È ovvio che se prendiamo un polinomio in una variabile x a coefficienti interi, come 3x³+14x²+15x+10, e assegniamo a x un valore intero otteniamo un risultato intero. Ma è vero anche il viceversa? In altri termini: se abbiamo un polinomio in x che ha un valore intero per un qualunque valore intero assegnato a x, possiamo dedurre che quel polinomio è a coefficienti interi?
(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p481.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema di David Butler.)
Se può bastare un (contro)esempio,
p(x) = (x^3)/2 – x/2 + 1
( …, p(-2)=-2, p(-1)=1, p(0)=1, p(1)=1, p(2)=4, … )
anche se non tutti i coefficienti (1/2, 0, -1/2, 1) sono non interi, è adatto per la (contro)dimostrazione?
un set di coefficienti del polinomio di terzo grado che dà sempre un risultato intero è (1/6+A, 1/2+B, C-2/3, D), dove A,B,C,D appartengono a Z. Altri set sono (+/-1/2+A, B, +/-1/2+C, D), (1/3+A, B, -1/3+C, D), (-1/3+A, B, 1/3+C, D), (2/3+A, B, -2/3+C, D), (-2/3+A, B, 2/3+C, D), (1/3+A, B, 2/3+C, D), (-1/3+A, B, -2/3+C, D), (1/6+A, B, -1/6+C, D), (-1/6+A, B, 1/6+C, D), (5/6+A, B, -5/6+C, D), (-5/6+A, B, 5/6+C, D), etc.
nel caso in cui il coefficiente di x^2 e il termine noto sono interi, si avrebbe a*x^3 + b*x, ponendo a = -b e raccogliendo ax si avrebbe ax*(x^2 – 1) = ax(x-1)(x+1). Il prodotto di tre numeri consecutivi è sempre divisibile per 2 e 3, quindi anche per 6, da cui si dimostrano alcuni dei casi del commento precedente, quelli con 1/2, 1/3, 1/6.
Usando l’aiutino si vede che x(x+1)/2 ha sempre valori interi per x intero.
Per inciso è anche la formaula per calcolare la somma dei numeri naturali da 1 a x
direi che (1/N)*X*(X+1)*…*(X+N-1) dà interi per X interi. Giusto?