Dimostrate con metodi elementari – altrimenti sono capaci tutti… – che l’equazione x4 + x3 + x2 + 1 = 0 (manca il termine con la x semplice) non ha soluzioni reali.
(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p681.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema nato da un errore…)
[SPOILER]
(a) Metodo non elegante ma elementare:
* x≥-1: si ha x³+x²≥0 (perché x²(x+1) ha lo stesso segno di x+1), x⁴+1>0, quindi il membro sinistro è positivo perché somma di un termine non negativo e uno positivo.
* x0 (perché x³(x+1) ha segno opposto a quello di x+1), x²+1>0, quindi anche qui il membro sinistro è positivo.
(b) Metodo un po’ meno elementare:
riscriviamo l’equazione come x²(x²+x+1)+1=0
* x²≥0
* x²+x+1>0 perché Δ>0 e il trinomio assume sempre il segno del coefficiente direttore (cioè quello di x²)
quindi anche qui il membro sinistro è positivo (anzi, con questo metodo si vede che il minimo assoluto è 1 ed è raggiunto solo per x=0).
Uff… l’HTML s’è mangiato un pezzo del secondo caso della parte (a), vediamo se così lo scrivo giusto:
* x≤-1: si ha x⁴+x³≥0 (perché x³(x+1) ha segno opposto a quello di x+1), x²+1>0, quindi anche qui il membro sinistro è positivo.
Se poi uno vuole evitarsi anche la teoria delle equazioni di secondo grado, basta scrivere x²+x+1=(x+½)²+¾ (completamento del quadrato, che poi è il metodo con cui si dimostra la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado).
A margine, la pagina del quizzino dà 404.
Ariuff… ovviamente nella parte (b) intendevo “Δ minore di 0”. Scusate il flooding…
se x>0, tutti i termini del polilnomio sono positivi. Se x< 0, il solo termine negativo è x^3. se x< -1, x^4 è maggiore del valore assoluto di x^3, quindi il polinomio è positivo; se -1 <x -1, e di nuovo il polinomio è positivo.
se -1 <x -1, e di nuovo il polinomio è positivo.
(guardi che il Suo coso non funziona con i simboli di maggiore e minore e non sono riuscito a scrivere quel che intendevo scrivere: se x compreso tra -1 e 0, allora x alla terza è maggiore di -1, quindi aggiungendo +1 il polinomio è di nuovo positivo)
Il mio coso usa HTML, quindi maggiore e minore se liangia, a meno che uno non scriva > e < …
però non se li mangia tutti…
Quali sono i “metodi elementari”? Le derivate contano?
Se sì, basta vedere che la funzione ha solo un minimo in x=0, e che qui vale 1…
no derivate.