733 – probabilità
Una rana si trova in uno stagno dove ci sono quattro ninfee in fila, che numeriamo 1, 2, 3, 4. Inizialmente si trova sulla ninfea 2. Se la rana si trova sulla ninfea 1 oppure 4, se ne sta lì bella tranquilla. Se è sulla ninfea 2 può spostarsi sulla 3 con probabilità 1/2 e sulla 1 con probabilità 1/2; se è sulla ninfea 3 può spostarsi sulla 4 con probabilità 2/3 e sulla 2 con probabilità 1/3. Qual è la probabilità che la rana termini i suoi salti sulla ninfea 1?
(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p733.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema di Michael Coffey, da The Fiddler; immagine da FreeSVG.)
22/36? la probabilità per me rimane uno dei tanti misteri gloriosi della matematica (che amo, senza essere ricambiato…ah l’amour!)
PS con il prolungamento delle uscite dei libri di math del Corriere rischio di essere cacciato di casa per abuso di spazi comuni…per la prossima volta: mi offro come revisore dei testi aggratis, in alcuni ci sono passaggi grammatical-logici imbarazzanti.
no, è una frazione più semplice.
Garantisco che non supereremo il 60, io ero già contrario a questi ultimi dieci volumi perché sono – come si vede – fuso…
Per arrivare sulla ninfea 1 deve arrivare sulla ninfea 2.
Su quest’ultima può arrivarci solo con un numero pari di passi.
Al passo zero è sulla ninfea 2 con probabilità 1.
Al passo 2 con probabilità 1*(1/2)*(1/3) = 1/6
Al passo 4: (1/6)*(1/6) e così via
Ogni volta che si trova sulla 2 avrà il 50% di probabilità di saltare sulla 1 al passo successivo.
La sommatoria (1/6)^n vale 6/5. Il 50% è 3/5.
Mi sono spiegato da cani ma il valore dovrebbe tornare
Dalla ninfea 2 posso passare alla 1 con probabilità 1/2 (e là finisco) oppure alla 3 sempre con probabilità 1/2. Dalla 3 posso passare alla 2 con probabilità 1/3 e mi ritrovo nello stato iniziale. Quindi, se P è la probabilità cercata, devo avere:
P=1/2+(1/2)(1/3)P
Risolvendo, ottengo P=3/5.
il mio metodo è quasi uguale, ma forse ancora più semplice.