Il principio dei cassetti è uno degli strumenti più usati nei giochi matematici, ma anche nella matematica “seria”. La sua formulazione, almeno per come viene di solito riportata in Italia (anche Wikipedia lo definisce così) è la seguente: “se abbiamo una cassettiera con n cassetti, in qualunque modo ci mettiamo dentro n+1 oggetti possiamo essere certi che almeno un cassetto conterrà almeno due oggetti”.

Dimostrare il principio dei cassetti è così facile che sembra che ci sia qualcosa sotto. Numeriamo gli oggetti da 1 a n+1, prendiamo i primi n e li mettiamo in un cassetto, evitando di metterne due nello stesso cassetto sennò abbiamo perso. Alla fine l’ultimo oggetto rimasto deve andare da qualche parte, ma tutti i cassetti sono occupati.

Uno dei problemi più noti che sfruttano il principio dei cassetti è quello di mostrare come a Roma ci siano due persone con lo stesso numero di capelli. La dimostrazione consiste nello stimare il massimo numero di capelli che può avere in testa una persona, verificare che è minore del numero di abitanti nella capitale, e applicare il principio dei cassetti. Questo è però un classico caso di problema malposto: la soluzione è anche corretta, ma basta passarsi la mano in testa e con ogni probabilità vi rimarrà qualche capello (a meno che non siate calvi…) e quindi non esiste un momento in cui si possa stabile quali siano le due persone co-tricotiche. Ma anche nome e attribuzione del problema fanno una certa confusione!

Peter Gustav Lejeune Dirichlet usò il principio in un suo lavoro del 1842 sulle equazioni di Pell (equazioni quadratiche di cui si cercano le soluzioni intere), e in molte nazioni soprattutto nell’Europa dell’est si parla infatti di principio di Dirichlet oppure di principio dei cassetti di Dirichlet. Non che lui gli avesse dato un nome, ritenendo evidentemente la cosa troppo banale; solo in seguito l’ha chiamato “Schubfach Prinzip” che sta appunto per “principio del cassetto” (singolare). Pat Ballew riporta però un’attestazione precedente – e fin qui nulla di strano, vista l’ovvietà del principio – in un’opera inaspettata: i Portraits littéraires di Charles Augustin Sainte-Beuve, che riporta l’esempio dei capelli e lo fa risalire a Pierre Nicole, giansenista contemporaneo di Pascal che a sua volta l’avrebbe preso da Jean Leurechon.

Nel mondo anglosassone la parola “Schubfach” (o l’equivalente francese “tiroir”) è stata resa con “pigeonhole” perché quello era il nome delle strutture con tanti piccoli spazi dove mettere le buste, che magari avete ancora visto alla reception di un vecchio albergo. Solo che poi chi come noi l’inglese non lo mastica tanto bene ha preso il significato letterale, e adesso si sente parlare del principio della piccionaia. Considerata la quantità di deiezioni dei pennuti, preferisco continuare a parlare di cassetti…

Se volete verificare di aver compreso bene il principio, eccovi tre problemi.

• I 15 cavalieri della tavola rotonda hanno pasteggiato un po’ troppo prima di sedersi a discutere, e quando si sono seduti nessuno di essi era seduto al proprio posto. Dimostrate che è possibile ruotare la tavola in modo che ci siano almeno due persone al posto corretto.
• Se scegliete sei numeri interi tra 1 e 999 ce ne saranno almeno due la cui differenza è un multiplo di 5.
• Avete una bilancia a due piatti e 28 monete, una delle quali è più pesante delle altre. Dimostrate che non è possibile trovare quale sia la moneta più pesante con tre pesate.

Un’ultima cosa. Naturalmente il principio dei cassetti non vale se i cassetti sono infiniti: se abbiamo una fila infinita di cassetti numerati 1, 2, 3, 4, … e prendiamo gli ℵ₀+1 numeri pari con in più 1, possiamo lasciare quanti buchi vogliamo. Ma c’è anche chi ha affermato che il principio è violato nella fisica quantistica, e possiamo avere tre particelle in due scatole senza che nessuna particella contenga più di una particella. Si direbbe ovvio che uno degli autori del paper faccia di cognome Colombo :-). Purtroppo però a quanto pare l’interpretazione data dagli autori di quell’articolo sembra errata…

(immagine da FreeSVG)