Abbiamo visto che il minimo comune multiplo (mcm) e il massimo comun divisore (MCD) di due numeri sono strettamente correlati; dati due numeri r e s, si ha che mcm(r,s) = rs/MCD(r,s). Ne consegue che basta avere un algoritmo per calcolare uno dei due valori, e siamo anche in grado di trovare l’altro; visto che il mcm è (di solito molto) maggiore del MCD, chiaramente è meglio dedicarci a quest’ultimo.
L’algoritmo più antico noto per calcolare il MCD di due numeri è così antico che non sono non c’era ancora il nome “algoritmo”, ma non credo la gente avesse in mente addirittura il concetto idi algoritmo. Lo si trova infatti in Euclide, che nei suoi Elementi non ha trattato solo di geometria ma anche dei numeri. L’algoritmo euclideo per calcolare MCD(r,s) è concettualmente molto semplice: se r=s, allora MCD(r,r)=r; altrimenti, supponendo che r>s, MCD(r,s)=MCD(r-s,s). Tutto qua. Il lettore più attento (occhei, il lettore meno attento ha già semsso di leggere da un po’) si sarà sicuramente accorto che il procedimento deve per forza terminare, visto che nel caso generale si passa da una coppia di numeri a una coppia la cui somma è minore, e non si può scendere all’infinito visto che la somma sarà sempre positiva. Non è nemmeno troppo difficile scoprire che in effetti l’algoritmo calcola correttamente il MCD di due numeri. Se i numeri sono uguali la cosa è immediata; altrimenti, se m è l’ancora incognito MCD(r,s), allora r=mh e s=mk; quindi m è sicuramente un fattore comune di r-s=m(h-k) e s=mk: e se ci fosse un fattore comune maggiore nella differenza, quel fattore ci sarebbe stato anche all’inizio.
La cosa più incredibile è che l’algoritmo che si usa oggi per calcolare il MCD di due numeri è ancora essenzialmente quello di Euclide! L’unica miglioria che c’è stata è che non si sottraggono più i due numeri ma si prende il resto della loro divisione e lo si sostituisce al maggiore dei due; se il minore divide esattamente il maggiore, allora il MCD cercato è il numero minore. E in effetti non è che cambi molto, visto che come certo ricordate la divisione tra numeri interi non è altro che una ripetuta serie di sottrazioni. L’algoritmo così modificato è molto veloce, richiedendo una quantità di operazioni dell’ordine del logaritmo dei numeri; il caso peggiore si ha quando i due numeri dati sono in posizioni successive della successione di Fibonacci… ma questa è un’altra storia, che forse prima o poi racconterò.
Termino con un simpatico problemino matematico (la parola “simpatico” sta ovviamente a indicare qualcosa che farà arrabbiare chi cercherà di risolverlo, e farà arrabbiare ancora di più chi leggerà la soluzione e scoprirà la semplicità). Ci sono due amiche, Thelma e Louise, che hanno preparato due pile di pancake e si accingono a mangiarle. Le amiche si alternano a prendere pancake dalla pila in quel momento più alta, togliendone un multiplo a piacere del numero presente nella pila più piccola. Visto che il pancake più in basso è sempre molliccio, la prima che è costretta a prenderlo ha perso il gioco. Se Thelma e Louise scelgono la loro migliore strategia, chi vincerà, data una coppia di valori iniziali? La risposta alla prossima puntata!

Ultimo aggiornamento: 2009-07-06 08:00

GaS mi ha segnalato un interessante articolo, che trovate su arXiv, di un tipo (Boudewijn F. Roukema) che si è messo a spulciare i risultati ufficiali delle elezioni iraniane del mese scorso per fare delle analisi statistiche sui risultati dei singoli seggi elettorali e scovare eventuali brogl… pardon, situazioni molto improbabili.
L’analisi più semplice da fare è la verifica della legge di Benford. Ve la ricordate? Ne avevo parlato un bel po’ di tempo fa. In pratica, se viene dato un insieme di valori molto sparpagliati (su vari ordini di grandezza) e si guarda la prima cifra di tali valori, è molto più probabile che tale cifra sia un 1. Per dare un’idea, in una distribuzione ideale il 30% dei valori dovrebbe iniziare per 1 e solo il 5% per 9. Nel mondo reale le cose sono un po’ più complicate, e l’autore propone una versione modificata della legge adattata ai risultati totali delle elezioni, in modo da eliminare alcune distorsioni. Per gli amanti dei complotti ci sono però delle brutte notizie: i risultati sono abbastanza vicini ai valori teorici, tanto che l’analisi continua osservando la strana frequenza delle cifre iniziali 7 di un candidato outsider che ha preso in tutto poche centinaia di migliaia di voti, e cercando di estrapolare da quei pochi collegi elettorali una tendenza totale – che toglierebbe circa un milione di voti ad Ahmadinejad ma non cambierebbe di molto i risultati. Almeno questo è ciò che ho capito: non sono un grande esperto di statistica, e sono riuscito a seguire i ragionamenti di Roukema solo a grandi linee. Però l’idea che mi sono fatto è che i risultati presentati sono un po’ tirati per i capelli.
Che dire? Trovo molto interessante l’idea di applicare analisi statistiche ai voti di un’elezione per vedere eventuali brogli. Ma in casi come questo, dove i risultati dei vari candidati sono così diversi tra di loro, non credo la cosa abbia un grande valore pratico. Se io dovessi fare dei brogli di questo tipo, sposterei direttamente in ciascuna circoscrizione elettorale metà dei voti del candidato M al candidato A; un’operazione di questo tipo non dovrebbe lasciare strascichi statistici verificabili, che io sappia.

Ultimo aggiornamento: 2009-07-01 13:22

Il problema di questa settimana di MondayMathMadness riguarda i numeri di Fibonacci, o meglio il loro prodotto.
Data la definizione quasi standard F₀=F₁=1 e F_n=F_n-2+F_n-1, con i primi numeri che sono 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … viene chiesto di semplificare dare un’espressione più semplice per la somma
S(n) := F₀F₁ + F₁F₂ + F₂F₃ + … + F_n-1F_n + F_nF_n+1
La soluzione, se sapete come dimostrarla, è molto semplice; visto che fino a lunedì sera la gara è ancora aperta vi invito a non postare eventuali soluzioni qui da me, ma di mandarle se volete a Wild About Math. Però, se volete cimentarvi, potete provare a lasciare degli aiutini :-)
Aggiornamento: (1. luglio) nei commenti c’è un link alla soluzione.

Ultimo aggiornamento: 2009-06-27 17:00

Ci sono alcuni problemi matematici che sono ben noti a chiunque abbia una collezione di libri di giochi matematici. Questi problemi si dividono in due categorie: la prima consiste in quelli per cui occorre mettersi alla caccia di carta e penna per fare conti su conti – un esempio? prendete 12 palline, di cui 11 identiche e una che pesa un po’ di più oppure un po’ di meno, non si sa, e cercate di scoprire qual è la pallina farlocca avendo a disposizione una bilancia a due bracci e tre pesate – e che a me personalmente non piacciono più di tanto.
Poi c’è la seconda categoria: problemi che assomigliano agli altri ma hanno invece un punto debole, dove chi trova il grimaldello giusto può risolverli senza stancarsi più di tanto. Per uno fondamentalmente pigro come me, questi problemi sono molto più simpatici.
Alcuni dei miei ventun lettori sanno di cosa sto parlando (ma tacete… e ad ogni buon conto questa è robba nuova); per tutti ho pensato di inaugurare l’ennesima sezione del mio sito, con tre problemi di questo tipo. Per la gioia di chi non ama sbattere troppo la testa, i problemi hanno un aiutino: cliccate, e vi sarà dato un indizio per mettervi sulla buona strada.
Spero la cosa vi piaccia :-)

Ultimo aggiornamento: 2009-06-13 07:00

Non so se le frasette “massimo comun divisore” e “minimo comune multiplo” facciano ancora venire a qualcuno un brivido di terrore, al pensiero dei conti che ci facevano fare a scuola e magari anche per capire com’è che una di quelle due sigle – che ricordano pericolosamente 1400 e 1900 scritti in numeri romani – fosse tutta in maiuscolo e l’altra tutta in minuscolo, e perché quello maiuscolo fosse il più piccolo dei due numeri, e non il più grande. Forse è vero che oggi questi concetti sono un po’ meno importanti di un tempo, quando i conti si facevano a mano; ma hanno ancora un certo qual interesse.
Per prima cosa occorre fare un passo indietro e approcciare il tutto da parecchio lontano. I numeri naturali hanno una simpatica proprietà, niente affatto scontata: quella della fattorizzazione unica. Un fattore di un numero n è un numero f tale che la divisione n/f non dà resto: i numeri primi, forse ricordate, sono quelli maggiori di 1 che hanno come fattori solo sé stessi e 1. Se prendiamo un qualsiasi numero, la fattorizzazione unica ci assicura che lo possiamo scrivere in un solo modo come prodotto di numeri primi; per esempio, 1001 = 7·11·13.
In matematica la fattorizzazione unica è importantissima, ed è il motivo fondamentale perché si definisce che 1 non è un numero primo; piuttosto che aggiungere qui la frasetta “eccetto che si possono aggiungere tanti fattori uno quanti si vogliono”, si preferisce aggiungere “eccetto 1” nella definizione di numero primo. Come curiosità posso aggiungere che all’inizio del XIX secolo si pensava di poter dimostrare il teorema di Fermat con alcune tecniche nemmeno troppo difficili matematicamente ma che presupponevano che la fattorizzazione unica valesse anche per numeri “più o meno interi”, quelli della forma n + m √(-1); ed è stato un brutto colpo acccorgersi che non è affatto vero.
Ma basta con le divagazioni, e torniamo alla fattorizzazione unica. Abbiamo visto che ogni numero si può scrivere in modo univoco come prodotto di numeri primi; ma allora se prendiamo due numeri possiamo trovare quali fattori – e presi quante volte – hanno in comune. Per esempio, 9009 = 3²·7·11·13 e 147 = 3·7² hanno in comune il prodotto 3·7, cioè 21. Detto in altro modo, posso dividere sia 9009 che 147 per 21 senza ottenere nessun resto, e non c’è nessun numero maggiore con questa proprietà. Quindi 21 è un divisore, comune a entrambi i numeri e massimo; il Massimo Comun Divisore (MCD), appunto. In maiuscolo, perché immagino che la parola “massimo” faccia pensare a qualcosa di grande.
Supponiamo però che ci interessi qualcosa di diverso; possiamo riempire degli scatoloni di libri mettendoli a gruppi di sei oppure a gruppi di otto a seconda di cosa il Comitato Centrale ci comunicherà, non vogliamo scatoloni mezzi pieni perché non sta bene, e vogliamo evitare di fare troppi scatoloni perché siamo pigri. Ovviamente prendere sei per otto, quarantotto, libri ci permette di riempire in ogni caso gli scatoloni; però si può fare di meglio limitandoci a 24 libri. Questo 24 è il minimo comune multiplo (mcm) di 6 e 8, appunto. In minuscolo, perché immagino che la parola “minimo” faccia pensare a qualcosa di piccolo.
Se ci capita di sommare due frazioni, a denominatore ci conviene usare il minimo comune multiplo dei denominatori, perché ci troveremo con numeri più piccoli. Ma come si fa a sapere qual è il mcm di due numeri? Più semplice di quanto possa sembrare a prima vista: si moltiplicano tra di loro i due numeri e si divide il risultato per il loro massimo comun divisore. In fin dei conti il MCD indica proprio quali fattori sono in comune tra i due numeri, e quindi è inutile contare doppi. E come si fa a sapere qual è il massimo comun divisore dei numeri? Beh, quello lo racconto la prossima volta :-)

Ultimo aggiornamento: 2009-06-10 16:07

God Plays Dice riporta un articolo del New York Times sulle creme solari, o più precisamente sui fattori di protezione indicati sulle creme.
Cosa significa “fattore di protezione N”? Vuol dire che la dose consigliata di crema lascia passare soltanto una parte su N dei raggi ultravioletti; se preferite vederla in un altro modo, moltiplica per N la quantità di tempo che potete stare al sole senza bruciarvi (almeno in teoria, visto che la crema si assorbe, se ti fai il bagno se ne va via, ecc. ecc. Notate la parolina magica “la dose consigliata”; è una quantità enorme, tipo 30 grammi, che nessuno si metterebbe mai visto il prezzo delle cremine.
Bene, supponiamo che io abbia la mia bella cremina protezione 16 e me ne metta addosso solo quindici grammi invece che trenta. Qual è la mia protezione equivalente? La metà, cioè 8? No. È la radice quadrata, cioè 4! Come Isabel fa notare, la cosa ha un senso: se noi prendiamo uno strato standard di crema a protezione 4 ci arriva solo un quarto degli ultravioletti; con un secondo strato ce la fa solo un ulteriore quarto, vale a dire un sedicesimo. I conti esatti sono leggermente diversi, visto che la matematica è solo un’approssimazione della vita reale, e visto che la protezione non è uniforme su tutte le frequenze di ultravioletti il risultato è un po’ minore; ma l’idea è quella. Se doppio strato di crema protezione 4 dà una protezione 16, chiaramente metà strato di una crema protezione 16 darà una protezione 4, no?
Il tutto non è solo una curiosità: è anche un modo per mostrare come una funzione oggettivamente poco comune come la radice quadrata possa apparire in maniera naturale anche nella vita, se non proprio di tutti i giorni, almeno di tutte le estati. God Plays Dice arriva anche a far notare che per confrontare il costo di due diversi tubetti di crema occcorre dividere il prezzo non solo per il volume dei tubetti ma anche per il logaritmo dei fattori di protezione: ma qua forse si esagera con la matematica!

Ultimo aggiornamento: 2009-05-15 07:00

C’è crisi. C’è brutta crisi, e non sembra che stia finendo. I media sono caldamente invitati a infondere fiducia alla gente, ma è difficile farlo senza mentire spudoratamente. Capita così che soprattutto all’estero l’arte di arrampicarsi sugli specchi faccia improvvisamente tornare alla mente la matematica liceale.
Prendiamo ad esempio questo articolo della BBC. Il titolo è «Pace of US job losses is slowing», il che significa che negli USA si continuano a perdere posti di lavoro, ma meno di prima. Insomma, la funzione “posti di lavoro nel tempo” è quindi decrescente, però la funzione “differenza di posti di lavoro rispetto al periodo precedente” passa da numeri negativi grandi a numeri negativi un po’ meno grandi, e quindi cresce (Se la temperatura è -5 fa un freddo becco, ma sicuramente fa più caldo che se è -15, no?) Tecnicamente la derivata prima della funzione posti di lavoro è negativa, ma la derivata seconda è positiva: come in una parabola, si spera che prima o poi a furia di scendere sempre più dolcemente la discesa termini e ricominci una salita; ma al momento si scende e basta.
Devo però aggiungere che se misuriamo la portata della crisi dall’ordine della derivata usata nelle spiegazioni allora non siamo arrivati ancora al peggio. Il matematico Hugo Rossi osservò (trovate la citazione originale ad esempio qui): «Nell’autunno del 1972 il presidente Nixon annunciò che il tasso di crescita dell’inflazione si stava riducendo. È stata la prima volta in cui un presidente in carica usò una derivata terza per promuoversi durante la campagna elettorale.».
Aggiornamento: (11 maggio) Come si può vedere qua (“Svolta vicina, rallenta il calo del Pil”), anche in italiano sono arrivate le costruzioni con la derivata seconda.

Ultimo aggiornamento: 2009-05-08 15:19

Supponete che qualche giorno prima della partita di andata dei quarti di finale della Champions League vi arrivi una email che dice “ho sviluppato un algoritmo che prevede correttamente i risultati sportivi. Per dimostrarGlielo, ecco quali sono le quattro squadre che passeranno alle semifinali:” e un elenco di quattro squadre. La mail termina con “per favore, non divulgate la notizia, per ovvie ragioni”. Voi non ci fate molto caso: quando però le partite si sono concluse, vi arriva una seconda email, che dice “Le quattro squadre che hanno passato il turno sono state proprio quelle da me previste. Perché Lei si possa sincerare della potenza dei miei algoritmi, Le dico quali saranno le finaliste”; e stavolta ci sono due nomi. Fate mente locale, vi ricordate che effettivamente l’interlocutore aveva ragione – e dire che non avreste scommesso un euro su una delle squadre – e aspettate incuriositi. Anche stavolta le predizioni si sono rivelate corrette: arriva una terza mail che dice “Se Lei vuole sapere il nome della squadra che vincerà la Champions League, invii cento euro a questo numero di conto corrente. Mi raccomando, però: non diffonda la notizia, altrimenti le quote crollerebbero.” Che fareste? Mandereste all’anonimo i soldi, pronti a scommetterne ben di più? Se avete risposto sì, forse è meglio che continuiate a leggere; altrimenti la lettura non sarà così importante ma spero sia comunque piacevole.
Il nostro anonimo interlocutore aveva infatti iniziato a spedire 128.000 email – tanto non gli costava nulla – divise in sedici gruppi, ciascuno dei quali aveva una quaterna diversa di semifinaliste previste. Una volta visti i risultati, il secondo gruppo di spedizioni è stato fatto solo agli 8000 destinatari che avevano ricevuto la predizione corretta (suppongo che le probabilità che passi il turno una squadra oppure l’altra siano le stesse, ma il ragionamento vale lo stesso); il terzo messaggio con la richiesta di denaro, infine, solo ai 2000 per cui anche i risultati delle semifinali erano stati previsti correttamente. La maggior parte delle persone ha ricevuto solo la prima mail con le previsioni errate, ma voi eravate tra i duemila “fortunati”, e con buona probabilità sgancerete al nostro ignoto amico cento euro per un’ulteriore predizione assolutamente casuale. Se anche solo la metà dei polli ci casca, sono 100000 euro in saccoccia senza troppa fatica: niente male, vero?
Purtroppo l’evoluzione non ha insegnato a noi umani come trattare le probabilità, soprattutto le probabilità a posteriori. Quello dell’esempio è un caso limite: prima dell’invio della prima email avete una possibilità su 64 di ricevere tutti e sei i risultati corretti, e quando vi arriva la lettera con la richiesta di un piccolo contributo tendete a pensare ancora a quella probabilità, mentre quella a posteriori è ovviamente la certezza nel vostro caso (e l’impossibilità negli altri 63 casi… la probabilità è come l’energia, nulla si crea e nulla si distrugge). Ma ci sono anche altri casi in cui le probabilità a posteriori sono sovrastimate e non sottostimate. Il caso classico che viene fatto è quello del test per l’Aids. Supponiamo che il test rapido abbia una probabilità su 100 di dare un falso positivo (una persona sana che risulti aver contratto l’infezione), e che il vostro stile di vita assai morigerato sia tale che a priori avete una possibilità su 1000 di essere infetti. Andate a fare il test, e vi richiamano dicendo che il test rapido è risultato positivo e quindi occorre sottoporvi a un test più accurato. Quant’è la probabilità a posteriori (cioè dopo la positività al test rapido) che voi siate effettivamente infetti? il 99%? No, è molto meno. Su un milione di persone con il vostro stile di vita, infatti, solo 1000 sono statisticamente infette. Il test darà risultato positivo su questi 1000 e sull’1% degli altri 999000, cioè su 9990 persone (che arrotondo a 10000 per fare meglio i conti). Quindi ci sono 1000 infetti su quasi 11000 positivi all’esame, pari a meno del 9%. In altre parole: c’è da preoccuparsi (siamo passati da una probabilitàa priori dello 0,1% a quasi il 9%) ma non avete ancora un piede e mezzo nella fossa!
Tutti questi conti sono ben noti da secoli ai matematici, e la formula che calcola le probabilità a posteriori a partire da quelle a priori e dai risultati si chiama Teorema di Bayes. Il fatto che sia ben nota non cambia però le carte in tavola: continua a risultare poco intuitiva, e quindi anche persone con una buona conoscenza scientifica ci possono cascare.
C’è anche un altro fenomeno relativo alle probabilità che fa prendere lucciole per lanterne, anche se più che matematico è probabilmente di natura psicologica, ed è l’aggiustamento probabilistico a posteriori. Inizio con un esempio che di matematico non ha nulla: le centurie di Nostradamus. Adesso non sono molto di moda, ma negli anni ’70 del secolo scorso c’erano vari studiosi che invariabilmente mostravano come Nostradamus avesse previsto i vari fatti accaduti: una volta verificatisi tali fatti, i riferimenti nel testo del veggente erano infatti inequivocabilmente chiari. Purtroppo le previsioni per il futuro non sono mai state così chiare, un po’ come quelle degli astrologi: o magari è tutto un complotto delle società di assicurazione che non vogliono finire in rovina, e quindi stanno attente a eliminare tutti i possibili metodi per conoscere davveo il futuro.
Spostandoci ìn un ambito piu matematico ancorché qualitativo, prendo un esempio purtroppo tragico: il terremoto abruzzese di questi giorni, e la coda di polemiche perché le previsioni di Gioacchino Giampiero Giuliani non sono state tenute in considerazione. Guardiamo le cose da un punto di vista strettamente matematico. La probabilità a priori che ci sia un terremoto di intensità distruttiva in un giorno specifico in una zona specifica (diciamo con l’epicentro in un raggio di quindici km da un punto indicato) è molto bassa, per fortuna: e lo è anche se ci si trova in una zona sismica, e comincia a diventare significativo – ma non ancora elevato, sempre per fortuna – in presenza di alcuni segnali. Immaginiamo che Giuliani avesse effettivamente previsto il terremoto del 6 aprile all’Aquila, ma non avesse detto nulla perché in fin dei conti era già sotto inchiesta per procurato allarme. Resta il fatto che il 28 marzo aveva affermato che il terremoto sarebbe stato il giorno successivo (sette giorni prima della data effettiva) a Sulmona (cinquanta chilometri in linea d’aria dall’Aquila). Chi dice “ci aveva azzeccato” è come chi pensa di aver vinto alla lotteria perché la differenza tra il numero del suo biglietto e quello vincente è solo 14: non esattamente un gran risultato. Eppure, proprio perché l’evento è così raro e distruttivo, si pensa inconsciamente che un’approssimazione di questo tipo sia accettabile. Visto che non possiamo riprodurre a piacere i terremoti, non abbiamo un modo di valutare aprioristicamente la probabilità che da una serie di segnali si giunga a un sisma. D’altra parte, mentre in linea di principio ha senso avere qualche allarme a vuoto, non possiamo nemmeno averne troppi; non tanto per l’effetto “al lupo al lupo”, quanto per gli ovvi problemi organizzativi.
La morale di tutto questo è semplice: fate sempre attenzione quando valutate delle probabilità, e non fidatevi degli argomenti spannometrici!

Ultimo aggiornamento: 2009-04-11 07:00