Cecilia ha mischiato un mazzo di 52 carte e ne ha presa una a caso. Dopo averla guardata, mi dice “indovina che carta ho?” Io le faccio notare che ho solo una probabilità su 52 di indovinarla, e le chiedo un aiuto. Lei risponde “Hai ragione. Facciamo così: puoi farmi una domanda sulla carta, alla quale io possa rispondere solo sì oppure no. Dopo la mia risposta, potrai cercare di indovinare la carta”. Quale di queste tre domande mi conviene fare? (a) “La carta è rossa?” – (b) “La carta è l’asso di fiori?” – (c) “La carta è una figura?” (fante, donna, oppure re).
![[il mazzo di carte]](https://i0.wp.com/xmau.com/wp/notiziole/wp-content/uploads/sites/6/2021/07/q526a.png?resize=300%2C300&ssl=1)
(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p526.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema da Alex Bellos; immagine da FreeSVG.)
Colore: 1 probabilità su 26 = 2/52
Asso: 1 probabilità su 52 di aver indovinato al primo colpo; nel 51/52 dei casi, un altro cinquantunesimo (51/52)x(1/51)= 1/52, che sommato al primo, fanno 2/52
Nel caso delle figure, invece,…
per la domanda “la carta è rossa?”, la probabilità che la risposta sia sì è 1/4, in quel caso si avrebbe poi probabilità 1/13 = 1/(52*(1/4)) di indovinare la carta; la probabilità che la risposta sia no sarebbe 3/4, indovinare la carta avrebbe allora probabilità 1/(52*(3/4)); la probabilità totale sarebbe (1/4)*1/(52*(1/4)) + (3/4)*1/(52*(3/4)) = 1/52 + 1/52 = 1/26
In generale:
P(post) = P(prior)*P(sì)*P(sì)**(-1) + P(prior)*P(no)*P(no)**(-1) = 2*P(prior)
Si potrebbe generalizzare ulteriormente:
P(post) = k*P(prior)
se la domanda non prevede risposta binaria (p.e. con la domanda “di quale seme è la carta?”, k=4), fino ad arrivare all’assurdo in cui k = P(prior)**(-1), che corrisponderebbe alla domanda “quale è la carta?”.
c’è un errore, ininfluente per il risultato finale. Per la domanda “la carta è rossa?” la probabilità che sia sì non è 1/4 (nella mia mente la domanda era diventata “la carta è di cuori?”), ma 1/2. Poi l’errore si cancella perché la probabilità di indovinare la carta sarebbe 1/26 e non 1/13.
Io non scommetterei mai su una singola probabilità su 26 – sono sempre troppe quelle contrarie. L’unica domanda da fare sarebbe “Mi mostri quella carta? Non accetto un NO come risposta.”. :-)
Commento a latere. Domande come “la carta è rossa?” sono facilmente comprensibili ad un essere umano (anche se Procellaria prende fischi per fiaschi). Ma un programma di Intelligenza Artificiale (qualsiasi cosa si intenda con ciò) rischierebbe di andare in tilt. Potrebbe pensare che il colore richiesto sia quello del dorso delle carte. O ancora potrebbe “pensare” che tutte le carte sono bianche, con impressi segni grafici colorati. Solo noi umani accettiamo domande così mal poste. E rispondiamo come se niente fosse…
io chiedo “la carta e’ l’asso di fiori?” perche’ se la risposta e’ affermativa ho il 100% di probabilita’ di indovinare. se e’ negativa (come piu’ probabilmente sara’) la mia probabilita’ di indovinare e’ di 1/51 invece che 1/52… poi dichiaro “donna di cuori” che e’ la carta piu’ scelta dal pubblico femminile, statisticamente, aumentando di un poco le mie probabilita’ rispetto alle altre. infine, se non indovino, modifico la situazione portando la spettatrice sulla mia scelta… ragiono da prestigiatore, che e’ il mio secondo lavoro!!!