dei cinque sesti di 12?
2) Se riflettete un certo numero da destra a sinistra oppure lo ruotate di 180 gradi ottenete 11. Ma il numero non è 11. Qual è il numero?
3) Un automobile (indicata con ??) ha coperto il numero del parcheggio dove si è posizionata. Da qua vedo questi numeri:
(16 – 06 – 68 – 88 – ?? – 98)
Qual è il numero del parcheggio dove si trova l’auto?
4) Nella somma 43+57=207, ciascuna cifra è distante esattamente un’unità da quella corretta. Qual è la somma corretta?
5) Se Cesare ha ordinato 40 toghe extra-large e 50 toghe large, quante toghe di taglia medium ha ordinato?
(tratto da David J. Bodycombe, The Riddles of the Sphinx)

Ultimo aggiornamento: 2010-05-28 07:00

Questo mese tocca ad Annarita ospitare il Carnevale della Matematica, e lo fa come di sua abitudine con un’edizione strepitosa: non solo per i settantaquattro post scritti da ben trenta collaboratori, ma anche per la parte introduttiva sulla bellezza della matematica.
Ricordate che avete solo un mese di tempo prima della prossima edizione, ospitata da Science Backstage.

Ultimo aggiornamento: 2010-05-14 10:40

Di roba ce n’è davvero tanta, quindi accorrete numerosi!

Ultimo aggiornamento: 2010-04-14 09:33

Una delle cose più o meno inutili che piacciono ai matematici è vedere come è possibile ricoprire perfettamente il piano (“tassellarlo”) con figure “carine”. Ad esempio, ci sono diciassette tassellature regolari fondamentalmente distinte, come si può leggere ad esempio su Wikipedia e come sfruttato da Mauritz Cornelius Escher nelle sue litografie. Se si vuole tassellare il piano usando un singolo poligono regolare le uniche possibilità sono date da quadrato, triangolo equilatero ed esagono regolare; se si ammette l’uso di poligoni regolari diversi e si aggiungono però i vincoli di non scorrimento (ogni lato di un poligono combacia esattamente con un lato di un altro poligono) e di identificazione dei vertici (ogni vertice della figura è indistinguibile dagli altri) ci sono solo 11 possibilità.
Ma la cosa più interessante è riuscire a trovare una tassellatura aperiodica del piano; un insieme di figure che ricoprono sì il piano, ma senza nessuna simmetria di traslazione. Detto in altre parole, se avessimo due fogli infiniti di carta con una tassellatura aperiodica del piano che non possono ruotare ma solo scorrere nelle due dimensioni, l’unico modo per sovrapporli esattamente è non spostarli affatto. La cosa sembra incredibile, ma è possibile costruire una simile tassellatura usando solo due rombi, uno più cicciotto e uno più smilzo; Roger Penrose e Robert Ammann hanno mostrato nel 1974 come sia possibile farlo, ottenendo una tassellatura che ha solo una simmetria di rotazione, di 72 gradi per la cronaca. Un altro modo per fare una tassellatura di Penrose consiste nell’usare un quadrilatero convesso (“kite”) e uno concavo (“dart”), come forse avrete visto da qualche parte.
Il Sacro Graal della tassellatura consiste nel trovare una singola forma che ricopra il piano solamente in maniera aperiodica; potete immaginare come io sia saltato sulla sedia dopo aver letto su MathPuzzle che una piastrella simile era stata trovata! Poi sono andato a leggere l’articolo su arXiv (PDF), e ho purtroppo scoperto che la notizia era stata molto pompata. La piastrella esagonale mostrata qui sopra, con le regole indicate nell’articolo, in effetti ricopre il piano in maniera aperiodica, ma non è possibile modificarla aggiungendo denti e buchi in modo che quello sia l’unico modo per tassellare il piano. Gli autori si arrampicano sugli specchi dicendo che però si può forzare l’aperiodicità se a partire dalla piastrella si disegna una figura non semplicemente connessa (composta cioè di pezzi staccati che però per decreto sono considerati parti della stessa forma) oppure andando sulle tre dimensioni, manco fossimo al cinema.
Intendiamoci: il risultato è sicuramente interessante, ma non è la notiziona che ci si aspettava; potete ancora andare alla caccia della tassellatura aperiodica!

Ultimo aggiornamento: 2010-04-13 07:00

Ricordate il problema che avevo postato il mese scorso, in cui si chiedeva di dimostrare che ogni numero intero può essere espresso in uno e un solo modo come somma di numeri di Fibonacci distinti e non consecutivi? Avevo dato una dimostrazione per induzione, ma avevo aggiunto che non avrei mai scelto di dimostrarlo in questo modo perché il tutto mi pareva inutilmente involuto. Adesso vi presento la “mia” soluzione, presentata in modo descrittivo seguendo il ragionamento che ho effetivamente fatto: come vedrete, è un misto di ricorsione e induzione.
Innanzitutto ho iniziato a scrivere i primi numeri che corrispondono alle ipotesi in “base Fibonacci”. Detto in altro modo, proprio come 2718 in base 10 equivale a 8*10⁰ + 1*10¹ + 7*10² + 2*10³, 2718 in base Fibonacci – che scriverò come 2718_F – equivale a 8*F(1) + 1*F(2) + 7*F(3) + 2*F(4), cioè 8*1 + 1*2 + 7*3 + 2*5 = 41. I numeri esprimibili come somma di numeri di Fibonacci distinti e non consecutivi, se scritti in base Fibonacci, saranno composti da soli zero e uno, senza avere mai due uno consecutivi. Ho iniziato così a scrivere i primi di questi numeri, mettendo a fianco il valore corrispondente in base 10.
1_F = 1
10_F = 2
100_F = 3
101_F = 4
1000_F = 5
1001_F = 6
1010_F = 7
10000_F = 8
10001_F = 9
10010_F = 10
10100_F = 11
10101_F = 12
Mi sono subito accorto di una cosa fantastica: abbiamo scritto una e una sola volta tutti i numeri da 1 a 12! Visto che il numero successivo, 100000_F, è già 13, posso immaginare che questo pattern continui all’infinito. A questo punto mi sono messo a cercare una formula ricorsiva per vedere quanti e quali sono i numeri di k cifre in base Fibonacci che soddisfino i vincoli. A parte i casi banali con k ≤ 2, un numero di k cifre inizia con il prefisso 10 e continua usando tutti i numeri con al più k-2 cifre (compreso 0). Il numero di questi numeri è F_k-2 (per ipotesi induttiva); visto che quelli con meno di k cifre sono F_k-1 (sempre per ipotesi induttiva), la loro somma è proprio F_k. Siamo così riusciti a costruire ricorsivamente tutti i numeri con al più k cifre in base Fibonacci che soddisfino i vincoli, e abbiamo scoperto che li abbiamo trovati tutti (e non ce ne sono di uguali, perché se m_F e n_F sono diversi, 10m_F e 10n_F sono anche diversi).
Il tutto è ricorsione oppure no? Qualche passaggio induttivo l’ho usato, e del resto il mio amico gnugnu dice che secondo lui ricorsione, induzione e discesa infinita – una tecnica di dimostrazione per assurdo che Fermat apprezzava molto ma che è davvero complicata da usare – sono poi la stessa cosa. Il mio pragmatismo è un po’ diverso: io vedo i vari metodi in maniera diversa, e trovo appunto una dimostrazione come questa essenzialmente più “visuale” di una prettamente induttiva. Inoltre in questo modo uno si convince del risultato, e riesce anche a capire come possa averlo trovato a chi ha proposto il teorema; sicuramente l’enunciato standard non ve l’avrebbe mai fatto venire in mente.
Voi che ne pensate?

Ultimo aggiornamento: 2010-04-08 07:00