Siamo tutti in grado di riempire un piano con tanti quadratini uguali. Ovviamente dovremmo avere un tempo infinito a disposizione o limitarci a dare una formula esplicita per la posizione dei quadrati, ma i matematici non si curano di queste quisquilie. Anche esagoni e triangoli riempiono il piano in modo semplice: si può dimostrare che un qualunque triangolo o quadrilatero convesso può farlo, e ci sono quindici famiglie diverse di pentagoni (non regolari) connessi che permettono di riempire il piano.

Tutte queste tassellature (è il nome tecnico) hanno una proprietà in comune: sono periodiche. Detto in altri termini, se noi guardiamo il piano mettendo come origine un punto specifico, qualcuno potrebbe traslare il piano e noi non ci accorgeremmo di nulla: su un foglio (infinito) a quadretti possiamo per esempio spostarci di un quadretto a sinistra o a destra. Essendo i matematici quello che sono, si sono presto posti la domanda “esiste una tassellatura aperiodica del piano?

Nel 1961 il logico Hao Wang cercò di scoprire se dato un insieme di piastrelle si poteva trovare un algoritmo che dice se è possibile tassellare con esse il piano. Dimostrò che lo si può fare se e solo se esiste una tassellatura periodica; tre anni dopo Robert Berger mostrò che quel problema era insolubile, presentando un insieme di 20426 tessere diverse che permettono sono una tassellatura aperiodica. Da quel momento è partita una gara per ridurre il numero di tessere distinte necessarie: fino a ieri il record era detenuto da sir Roger Penrose e Robert Ammann, che nel 1974 trovarono le due tessere “dart” e “kite”. (Nota per i pignoli: per garantire che l’unica tassellatura possibile del piano sia aperiodica bisogna specificare alcune regole di adiacenza: lo si fa con degli incastri come nelle tessere dei puzzle che rovinano la bellezza delle forme).

Per quasi mezzo secolo c’è stata la ricerca di “einstein”, la forma singola che tassellasse il piano in modo aperiodico, chiamata così non in omaggio ad Alberto ma perché in tedesco “ein Stein” significa “una pietra”. Ci furono alcuni risultati, ma la tessera ottenuta non era semplicemente connessa (cioè era fatta di pezzetti sparsi qua e là) e quindi è squalificata. Ieri però è giunta la notizia che David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan, e Chaim Goodman-Strauss hanno trovato una singola tessera, che hanno chiamato “hat”, cappello, con questa proprietà; o per meglio dire hanno trovato una famiglia di tessere di cui l’hat è il membro archetipico. Trovate qualche informazione aggiuntiva in questo toot di John Baez.

La parte più interessante di tutto questo è che le tassellature aperiodiche possono esistere in natura! I quasicristalli sono strutture di questo tipo, che permettono per esempio di avere una simmetria pentagonale che era vietata dalla teoria. (Ricordo che l’aperiodicità è solo per traslazione, la rotazione è permessa). Nessuno avrebbe pensato a cercare queste strutture minerali se non ci fosse stato questo esempio teorico…

Con la scoperta della singola tessera, la storia finisce qui? Non ancora. Questo hat ricopre il piano, ma occorre anche rovesciare la tessera oltre che traslarla e ruotarla. Sarà possibile evitare questa macchiolina?

Ultimo aggiornamento: 2023-03-22 11:31

Se avete letto il mio Chiamatemi pi greco, saprete sicuramente che a Parigi il Palais de la Découverte ha una “Salle pi” dove sono disegnate sul soffitto le prime 707 cifre decimali di pi greco, come trovate da William Shanks e poi corrette da D. F. Ferguson. (Sì, hanno dovuto ridipingere il soffitto).

Quello che probabilmente non sapete, anche perché l’ho scoperto da poco, è che il Palais de la Découverte è chiuso per lavori dal 2020 e la Salle pi è stata smantellata, con gli arredi venduti all’asta: «La salle Pi est démantelée l’année dernière, et ses éléments vendus aux enchères, à la fermeture du Palais pour travaux. Rendez-vous en 2025 !» (post del 15 marzo 2021). Chissà se il soffitto rimarrà lo stesso…

Chiunque abbia scritto un libro sa perfettamente che il numero di refusi è sempre notevole, anche se al giorno d’oggi almeno gli errori più marchiani vengono segnalati dal correttore ortografico. Quello che è peggio è che quando si dà in giro il manoscritto da controllare, la gente trova i refusi, ma capita sempre che persone diverse ne trovino di diversi: in pratica non si può essere certi che siano stati trovati proprio tutti. (Per amor di precisione, la mia esperienza dice che si può essere certi che ne siano rimasti). Ma si può avere una stima di quanti siano gli errori sfuggiti ai correttori di bozze? Certo.

Supponiamo che in un manoscritto ci siano n refusi, e che sia letto da due persone che ne abbiano trovato una percentuale pari rispettivamente a p e q. Se facciamo l’assunzione che le due persone abbiano letto indipendentemente il testo (e questo lo possiamo sperare) e che la probabilità che trovino un singolo refuso sia indipendente (e qui non ci giurerei, leggete dopo), allora il primo avrà trovato np refusi, mentre il secondo nq. I refusi trovati da entrambi saranno allora npq, per l’ipotesi di indipendenza del singolo refuso. Il rapporto tra i refusi trovati per esempio dal primo lettore e quelli trovati da entrambi sarà pertanto 1/q; da qui e dal numero di refusi trovato dal secondo lettore possiamo avere una stima del numero totale di refusi.

In questo bel sistema teorico c’è un punto debole. Alcuni refusi a mio parere sono così eclatanti che nessuno può fare a meno di trovarli, e quindi il numero stimato dal processo qui sopra sovrastima il totale. È possibile fare di meglio? Probabilmente un esperto in statistica avrebbe una risposta esatta; io mi limito a fare un ragionamento euristico. Aggiungiamo un terzo lettore, ed eliminiamo dal computo totale i refusi che sono stati trovati da tutti e tre; poi prendiamo i primi due e rifacciamo il conteggio del numero stimato di refusi, ricordandosi poi di aggiungere quelli che abbiamo tolto all’inizio. In questo modo abbiamo una sottostima, perché alcuni dei refusi sono stati trovati da tutti solo per caso; otteniamo così una forchetta migliore del singolo dato di prima.

Però sappiate che i refusi in un testo sono sempre più di quanti se ne sono trovati!

Dopo più di un anno e mezzo – e dopo sei mesi dalla prima volta che mi hanno chiesto di parlare del montepremi gigantesco – è stato centrato il 6 al Superenalotto, e i 90 fortunati vincitori si divideranno quota parte il jackpot di 371 milioni.

Proviamo a vedere cosa si può ricavare matematicamente dagli scarsi dati che si possono trovare. Il montepremi “nuovo” di ieri è consistito in 7.314.609 euro: poiché è il 60% della raccolta, sono state giocate 12.191.015 colonne. Immagino che al crescere del montepremi le giocate siano aumentate, anche se non troppo visto che lo scorso giugno c’erano comunque più di nove milioni di colonne. Facendo una media spannometrica di 10 milioni di colonne ad estrazione, la probabilità che nelle 272 estrazioni dal 22 maggio 2021 a martedì scorso non fosse mai uscito un 6 è intorno all’1,2% nel caso tutti giocassero colonne diverse: nella situazione reale dove qualcuno può giocare la stessa colonna direi che si viaggia tra l’1,5% e l’1,8%. Insomma, un periodo così lungo tra due vincite non è poi troppo comune.

(Per i ritardisti che per sbaglio sono capitati qui: ovviamente questi sono conteggi che si possono fare solo a posteriori. Per ciascuna estrazione, la probabilità che con 10 milioni di schedine tutte diverse giocate ci sia un 6 è intorno all’1,6%, probabilità che scende un po’ nel caso di colonne uguali. Non prendete la mia descrizione come un metodo per vincere al Superenalotto: se ce l’avessi, secondo voi vi racconterei tutte queste cose?)

L’altra cosa che mi ha lasciato perplesso è il fatto che il sistema a caratura che ha vinto aveva 90 quote da 5 euro ciascuna. Immagino che sia stato completamente acquistato, ma non è quello di cui volevo parlarne. Poiché una colonna costa un euro, 90 quote da 5 euro significa 450 colonne. Sono andato a vedere la bacheca dei sistemi Sisal – dal mio punto di vista un modo legalizzato per prendere soldi dai diversamente matematici: ma tanto immagino che li spenderebbero lo stesso – e non ho trovato nessun sistema completo o ridotto da 450 colonne: il sistema integrale con 11 elementi ha 462 colonne. D’altra parte uno di questi sistemi, ma anche i ridotti e i multistella citati nella bacheca dei sistemi, farebbero anche vincere quote minori che non sono state indicate nei comunicati stampa. Posso dunque immaginare che il sistema a caratura avesse semplicemente un certo numero di colonne scelte a caso, cosa che dal mio punto di vista è sempre la migliore nel caso uno voglia giocare. Ad ogni modo, congratulazioni ai vincitori! Anche col 20% di tasse, sono più di tre milioni di euro netti a ciascuno…

Ultimo aggiornamento: 2023-02-17 11:30

Il fatto che la radice quadrata di 2 sia irrazionale (cioè non è esprimibile come rapporto tra due numeri naturali) è noto almeno dai tempi dei pitagorici. La dimostrazione si fa normalmente mostrando che se p/q = √2 allora p²/q² = 2, e quindi p² = 2q² poich’é il quadrato di un numero dispari è ancora dispari, p deve essere pari e quindi scrivibile come 2r. Ma allora 4r² = q², quindi anche q dev’essere pari e quindi scrivibile come 2s. Solo che non si può continuare all’infinito a dimezzare numeri naturali…

Ho visto questo tweet di Math Lady Hazel con una dimostrazione completamente diversa, e bellissima.

Innanzitutto, sappiamo che √2 < 2, perché elevando al quadrato abbiamo 2 < 4. Supponiamo ora che √2 sia razionale: allora esistono infiniti numeri che moltiplicati per √2 danno un numero naturale come risultato. Sia k il più piccolo di questi numeri. Si ha che k·(√2−1)·√2 = 2k − k√2 è per costruzione un numero naturale, e pertanto anche k·(√2−1) è un numero tale che se moltiplicato per √2 dà un naturale come risultato. Ma dato che √2−1 è minore di 1, l’ipotesi che k fosse il minore di quei numeri è falsa. QED :-)

Ultimo aggiornamento: 2023-01-16 22:47

Gianluigi Filippelli ha segnalato questo articolo di Quanta che parla di come si può sfruttare la matematica in Wordle. Ci sono vari spunti interessanti, come la differenza nella prima parola scelta tra un computer che può calcolare l’albero di tutti i possibili tentativi e un umano che preferisce avere degli appigli e quindi spesso usa una parola con tante vocali (ma ADIEU e AUDIO funzionano peggio di RAISE, e tra l’altro ieri è proprio uscita NAÏVE che era uno degli esempi fatti nel testo e indovinabili quasi subito). È anche interessante che per un computer avere solo lettere gialle (presenti, ma in altre posizioni) anziché solo lettere verdi (presenti in quella posizione) aumenta il numero medio di tentativi richiesti solo del 5%.

Si può poi usare la statistica per vedere se i risultati cumulativi ottenuti da un gruppo di amici implicano che si stia barando. Secondo l’autore Pradeep Mutalik, un bravo giocatore ottiene un birdie (trovare la parola in tre tentativi, il par è 4) ogni 2,5 partite in media, un eagle (trovarla in due) ogni 40 partite e un hole-in-one ogni 2000 partite. Io vado molto peggio, ve lo assicuro. Bene: applicando regole statistiche si possono analizzare i risultati e vedere se sono troppo distanti da quanto ci si aspetta; per esempio 15 o più punteggi consecutivi sotto 4 sono sospetti. È però vero che le parole del giorno compaiono in un ordine ben preciso: anche senza sbirciare la successiva, ma tenendo solo conto di quelle già uscite, si può migliorare il punteggio verso la fine dei cinque anni in cui la lista viene esaurita. (Di nuovo, io non mi ricordo la parola del giorno dopo due ore…) Come fare per rendere più casuale la parola del giorno? Una proposta è quella di vedere quanti hanno risolto Wordle un’ora prima della scadenza della parola, prendere il valore modulo il numero delle parole possibili e scegliere quella corrispondente nell’ordine. Ovviamente si potrà sempre barare, ma almeno bisognerà aspettare che la nuova parola appaia nel gioco!