726 – geometria
La nazione di Trianglia ha una bandiera verde, bianca e rossa come la nostra: ma invece che avere tre rettangoli colorati ha tre triangoli, come mostrato in figura. I tre angoli in D sono tutti congruenti; i due segmenti che partono da D e formano i suddetti angoli sono la diagonale DB del rettangolo ABCD e un punto P sul lato AB. Se il lato corto della bandiera AD misura 50 cm, quant’è il perimetro del triangolo BDP?
(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p726.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema numero 76 dell’ACM 10 del 2000.)
Dato che la figura rappresenta un rettangolo, con tutte le sue proprietà, lati e angoli, e conoscendo anche le proprietà dei vari tipi di triangoli, e visto che sul punto D insistono tre angoli di 30° (π/6 rad), allora il triangolo verde è la metà di un triangolo equilatero dove DP corrisponde a metà della base e AD all’altezza.
Anche il triangolo rosso è la metà di un triangolo equilatero dove BC corrisponde a metà della base e CD all’altezza, quindi la lunghezza del lato BD è pari al doppio di quella di BC.
Si nota che sia l’angolo APD che l’angolo CBD corrispondono entrambi a 60° (π/3 rad) allora l’angolo BPD corrisponde a 120° (π*2/3 rad) e l’angolo BDP corrisponde a 30° (π/6 rad) come lo è BDP pertanto il triangolo bianco è isoscele e il suo perimetro corrisponde alla somma della lunghezza della base e quelle dei due lati congruenti.
Pertanto, considerando che
AD = 50
si ha
BD = 50*2
BP = DP = 50*(2/√3)
quindi
BD+BP+DP = 50*(2+2*(2/√3))
cioè circa 215,47 cm (con un’approssimazione inferiore a 0,54 μm).
SE&O
forse la faccio facile ma basta considerare BDC come triangolo e trovare DC… e il perimetro risulta un po’ più lungo…