In un quadrato di area unitaria sono disegnati nove punti, e nessuna terna di punti è collineare. Dimostrate che è sempre possibile sceglierne tre in modo che l’area del triangolo di cui tali punti sono i vertici è minore o uguale a 1/8.
(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p704.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema da Futility Closet.)
Mi viene in mente
Non dico altro.
Visivamente la cosa è palese… ma dimostrarla rigorosamente è meno palese
Scelgo un punto P tra quelli assegnati e traccio gli 8 segmenti che lo uniscono agli altri 8 (Q1… Q8).
Traccio altri 8 segmenti QiQj in modo da formare una figura triangolata da 8 triangoli con il vertice P in comune.
L’area di questa figura è certamente = 1/8.
L’html mi ha rovinato la risposta!
Volevo dire che la figura complessiva ha area minore di 1, pertanto non è possibile che tutti gli otto triangoli che la compongono abbiano area maggiore o uguale a 1/8.
No, mi correggo, non è garantito che sia possibile disegnare 8 triangoli non sovrapposti. Ad esempio se i 9 punti sono ai vertici di un ennagono regolare se ne riescono a disegnare 7: l’ottavo si sovrapporrebbe a tutti gli altri.
Quindi il ragionamento è sbagliato.