728 – geometria
Il pentagono in figura (non disegnato in scala) è stato diviso in sei parti, congiungendo un punto al suo interno con i cinque punti medi dei lati e con un vertice. Sappiamo le aree di quattro delle parti, quelle che non passano per un vertice: sono rispettivamente 4, 8, 7, 5 unità. Qual è la differenza delle aree delle due parti restanti?
(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p728.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema da Mind Your Decisions.)
A-B=2. Congiungendo il punto all’interno con i restanti vertici si ottengono delle coppie di triangoli consecutivi equivalenti aventi in comune il segmento che va dal punto interno alla figura al punto medio di ogni lato. Si scrive un sistema di 4 equazioni in 5 incognite….
Senza aiutino non ci sarei arrivato mai…
Congiungo il centro con il vertice a nord e ottengo due triangoli: uno ha stessa lunghezza della base e stessa altezza di B e ha area B, l’altro quindi ha area 4-B. Quest’ultimo ha stessa area del triangolino ottenuto congiungendo il centro con il vertice ad est: 4-B. Quindi l’altro pezzo ha area 8-(4-B) = 4+B.
Che è la stessa area del triangolino ottenuto congiungendo in centro con il vertice a sud est. Il pezzo restante ha area 7-(4+B)=3-B.
Che è l’area dell’ultimo semi-triangoloino, e il pezzo restante ha area 5-(3-B)=2+B.
Ma quest’ultimo ha anche area A (è lo stesso ragionamento girando in senso opposto).
Quindi A=2+B, quindi A-B=2 come nella soluzione di Leo
L’ho risolto come Leo ma mi piace il metodo più concreto di Stegal…
Ok, ho capito che più o meno tutti si passa dallo stesso metodo.
Senza vedere l’aiutino e senza vedere le altre risposte (che subito non c’erano) nel mio percorso giro in senso antiorario da A verso B notando che il quadrilatero [5] equivale alla somma di un triangolo simile ad [A] e uno che chiamo [x], poi il quadrilatero [7] equivale alla somma tra [x] e [y], il quadrilatero [8] equivale alla somma tra [y] e [z], infine il quadrilatero [4] equivale alla somma tra [z] e [B].
Forse è più semplice scriverlo così:
5 = A+x
7 = x+y
8 = y+z
4 = z+B
Si tolgono subito di mezzo [x] e [z] sostituendole con i rispettivi valori in [y]; si poteva fare anche subito ma i miei passaggi sono stati questi.
5 = A + (7-y)
4 = B + (8-y)
Estraendo [y] si ottengono le seguenti uguaglianze (in effetti sì, non serviva nessuna incognita aggiuntiva, ma all’inizio era comodo così):
y = A+7-5
y = B+8-4
Alla fine è semplice trovare la differenza tra A e B come richiesto:
A+2 = B+4
A-B = 2
[A] dev’essere compreso tra 2 e 5 estremi esclusi, quindi A=4 e B=2 sarebbe una scelta ragionevole (e l’area totale varrebbe 30) ma non è strettamente necessario stabilirlo.