Il fatto che la radice quadrata di 2 sia irrazionale (cioè non è esprimibile come rapporto tra due numeri naturali) è noto almeno dai tempi dei pitagorici. La dimostrazione si fa normalmente mostrando che se p/q = √2 allora p²/q² = 2, e quindi p² = 2q² poich’é il quadrato di un numero dispari è ancora dispari, p deve essere pari e quindi scrivibile come 2r. Ma allora 4r² = q², quindi anche q dev’essere pari e quindi scrivibile come 2s. Solo che non si può continuare all’infinito a dimezzare numeri naturali…
Ho visto questo tweet di Math Lady Hazel con una dimostrazione completamente diversa, e bellissima.
Innanzitutto, sappiamo che √2 < 2, perché elevando al quadrato abbiamo 2 < 4. Supponiamo ora che √2 sia razionale: allora esistono infiniti numeri che moltiplicati per √2 danno un numero naturale come risultato. Sia k il più piccolo di questi numeri. Si ha che k·(√2−1)·√2 = 2k − k√2 è per costruzione un numero naturale, e pertanto anche k·(√2−1) è un numero tale che se moltiplicato per √2 dà un naturale come risultato. Ma dato che √2−1 è minore di 1, l’ipotesi che k fosse il minore di quei numeri è falsa. QED :-)
Ultimo aggiornamento: 2023-01-16 22:47
C’è un typo: 4r^2, non 2r^2.
Dimostrazione molto elegante.
corretto. Grazie!
Scusate, ma mi sfugge qualcosa… se p² = 2q² e p=2r allora 4r²=2q² da cui 2r²=q² (e quindi q è pari e si conclude come da manuale).
Fra l’altro 4r² = q² non porta alla contraddizione cercata, perché da q=2s segue r=s (e quindi p=q, da cui √2=1, che è comunque falsa, ma non è la conclusione “giusta”).
Questo, oppure non vedo qualcosa di enorme :-D
Il problema è che ho corretto al volo, ma avevo scritto una cosa corretta all’inizio, saltando il passaggio 4r²=2q² da cui si ricava appunto 2r²=q². Ogni tanto dovrei azionare il cervello…