716 – teoria dei numeri
Diciamo che due numeri sono specchiati se le cifre di uno sono quelle dell’altro in ordine inverso, come 123 e 321. Sapendo che il prodotto di due numeri specchiati è 92565, sapreste trovarli?
(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p716.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema di A. Vasin, da Futility Closet)
92565 = 5 * 18513, quindi uno dei numeri specchiati finisce con 5 e l’altro inizia con 5.
18513 ha 5 divisori tra 100 e 999, tra i quali i due cercati.
Mi sembra una soluzione poco intelligente perche’ richiede di calcolare i divisori, ma mi vengono in mente alternative.
Ci sono numeri specchiati che sono anche numeri primi grandi?
75869 è un esempio. Comunque io non l’ho risolto fattorizzando.
però in effetti dovremmo prendere degli emirp di tre cifre da https://oeis.org/A006567
Siccome devono essere numeri di tre cifre e uno comincia per 5, l’altro deve cominciare per 1. Quindi un numero è della forma 5?1. Se ti accorgi che c’è una divisibilità per 11, basta un solo tentativo…
Bello il criterio di divisibilità per 11.
Io non ci ho pensato, ma ho notato che il prodotto è congruo a 0 modulo 9. Perciò i fattori devono essere a loro volta congrui a 0 o 3 modulo 9.
La soluzione a quel punto richiede al più due tentativi.
La radice quadrata di 92565 è circa 300, quindi un fattore deve essere maggiore di questo e l’altro minore; da qui e dalla divisibilità per 5 si arriva ai due numeri del tipo 1X5 e 5X1, poi si va per tentativi. Bella l’idea della divisibilità per 9 o per 11, non ci avevo pensato.
La pagina con la soluzione non è ancora disponibile.