761 – algebra
Come sapete, i numeri triangolari sono quelli che possiamo disporre in una struttura triangolare: 1, 3, 6, 10, 15… Qual è la somma degli inversi di tutti i numeri triangolari, cioè 1 + 1/3 + 1/6 + 1/10 + 1/15 + … ?
(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p761.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema classico.)
L’n-esimo numero triangolare è n(n+1)/2.
Calcoliamo la successione delle somme parziali della serie ed esprimiamo ciascun risultato come il prodotto del precedente per un numero:
S_1 = 1
S_2 = 1 + 1/3 = 4/3 = S_1 * 4/3
S_3 = 4/3 + 1/6 = 3/2 = S_2 * 9/8
Dopo qualche calcolo si riconosce che vale in generale
S_n = S_(n-1) * n^2/(n^2 – 1)
Ma d’altro canto
S_n = S_(n-1) + 2/(n(n+1))
Eguagliando i secondi membri si arriva a un’equazione in S_(n-1) che ha come risultato 2(n-1)/n.
Questa espressione tende a 2 con il tendere di n a infinito. In altre parole 2 è la somma della serie.