770 – algebra
Se 2a + 2b + 2c + 2d = 201/16, e a, b, c, d sono interi (non necessariamente distinti), quanto vale abcd?
(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p770.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema da Math World.)
La composizione di un numero espresso come somma di potenze di 2 si può esprimere in binario, quindi partendo dal fatto che 201/16 = 12 + (9/16) basta scrivere 1100(bin) come parte intera e 1001(bin) come parte “dopo la virgola”, cioè 2^3 + 2^2 + 2^(-1) 2^(-3) .
Si arriva molto semplicemente a definire i valori di a, b, c, d (non necessariamente in quell’ordine) ma quello che non ho capito è se interpretare “abcd” come prodotto [ a * b * c * d ] oppure come [ a * (X^3) + b * (X^2) + c * (X^1) + d * (X^0) ] (sistema posizionale con base non determinata, 2 oppure 10 o cos’altro possa essere), in tal caso non saprei come scriverlo :-)
… Naturalmente 1001(bin) come parte “dopo la virgola” vale 2^(-1) + 2^(-4) e non “alla meno tre” … (poffare!) :-)
Sono d’accordo. Io ci sono arrivato scrivendo 201 come somma di potenze di 2 e poi semplificando con 16, ma il risultato è quello.
Direi che si chiede il prodotto, anche perché nell’altro caso, oltre a essere una richiesta piuttosto bizzarra, l’ordine degli esponenti usati come cifre non sarebbe definito.
A margine, noto che la clausola “non necessariamente distinti” è lievemente fuorviante, anche perché 2^a+2^a=2^(a+1), quindi il problema si ridurrebbe a una somma di un numero minore di addendi :-D
Moltiplico entrambi i membri per 16:
2^4a + 2^4b + 2^4c + 2^4d = 201
Perche’ una somma di potenze di due sia dispari bisogna che almeno uno tra a, b, c, d deve essere zero, quindi abcd = 0
Uhm, no… se moltiplichi per 16 gli esponenti diventano (a+4), (b+4) ecc.
È facile confondere il prodotto con la potenza di potenza :-)