Stasera al Tamburo Riparato la situazione è incredibilmente tranquilla: ci sono solo tre tavoli occupati, ed è almeno mezz’ora che non scoppia nessuna rissa. Le cose potrebbero cambiare presto, però: c’è stato un ordine contemporaneo di 7, 10 e 16 boccali di birra, ma le birre sono state suddivise in tre gruppi identici. Detritus ha immediatamente bloccato i bollenti spiriti e poi, dopo avere indossato il suo elmetto refrigerante per far funzionare meglio il cervello, spiega agli avventori che è possibile rimettere a posto le cose facendo degli spostamenti di birre (massimo cinque per volta) da un gruppo a un altro gruppo. Non ci devono essere due spostamenti dello stesso numero di boccali, e ogni gruppo deve avere lo stesso numero di spostamenti. Come ci si può riuscire?
(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p710.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema adattato da Barry R. Clarke, Mathematical Conundrums; immagine di hotta, da OpenClipArt)
Rappresento i gruppi come vertici di un grafo e gli spostamenti come archi orientati.
Il numero massimo di archi è 5.
Le coppie (vertice, arco), dove l’arco entra o esce dal vertice con cui è accoppiato, sono tante quante il numero degli archi per 2. Il loro numero è quindi 2s per qualche s.
Poiché però da ciascun vertice si diramano lo stesso numero di archi, il numero di quelle coppie è anche un multiplo intero del numero di vertici, cioè è 3n per qualche n.
3n = 2s dove s è intero, positivo e non superiore a 5 ci autorizza a concludere che s, il numero di spostamenti, è 3. Di conseguenza n vale 2 e da ciascun gruppo partono o arrivano 2 spostamenti.
Il gruppo da 16 cede 4 birre a quello da 10 e 1 a quello da 7 ottenendo così (8, 14, 11).
Il gruppo da 14 cede 3 birre a quello da 8:(11, 11, 11).
Ho usato male lo spoiler, chiedo scusa.
Avevo capito il contrario, i tre tavoli sono occupati da un numero distinto di avventori, mentre all’inizio le birre sono raggruppate in tre gruppi uguali, che vanno corretti in base alle ordinazioni effettive.
Riepilogando, i tavoli degli avventori sono questi :
Ta = 7 ; Tb = 10 ; Tc = 16
I gruppi di birre erroneamente composti erano questi :
Ga = 11 ; Gb = 11 ; Gc = 11
Trasferire 3 birre da Ga a Gb : Ga-3 -> Gb+3
( Ga = 8 ; Gb = 14 ; Gc = 11 )
Trasferire 1 birra da Ga a Gc : Ga-1 -> Gc+1
( Ga = 7 ; Gb = 14 ; Gc = 12 )
Trasferire 4 birre da Gb a Gc : Gb-4 -> Gc+4
( Ga = 7 ; Gb = 10 ; Gc = 16 )
Lasciare i gruppi così ricomposti ai rispettivi tavoli :
Ga -> Ta ; Gb -> Tb ; Gc -> Tc
Poteva essere più semplice togliere 4 birre dal gruppo Ga e 1 birra dal gruppo Gb aggiungendo quindi quelle 5 birre al gruppo Gc ma potrebbe trattarsi di birre diverse tra loro per cui il passaggio intermedio dovrebbe risultare giustificato.
Quindi dal gruppo destinato al tavolo meno numeroso vengono fatti 2 prelievi, mentre al gruppo destinato al tavolo più numeroso vengono fatte 2 aggiunte, e nel gruppo destinato al tavolo intermedio si effettua 1 aggiunta e 1 prelievo (di quantità diverse) per pareggiare i conti.
Mi sono accorto che ho risolto il problema al contrario: da (16, 10, 7) a (11, 11, 11)! Ma non cambia molto.