Quanti conti dovete fare per rispondere a queste domande? Ve le riporto direttamente nel testo:

Se 5/17 è 0,(2941176470588235), scrivete le seguenti frazioni come numeri decimali periodici:
– 12/17
– 1/34
– 27/34

Prendetevi un momento di tempo prima di continuare a leggere, ma non prendete carta e penna (e tanto meno una calcolatrice, che tanto non vi darebbe tutte le cifre volute! Se non lo sapeste, la notazione decimale con una parte tra parentesi indica che quello è il periodo della frazione.

La prima cosa che dovremmo notare è che il periodo di 5/17 è 16, cioè uno in meno del denominatore. (Non serve contare: il periodo del reciproco di un numero n è un sottomultiplo di 1/n ed evidentemente il periodo in questione ha più di 8 cifre, quindi ne deve avere 16. Questo significa che tutti i numeri k/17 avranno la stessa permutazione ciclica del periodo, un po’ come le frazioni k/7 hanno periodi rispettivamente 142857, 285714, 428571, 571428, 714285, 857142.

Numeri di questo tipo in inglese si chiamano full reptend primes (in italiano, per analogia con altre lingue neolatine, si direbbero numeri primi lunghi: ma mentre sto scrivendo non c’è una voce di Wikipedia al riguardo); trovate al solito i primi di essi su OEIS. Questo significa che basta trovare pochissime cifre del risultato per poi scrivere tutte le altre: poiché 10 < 17 < 100, il numero di cifre che ci servono è 2. E dunque?

Per quanto riguarda 12/17, è il complementare di 5/17; comincerà allora con 0,70 e possiamo scrivere subito che è 0,(7058823529411764). Con 1/34 i conti sono se possibile ancora più semplici! Il numero è infatti un decimo di 5/17, quindi basta spostare la virgola di una cifra a sinistra e ottenere 0,0(2941176470588235) (lo zero non fa parte ovviamente del periodo).

E 27/34? Confesso che non c’ero arrivato da solo, ma anche questo è molto facile. Innanzitutto 5/17 è la stessa cosa che 10/34. Per arrivare a 27/34 basta sommargli 17/34, che casualmente è 0,5. Abbiamo così subito il risultato: 0,7(9411764705882352). Notate come la prima cifra decimale di 5/17 è stata modificata, quindi dobbiamo toglierla dall’inizio del periodo e metterla alla sua fine.

Tutto qui. Ve l’avevo detto che non serviva nemmeno carta e penna! Bastava solo il ctl-c e ctl-v per spostare i vari pezzi del numero…