Risolvete (senza forza bruta…) il seguente problema di criptoaritmetica: AN × NA = GANG. Come sempre, a lettera uguale corrisponde cifra uguale, e a lettere diverse corrispondono cifre diverse.
(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p517.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema da Math StackExchange)
Senza forza bruta vuol dire senza qualsiasi strumento computazionale non umano? Comunque le possibilità sono solo 9*8/2 = 36, senza contare lo zero. Che si riducono di 5 per 12*21, 13*31, 14*41, 15*51, 16*61, che non arrivano a un numero di quattro cifre, così come 23*32 che è uguale a circa 700. Rimangono 30 possibilità. Se una delle due cifre fosse un 5, allora il risultato finirebbe per 5 se l’altro numero fosse dispari, cosa che non avviene, quindi possiamo escludere anche 59*95, 57*75, 53*35, arriviamo a 27. Se invece un numero che finisce per 5 viene moltiplicato per un numero che finisce per un numero pari, allora il risultato finirebbe per zero e se poniamo che G non possa essere zero, perché altrimenti il risultato sarebbe semplicemente ANG e non GANG, allora dobbiamo escludere anche 52*25, 54*45, 56*65, 58*85, che ci porta a 23 casi rimanenti.
Per affrontare il problema in modo più analitico si potrebbe considerare che
AN*NA = A*N + N*N*10 + A*A*10 + N*A*100
da cui si ricavano le equazioni, in cui tutte le variabili sono comprese tra 0 e 9:
A*N = G + Z*10
N*N*10 = Y*100 + X*10
A*A*10 = W*100+ V*10
N*A*100 = Z*1000 + G*100
Z + X + V = N + U*10
U + Y + W + G = A + T*10
T + Z = G
Il numero delle variabili potrebbe essere ridotto sapendo che A e N possono assumere solo un numero molto limitato di valori, se per esempio A =6 e N = 8, allora G=4, Z=6, Y=6, X=4, W=3, V=6
Z+X+V = 6+4+6 = 16, da cui N=6 e U=1, ma N era già posto uguale a 8, quindi questa coppia è da escludere…
Propongo anche questa strada semi-brutale: la cifra delle unità del prodotto N*A è G. Ma G è anche la prima cifra del risultato complessivo. Dunque la cifra delle decine di N*A è o G o G-1 se c’è stato un riporto. Scartata l’ipotesi che le cifre siano uguali perché saremmo di fronte ad un multiplo di 11, concludiamo che il prodotto N*A ha la forma G-1, G. Gli unici prodotti possibili sono 12 e 56. Scartato 12 perché con 2*6 si ripeterebbe il 2 nell’ultima cifra e 34*43 perché non c’è riporto non rimane che 56=7*8.