759 – algebra
Se log2(log3(log5(log7 N))) = 11, dove il pedice indica la base del logaritmo, quanti sono i fattori primi distinti di N?
(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p759.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema #12 dell’ASHME 1998)
Vediamo…
Intanto, se servono incognite intermedie usiamo K, L, M (in maiuscolo così sono più identificabili) mentre N è l’incognita da valutare.
Partendo dall’esterno si ha log(2) K = 11 da cui K = 2^11 (un unico fattore primo ripetuto 11 volte).
Continuando si ha log(3) L = K da cui L = 3^K (un unico fattore primo ripetuto K volte).
Di seguito si ha log(5) M = L da cui M = 5^L (un unico fattore primo ripetuto L volte).
Infine si ha log(7) N = M da cui N = 7^M (un unico fattore primo ripetuto M volte).
Poiché K=512, allora L>1,9*10^244 e sia M che N non li so quantificare al volo :-)
La funzione logaritmo trova qual è l’esponente di quella determinata base, se il risultato è intero allora vuol dire che il numero di partenza è una potenza intera della base stessa, e se la base è 7 allora il numero di partenza è una potenza (grande abbastanza) di quella base.
Se si vuole risolvere completamente l’equazione, N=7^{5^{3^{2^11}}}.