747 – algebra
L’equazione (x+3)(x+5)(x+7)(x+9) = 9 ha evidentemente quattro soluzioni tra i numeri complessi. Trovatene almeno una.
(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p747.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema da Twitter, dove si dice che è stato usato nei test di ammissione ad Harvard)
Oggi non ho voglia di fare calcoli per cui francamente cercavo una possibile scorciatoia con la pagina dell’aiutino, che però al momento non è nel campo dei reali.
Mi limito a notare che se il risultato della quadrupla moltiplicazione dev’essere positivo (+9) allora tutti i singoli fattori devono essere positivi (x+3, x+5, x+7, x+9) oppure tutti negativi, o infine metà e metà, perché i negativi non possono essere in numero dispari.
Se tutti i fattori sono positivi il risultato fa presto a salire, e ugualmente se tutti i fattori sono negativi, quindi tralascio queste due possibilità, per adesso.
Con metà e metà ci si aspetta che (x+5) sia dalla parte dei fattori negativi e (x+7) sia dalla parte dei fattori positivi, il che fa pensare subito a x=-6.
Non so se casualmente oppure no, ma propendo per una scelta ponderata, è semplice verificare, senza complicarsi la vita, che (-3)*(-1)*(+1)*(+3)=9 è corretto, per cui UNA SOLUZIONE è stata trovata :-)