Lanciate due dadi: è più facile che otteniate 7 rispetto a 2 o 12. Questo dovrebbe esservi noto. Probabilmente vi sarete anche messi a fare una volta i conti, trovando che i vari valori da 2 a 12 possono essere ottenuti così:
2: 1 modo (1+1)
3: 2 modi (1+2) (2+1)
4: 3 modi (1+3) (2+2) (3+1)
5: 4 modi (1+4) (2+3) (3+2) (4+1)
6: 5 modi (1+5) (2+4) (3+3) (4+2) (5+1)
7: 6 modi (1+6) (2+5) (3+4) (4+3) (5+2) (6+1)
8: 5 modi (2+6) (3+5) (4+4) (5+3) (6+2)
9: 4 modi (3+6) (4+5) (5+4) (6+3)
10: 3 modi (4+6) (5+5) (6+4)
11: 2 modi (5+6) (6+5)
12: 1 modo (6+6)
Vi siete mai chiesti se è possibile avere due dadi diversi da quelli standard, ma che danno la stessa distribuzione di risultati? Naturalmente ci aspettiamo che su ogni faccia dei dadi ci sia almeno un puntino, e che il numero di puntini sia sempre un intero. La risposta è affermativa, ma c’è un solo altro modo di costruirli, trovato da George Sicherman e reso noto da Martin Gardner nel 1978. I dadi hanno questi valori sulle facce: il primo (1, 2, 2, 3, 3, 4) e il secondo (1, 3, 4, 5, 6, 8). Si può verificare facilmente che le combinazioni possibili sono queste:
2: 1 modo (1+1)
3: 2 modi (2+1) (2+1)
4: 3 modi (1+3) (3+1) (3+1)
5: 4 modi (1+4) (2+3) (2+3) (4+1)
6: 5 modi (1+5) (2+4) (2+4) (3+3) (3+3)
7: 6 modi (1+6) (2+5) (2+5) (3+4) (3+4) (4+3)
8: 5 modi (2+6) (2+6) (3+5) (3+5) (4+4)
9: 4 modi (1+8) (3+6) (3+6) (4+5)
10: 3 modi (2+8) (2+8) (4+6)
11: 2 modi (3+8) (3+8)
12: 1 modo (4+8)
Come si possono trovare questi valori per i dadi? C’è un trucco molto interessante in matematica: quello di usare le funzioni generatrici. Una funzione generatrice è un modo per “impacchettare” una successione di interi nei coefficienti di un polinomio fittizio. La funzione generatrice per un dado è così \( x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 \), che rispecchia per l’appunto il fatto che i valori da 1 a 6 (i coefficienti da \( x \) a \( x^6 \) sono tutti 1. L’equivalente di lanciare due dadi è moltiplicare questa funzione per sé stessa: se ci pensate un attimo, infatti, i fattori \( x^k \) sono ottenuti dalle moltiplicazioni \( x^h \cdot x^l \), dove \( h + l = k \); quindi è proprio la definizione di funzione generatrice. Abbiamo così che il lancio di due dadi corrisponde alla funzione generatrice \( (x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)^2 \), che si fattorizza come \( (x(x+1)(x^2-x+1)(x^2+x+1))^2 \). Il trucco è ora quello di scrivere questo polinomio di dodicesimo grado come prodotto di due polinomi (i due dadi…) sapendo che ciascuno dei due polinomi deve avere un fattore \( x \) (altrimenti come otteniamo 2 = 1+1?), che i coefficienti siano tutti positivi (mica possiamo avere un numero negativo di facce con un certo numero di punti) e che la somma di tutti i coefficienti deve essere 6 (un dado ha sei facce). Per verificare la somma dei coefficienti basta calcolare il valore del polinomio per \( x = 1 \), ottenendo 1 per \(x\), 2 per \(x + 1\), 1 per \(x^2 – x +1 \) e 3 per \(x^2 + x +1 \). Abbiamo visto che i due fattori \(x\) stanno uno per polinomio; quindi anche i \(x^2 + x +1 \) devono essere separati o altrimenti un polinomio avrebbe somma dei coefficienti almeno 7. A questo punto anche i due \(x + 1\) devono essere separati per lo stesso motivo. Se separiamo anche i due \(x^2 – x +1 \) otteniamo i dadi di partenza; se invece li lasciamo insieme otteniamo i due polinomi \( x + 2x^2 + 2x^3 + x^4 \) e \( x + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^8 \) che sono effettivamente funzioni generatrici e corrispondono per l’appunto ai dadi di Sicherman.
Non so se siete riusciti ad arrivare fino in fondo alla dimostrazione teorica: confesso che dovendo scrivere il post ho finalmente capito come funzionano le funzioni generatrici. Non è mai troppo tardi… Fortunatamente non è necessario tutto l’armamentario teorico per verificare che i dadi funzionano, ma basta il conto pratico visto sopra.
Chissà, magari si possono comprare dei dadi di Sicherman per stupire i nostri amici quando giochiamo…
Ultimo aggiornamento: 2026-03-04 11:58
Non so in Italia, ma a Zurigo nei negozi di giochi per grandi si trovano dei dadi “bianchi”, sui quali puoi scrivere quello che vuoi. Solo cubici, purtroppo: estendere il concetto ai dadi da D&D potrebbe essere interessante…
Sappia che questa volta non ho capito nulla di nulla
la dimostrazione è indubbiamente tecnica, ma il fatto che con i due dadi di Sicherman la probabilità che esca un numero specifico è la stessa che con i due dadi standard mi pareva fosse chiara, non foss’altro che perché ho elencato tutte le possibilità…
Lei mi fa il precisino e io mi correggo: non ho capito nulla di nulla a partire dalle parole «Come si possono trovare…»
P.S. – tentando di iscrivermi ai commenti di questo post (come peraltro già successo per post passati) il sistema mi risponde: «Sorry, but the provided signature isn’t valid.»
a volte dà errori persino a me quando salvo un post, non ho mai capito il motivo :-(
Non ho capito perché la funzione generatrice dei dadi standard è quel polinomio (ovvero: perché deve avere coefficienti tutti uguali a 1) e quindi non ho capito come dalla nuova scomposizione in fattori del prodotto dei due dadi (dal risultato, intendo) si deducono le facce dei dadi di Sicherman. Poi il resto posso crederci sulla fiducia.
Il polinomio della funzione generatrice è solo un modo per codificare i possibili esiti del lancio del dado in una formula compatta. In quanti modi possiamo ottenere 3 lanciando un dado? in un modo. Quindi il coefficiente di x^3 deve essere 1.
Se putacaso avessimo un dado con due facce con un puntino, una con quattro puntini e tre con sei puntini la funzione generatrice corrispondente sarebbe 2x + x^4 + 3x^6.
Tornando ai nostri dadi normali, e quindi al polinomio x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6, cosa succede se ne lanciamo due e vogliamo calcolare in quanti modi otteniamo 4? Sappiamo che sono 1+3, 2+2 e 3+1. Dal punto di vista delle funzioni generatrici dobbiamo trovare il coefficiente di x^4, e per ottenerlo nel prodotto di quel polinomio per sé stesso abbiamo i possibili prodotti parziali (x)(x^3), (x^2)(x^2), oppure (x^3)(x).
Detto in altro modo: l’esponente è il numero che dovrà comparire sulla faccia e il coefficiente è quante volte quel numero deve comparire nelle sei facce. Come dicevo: il resto ci credo sulla fiducia. :-)
[Non so se è partito il commento precedente; se sì cancella questo e scusa. Riscrivo a memoria.]
Intuisco che cosa intendi, ma non sono sicuro di condividere l’appellativo “polinomio fittizio”. Non è che gli altri polinomi saltellano nei prati. Tutti i polinomi sono semplicemente (o “equivalgono a”) delle successioni che da un certo punto in poi sono zero, così come le serie di potenze sono delle successioni senza questo vincolo. Cioè, scrivere a_0 + a_1 x + a_2 x^2 +… è lo stesso che scrivere (a_0, a_1, a_2, …), e poi eventualmente si definisce come sommare, moltiplicare etc. questi oggettii.
per me un polinomio è una funzione, cioè una macchinetta nella quale inserisci un numero e ti viene un risultato. Qui non inserisci numeri, associ un valore alle potenze della variabile.