776 – algebra

I numeri di Fermat sono quelli della forma F_n = 2^(2^n)) + 1. Una congettura di Fermat affermava che se n è primo, allora F_n è primo (“numero primo di Fermat”). I primi numeri in effetti lo sono: F₀ = 3, F₁ = 5, F₂ = 17, F₃ = 257, F₄ = 65537. Peccato che non si conosca nessun altro primo di Fermat. Ma non è questo il problema di oggi. Dimostrate che vale sempre l’uguaglianza F₀F₁F₂…F_k−1 = F_k − 2.

(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p776.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema 28 da Stephen Siklos, Advanced Problems in Mathematics.)

775 – combinatoria

I dodici cavalieri della Tavola Rotonda sono dei buontemponi, e oggi hanno deciso di sedersi a caso per la consueta riunione. Artù fa un rapido controllo e nota che nessuno è seduto al proprio posto. A questo punto si passa al primo punto dell’ordine del giorno: nomina del presidente. Tristano propone di far ruotare la tavola, che è stata costruita in modo da girare a piacere per rappresentare ancora meglio l’uguaglianza: la persona che si troverà al proprio posto sarà il presidente. Persival replica che potrebbe darsi che due o più persone si troveranno al posto giusto, e a quel punto non si saprebbe chi scegliere, ma Lancillotto lo rassicura dicendogli che ha verificato e con la disposizione attuale la cosa non è possibile. Come sono disposti i cavalieri?


(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p775.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema ispirato da Durtles su BlueSky; immagine generata da Copilot.)

774 – algebra

Gli antichi egizi scrivevano le frazioni come somma di frazioni della forma 1/n, dove i denominatori erano tutti diversi; le frazioni di quella forma sono dette frazioni egizie. Per esempio, 2/7 veniva espresso come 1/4 + 1/28. Di per sé ci sono infiniti modi di scrivere una frazione in forma egizia: dimostrate però che se p è un numero primo c’è un solo modo per scrivere 1/p e 2/p (con p maggiore di 2) come somma di due frazioni egizie (con denominatori diversi), notando che 1/p = 1/a + 1/b può essere scritto come (a−p)(b−p) = p²


(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p774.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema 11 da Stephen Siklos, Advanced Problems in Mathematics.)

Ultimo aggiornamento: 2025-11-16 22:37

773 – algebra

Data la catena di equazioni 3 = 2/x₁ = x₁ + 2/x₂ = x₂ + 2/x₃ = x₃ + 2/x₄ = …, quanto vale il termine generico x_n?


(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p773.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema 7 da Stephen Siklos, Advanced Problems in Mathematics.)

772 – teoria dei numeri

Quanti interi maggiori o uguali a 0 e minori di 9261 non sono divisibili né per 3 né per 7? E qual è la loro media aritmetica?


(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p772.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema 4 da Stephen Siklos, Advanced Problems in Mathematics.)

771 – teoria dei numeri

Un postino deve consegnare la posta alle case che si trovano su un lungo viale, case che sono numerate da 1 a 1000. Il guaio è che il postino è molto superstizioso, e da quando ha scoperto che in cinese il numero 4 si pronuncia come la parola “morte” si rifiuta di passare da una casa il cui numero civico contiene il numero 4, come per esempio 144 oppure 314. Quante case non riceveranno mai posta?


(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p771.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema da Stephen Siklos, Advanced Problems in Mathematics; immagine di TVLuke, da OpenClipArt.)

770 – algebra

Se 2^a + 2^b + 2^c + 2^d = 201/16, e a, b, c, d sono interi (non necessariamente distinti), quanto vale abcd?


(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p770.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema da Math World.)