Lanciate due dati: è più facile che otteniate 7 rispetto a 2 o 12. Questo dovrebbe esservi noto. Probabilmente vi sarete anche messi a fare una volta i conti, trovando che i vari valori da 2 a 12 possono essere ottenuti così:
2: 1 modo (1+1)
3: 2 modi (1+2) (2+1)
4: 3 modi (1+3) (2+2) (3+1)
5: 4 modi (1+4) (2+3) (3+2) (4+1)
6: 5 modi (1+5) (2+4) (3+3) (4+2) (5+1)
7: 6 modi (1+6) (2+5) (3+4) (4+3) (5+2) (6+1)
8: 5 modi (2+6) (3+5) (4+4) (5+3) (6+2)
9: 4 modi (3+6) (4+5) (5+4) (6+3)
10: 3 modi (4+6) (5+5) (6+4)
11: 2 modi (5+6) (6+5)
12: 1 modo (6+6)

Vi siete mai chiesti se è possibile avere due dadi diversi da quelli standard, ma che danno la stessa distribuzione di risultati? Naturalmente ci aspettiamo che su ogni faccia dei dadi ci sia almeno un puntino, e che il numero di puntini sia sempre un intero. La risposta è affermativa, ma c’è un solo altro modo di costruirli, trovato da George Sicherman e reso noto da Martin Gardner nel 1978. I dadi hanno questi valori sulle facce: il primo (1, 2, 2, 3, 3, 4) e il secondo (1, 3, 4, 5, 6, 8). Si può verificare facilmente che le combinazioni possibili sono queste:
2: 1 modo (1+1)
3: 2 modi (2+1) (2+1)
4: 3 modi (1+3) (3+1) (3+1)
5: 4 modi (1+4) (2+3) (2+3) (4+1)
6: 5 modi (1+5) (2+4) (2+4) (3+3) (3+3)
7: 6 modi (1+6) (2+5) (2+5) (3+4) (3+4) (4+3)
8: 5 modi (2+6) (2+6) (3+5) (3+5) (4+4)
9: 4 modi (1+8) (3+6) (3+6) (4+5)
10: 3 modi (2+8) (2+8) (4+6)
11: 2 modi (3+8) (3+8)
12: 1 modo (4+8)

Come si possono trovare questi valori per i dadi? C’è un trucco molto interessante in matematica: quello di usare le funzioni generatrici. Una funzione generatrice è un modo per “impacchettare” una successione di interi nei coefficienti di un polinomio fittizio. La funzione generatrice per un dado è così \( x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 \), che rispecchia per l’appunto il fatto che i valori da 1 a 6 (i coefficienti da \( x \) a \( x^6 \) sono tutti 1. L’equivalente di lanciare due dadi è moltiplicare questa funzione per sé stessa: se ci pensate un attimo, infatti, i fattori \( x^k \) sono ottenuti dalle moltiplicazioni \( x^h \cdot x^l \), dove \( h + l = k \); quindi è proprio la definizione di funzione generatrice. Abbiamo così che il lancio di due dadi corrisponde alla funzione generatrice \( (x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)^2 \), che si fattorizza come \( (x(x+1)(x^2-x+1)(x^2+x+1))^2 \). Il trucco è ora quello di scrivere questo polinomio di dodicesimo grado come prodotto di due polinomi (i due dadi…) sapendo che ciascuno dei due polinomi deve avere un fattore \( x \) (altrimenti come otteniamo 2 = 1+1?), che i coefficienti siano tutti positivi (mica possiamo avere un numero negativo di facce con un certo numero di punti) e che la somma di tutti i coefficienti deve essere 6 (un dado ha sei facce). Per verificare la somma dei coefficienti basta calcolare il valore del polinomio per \( x = 1 \), ottenendo 1 per \(x\), 2 per \(x + 1\), 1 per \(x^2 – x +1 \) e 3 per \(x^2 + x +1 \). Abbiamo visto che i due fattori \(x\) stanno uno per polinomio; quindi anche i \(x^2 + x +1 \) devono essere separati o altrimenti un polinomio avrebbe somma dei coefficienti almeno 7. A questo punto anche i due \(x + 1\) devono essere separati per lo stesso motivo. Se separiamo anche i due \(x^2 – x +1 \) otteniamo i dadi di partenza; se invece li lasciamo insieme otteniamo i due polinomi \( x + 2x^2 + 2x^3 + x^4 \) e \( x + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^8 \) che sono effettivamente funzioni generatrici e corrispondono per l’appunto ai dadi di Sicherman.

Non so se siete riusciti ad arrivare fino in fondo alla dimostrazione teorica: confesso che dovendo scrivere il post ho finalmente capito come funzionano le funzioni generatrici. Non è mai troppo tardi… Fortunatamente non è necessario tutto l’armamentario teorico per verificare che i dadi funzionano, ma basta il conto pratico visto sopra.

Chissà, magari si possono comprare dei dadi di Sicherman per stupire i nostri amici quando giochiamo…