731 – aritmetica
I divisori di 114 sono 1, 2, 3, 6, 19, 38, 57, 114. Come vedete, al loro interno sono presenti tutte le cifre tra 1 e 9. Qual è il numero più piccolo che ha la questa proprietà? E se voleste avere anche lo 0?
(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p731.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema dalla Chris Smith’s Maths Newsletter.)
@matematica
730 – probabilità
Conoscete sicuramente il problema di Monty Hall. Ho sbaragliato gli altri concorrenti e ora Monty Hall mi presenta tre porte: dietro una di queste c’è un’automobile (elettrica, ovviamente) mentre dietro le altre due c’è una capra. Io devo scegliere una porta e vincerò quello che sta dietro di essa; ma so che Monty Hall – che sa dove si trova l’auto – aprirà una porta dove si trova una capra e mi chiederà se voglio cambiare porta. Si può dimostrare che effettivamente conviene cambiare idea.
Supponiamo però che io abbia scoperto che una delle due capre è Vincent Van Goat, l’animale di compagnia preferito dal multimilionario John Hircus, che l’ha persa qualche giorno fa e pagherebbe una fortuna – molto più del valore dell’auto – per riaverla. Insomma io voglio vincere quella capra, non l’auto. Monty Hall naturalmente non sa nulla della cosa: per lui tutte le capre sono uguali e tirano cornate allo stesso modo. Comincia il teatrino, Monty Hall rivela che dietro una delle porte che non avete scelto c’è una capra, io la guardo e vedo che non è Vincent. A questo punto cosa mi conviene fare?
(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p730.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema da sigmaleph su Tumblr; immagine da SVG Silh.)
Ultimo aggiornamento: 2025-01-13 10:52
729 – geometria
Una stella a cinque punte come quella mostrata in figura contiene cinque triangoli (nel contesto di questo gioco non si considerano i triangoli con una o più linee al loro interno). Aggiungete due rette alla figura e ottenete dieci triangoli.
(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p729.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema dalla rubrica di Alex Bellos.)
Ultimo aggiornamento: 2025-01-06 20:26
Il 2025 è un anno il cui valore ha molte proprietà matematiche, come racconta Greg Ross:
Nel 2025 avremo inoltre un “giorno pitagorico”: il 24/7/25, perché 24² + 7² = 25².
Se volete giocare un po’ con il numero 2025, ecco alcuni problemi, gli ultimi due tratti da Mathy Jokes for Mathy Folks.
Infine, siete in grado di emulare Inder Taneja e ottenere 2025 usando al più nove copie di una singola cifra da 1 a 9, con le quattro operazioni, l’elevazione a potenza e parentesi a piacere? Lo si può fare con tutte e nove le cifre.
Aggiornamento: (7 gennaio) Ecco la dimostrazione per induzione che la somma dei cubi da 1 a $n$ (che abbrevio in $C_n$) è uguale al quadrato della somma dei numeri da 1 a $n$: il tutto per induzione. Il caso $n = 1$ è immediato; se l’uguaglianza vale per $n$ abbiamo nel caso $n+1$
$(1 + 2 + \cdots + n + (n+1))^2 = ((1 + 2 + \cdots + n) + (n+1))^2 = (1 + 2 + \cdots + n)^2 + (n+1)^2 + 2(1 + 2 + \cdots + n)(n+1) = C_n + (n^2 + 2n + 1) + 2n((n+1)/2)(n+1) = C_n + n^2 + 2n + 1 + n^3 + 2n^2 + n = C_n + n^3 + 3n^2 + 3n + 1 = C_n + (n+1)^3 = C_{n+1}.$
Ultimo aggiornamento: 2025-01-07 11:20
728 – geometria
Il pentagono in figura (non disegnato in scala) è stato diviso in sei parti, congiungendo un punto al suo interno con i cinque punti medi dei lati e con un vertice. Sappiamo le aree di quattro delle parti, quelle che non passano per un vertice: sono rispettivamente 4, 8, 7, 5 unità. Qual è la differenza delle aree delle due parti restanti?
(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p728.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema da Mind Your Decisions.)
Sapendo che 22 × 35 = 972, e definendo α = log10 2, β = log10 3, γ = log10 7, quale di questi cinque numeri è più vicino a una potenza di 10?
(a) 2β
(b) 5α + β
(c) α + 2γ
(d) 2α + 5β
(e) 2α + β + γ
(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p727.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema da Mind Your Decisions; immagine di Conscious, da Wikimedia Commons.)
Ultimo aggiornamento: 2024-12-22 16:23
726 – geometria
La nazione di Trianglia ha una bandiera verde, bianca e rossa come la nostra: ma invece che avere tre rettangoli colorati ha tre triangoli, come mostrato in figura. I tre angoli in D sono tutti congruenti; i due segmenti che partono da D e formano i suddetti angoli sono la diagonale DB del rettangolo ABCD e un punto P sul lato AB. Se il lato corto della bandiera AD misura 50 cm, quant’è il perimetro del triangolo BDP?
(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p726.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema numero 76 dell’ACM 10 del 2000.)
725 – scherzo
Quale delle due teiere contiene più tè, se le riempiamo?
(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p725.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema dal libro di Alex Bellos Think Twice.)
