Dopo più di un anno e mezzo – e dopo sei mesi dalla prima volta che mi hanno chiesto di parlare del montepremi gigantesco – è stato centrato il 6 al Superenalotto, e i 90 fortunati vincitori si divideranno quota parte il jackpot di 371 milioni.

Proviamo a vedere cosa si può ricavare matematicamente dagli scarsi dati che si possono trovare. Il montepremi “nuovo” di ieri è consistito in 7.314.609 euro: poiché è il 60% della raccolta, sono state giocate 12.191.015 colonne. Immagino che al crescere del montepremi le giocate siano aumentate, anche se non troppo visto che lo scorso giugno c’erano comunque più di nove milioni di colonne. Facendo una media spannometrica di 10 milioni di colonne ad estrazione, la probabilità che nelle 272 estrazioni dal 22 maggio 2021 a martedì scorso non fosse mai uscito un 6 è intorno all’1,2% nel caso tutti giocassero colonne diverse: nella situazione reale dove qualcuno può giocare la stessa colonna direi che si viaggia tra l’1,5% e l’1,8%. Insomma, un periodo così lungo tra due vincite non è poi troppo comune.

(Per i ritardisti che per sbaglio sono capitati qui: ovviamente questi sono conteggi che si possono fare solo a posteriori. Per ciascuna estrazione, la probabilità che con 10 milioni di schedine tutte diverse giocate ci sia un 6 è intorno all’1,6%, probabilità che scende un po’ nel caso di colonne uguali. Non prendete la mia descrizione come un metodo per vincere al Superenalotto: se ce l’avessi, secondo voi vi racconterei tutte queste cose?)

L’altra cosa che mi ha lasciato perplesso è il fatto che il sistema a caratura che ha vinto aveva 90 quote da 5 euro ciascuna. Immagino che sia stato completamente acquistato, ma non è quello di cui volevo parlarne. Poiché una colonna costa un euro, 90 quote da 5 euro significa 450 colonne. Sono andato a vedere la bacheca dei sistemi Sisal – dal mio punto di vista un modo legalizzato per prendere soldi dai diversamente matematici: ma tanto immagino che li spenderebbero lo stesso – e non ho trovato nessun sistema completo o ridotto da 450 colonne: il sistema integrale con 11 elementi ha 462 colonne. D’altra parte uno di questi sistemi, ma anche i ridotti e i multistella citati nella bacheca dei sistemi, farebbero anche vincere quote minori che non sono state indicate nei comunicati stampa. Posso dunque immaginare che il sistema a caratura avesse semplicemente un certo numero di colonne scelte a caso, cosa che dal mio punto di vista è sempre la migliore nel caso uno voglia giocare. Ad ogni modo, congratulazioni ai vincitori! Anche col 20% di tasse, sono più di tre milioni di euro netti a ciascuno…

Ultimo aggiornamento: 2023-02-17 11:30

Il fatto che la radice quadrata di 2 sia irrazionale (cioè non è esprimibile come rapporto tra due numeri naturali) è noto almeno dai tempi dei pitagorici. La dimostrazione si fa normalmente mostrando che se p/q = √2 allora p²/q² = 2, e quindi p² = 2q² poich’é il quadrato di un numero dispari è ancora dispari, p deve essere pari e quindi scrivibile come 2r. Ma allora 4r² = q², quindi anche q dev’essere pari e quindi scrivibile come 2s. Solo che non si può continuare all’infinito a dimezzare numeri naturali…

Ho visto questo tweet di Math Lady Hazel con una dimostrazione completamente diversa, e bellissima.

Innanzitutto, sappiamo che √2 < 2, perché elevando al quadrato abbiamo 2 < 4. Supponiamo ora che √2 sia razionale: allora esistono infiniti numeri che moltiplicati per √2 danno un numero naturale come risultato. Sia k il più piccolo di questi numeri. Si ha che k·(√2−1)·√2 = 2k − k√2 è per costruzione un numero naturale, e pertanto anche k·(√2−1) è un numero tale che se moltiplicato per √2 dà un naturale come risultato. Ma dato che √2−1 è minore di 1, l’ipotesi che k fosse il minore di quei numeri è falsa. QED :-)

Ultimo aggiornamento: 2023-01-16 22:47

Gianluigi Filippelli ha segnalato questo articolo di Quanta che parla di come si può sfruttare la matematica in Wordle. Ci sono vari spunti interessanti, come la differenza nella prima parola scelta tra un computer che può calcolare l’albero di tutti i possibili tentativi e un umano che preferisce avere degli appigli e quindi spesso usa una parola con tante vocali (ma ADIEU e AUDIO funzionano peggio di RAISE, e tra l’altro ieri è proprio uscita NAÏVE che era uno degli esempi fatti nel testo e indovinabili quasi subito). È anche interessante che per un computer avere solo lettere gialle (presenti, ma in altre posizioni) anziché solo lettere verdi (presenti in quella posizione) aumenta il numero medio di tentativi richiesti solo del 5%.

Si può poi usare la statistica per vedere se i risultati cumulativi ottenuti da un gruppo di amici implicano che si stia barando. Secondo l’autore Pradeep Mutalik, un bravo giocatore ottiene un birdie (trovare la parola in tre tentativi, il par è 4) ogni 2,5 partite in media, un eagle (trovarla in due) ogni 40 partite e un hole-in-one ogni 2000 partite. Io vado molto peggio, ve lo assicuro. Bene: applicando regole statistiche si possono analizzare i risultati e vedere se sono troppo distanti da quanto ci si aspetta; per esempio 15 o più punteggi consecutivi sotto 4 sono sospetti. È però vero che le parole del giorno compaiono in un ordine ben preciso: anche senza sbirciare la successiva, ma tenendo solo conto di quelle già uscite, si può migliorare il punteggio verso la fine dei cinque anni in cui la lista viene esaurita. (Di nuovo, io non mi ricordo la parola del giorno dopo due ore…) Come fare per rendere più casuale la parola del giorno? Una proposta è quella di vedere quanti hanno risolto Wordle un’ora prima della scadenza della parola, prendere il valore modulo il numero delle parole possibili e scegliere quella corrispondente nell’ordine. Ovviamente si potrà sempre barare, ma almeno bisognerà aspettare che la nuova parola appaia nel gioco!

Alessandro Gentilini mi ha fatto conoscere la seguente mnemonica attribuita al fisico Marcello Ceccarelli, uno dei fondatori del Radio Telescopio di Medicina (BO):

Tre imperfettibile è degno archetipo di quella serie che svela, volgendo, circolari sublimi relazioni.

La cosa interessante di questa mnemonica è che per indicare il “14” che segue il 3 non si usano una parola di una lettera e una di quattro, ma una di quattordici lettere…

Le domande qui sopra arrivano da una scheda di verifica del National Centre for Excellence in the Teaching of Mathematics. Nella prima, si afferma che 1074183 è un multiplo di 11 (è vero, non preoccupatevi) e si chiede di scrivere i tre multipli di 11 successivi; fin qua nulla di particolare. Anche la seconda domanda non dà problemi: le cifre del numero sono riordinate, ottenendo 3817401 che è un multiplo di 7; si chiede di scrivere i tre multipli di 7 successivi precedenti. I guai arrivano con la nuova permutazione delle cifre, che dà 1813047 che è un multiplo di 3: la domanda è stavolta “scrivete i tre multipli di 6 immediatamente successivi a questo numero”. Siete capaci di trovarli?

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Ultimo aggiornamento: 2022-11-18 16:54

Occhei, il governo non li fa più giornalieri ma settimanali, perché – almeno secondo il Post – “considera la pandemia ormai finita e quindi ritiene che i giornali non debbano più pubblicare l’aggiornamento quotidiano dei numeri relativi al Covid, soprattutto il conto dei contagiati.” Però mette i dati giornalieri.

A differenza degli amici del Post, però, non mi pare affatto “strana e difficile da spiegare” la scelta di pubblicare nell’appuntamento settimanale i dati quotidiani. Per due anni e mezzo, assieme a un piccolo manipolo di divulgatori, ho detto che confrontare i dati giornalieri non aveva senso, perché quelli della domenica e soprattutto del lunedì erano falsati dal weekend. E in effetti le infografiche più serie usavano la media mobile a sette giorni proprio per compensare queste differenze strutturali. Avere tutti i dati giornalieri, anche se con un ritardo fino a sei giorni, è comunque sufficiente per fare delle analisi strutturate. Ricordate che un’ondata ha un andamento inizialmente esponenziale, e occorre un certo numero di valori per capire se c’è davvero una crescita che può essere esponenziale: una settimana di ritardo non è la fine del mondo, senza contare che visto che è il ministero che dovrebbe prendere provvedimenti e loro i dati ce li hanno tutti i giorni possono tranquillamente fare qualcosa per conto loro, senza aspettare i data analyst da tastiera come me. Sarebbe stato molto peggio se il overno avesse scelto di pubblicare solo report settimanali!

(Ah: in effetti, guardando l’URL, devono avere avuto dei ripensamenti anche al Post. Il titolo originale parlava infatti di “pasticcio”, non di “contraddizione”…)