Quizzino della domenica: In medio stat virtus

Forse non ci crederete, ma il numero 1.525.354.555.657.585.950 è esattamente divisibile per 99 – il risultato è 15.407.621.774.319.050. In questo numero le cifre 5 sono sicuramente preponderanti: è vero che il cinque è a metà tra 1 e 9, e in medio stat virtus, ma manca un po’ di equità. Sceglietene dunque una a caso, prendete anche le altre nove cifre da 0 a 4 e da 6 a 9, lasciate fissa la posizione degli altri nove 5 e rimettete le dieci cifre che avete preso in una posizione casuale – ma diversa da quella originaria! – all’interno del numero. Potete per esempio scegliere il primo 5 e quindi riempire i buchi del numero _.__5._5_.555._5_.5_5._5_. Qual è la probabilità che il numero ottenuto sia ancora divisibile per 99?

(un aiutino lo trovate sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p185.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema ispirato da New York Times – Wordplay)

2 comments

  1. Un decimo.
    Per vedere se un numero è divisibile per 99, dividilo in gruppi di due cifre a partire da destra, sommali e vedi se il risultato è divisibile per 99 (ricorda qualcosa).

    Ipotizziamo di spostare il 5 centrale, l’unico che cade in posizione delle unità quando faccio la divisione in gruppetti.
    Risulta evidente che la somma dei gruppetti darà 495 come quella ottenuta dal numero di partenza: sto solo spostando unità, la somma non cambia.

    Immaginiamo invece di spostare uno degli altri 5, in posizione delle decine, e di rimpiazzarlo con la cifra x diversa da 5.
    La somma dei gruppetti sarà 50 * 8 + 10x + 45 – x + 5
    50 * 8 = 400 è la somma dei restanti “5” in posizione delle decine.
    10 x è il contributo della cifra che sostituisce il 5 spostato.
    45 – x è la somma di tutte le unità meno quella messa al posto del 5.
    L’ultimo 5 è il 5 spostato, che va a finire in un posto delle unità.

    Risulta 450 + 9x.
    L’unica possibilità di ottenere un multiplo di 99 è con x = 5, che dà 495, ma questo non è permesso.

    Ricapitolando: se sposto il 5 centrale ottengo un multiplo di 99, spostando uno degli altri nove 5 no.

  2. C’è un’altra strada: il nuovo numero sarà ancora divisibile per 9 (la somma delle cifre resta uguale e quindi resta pari a 0 mod 9), resta da capire se sarà divisibile per 11.

    Cercando il criterio di divisibilità per undici (non me lo ricordavo, naturalmente) scopro che la differenza tra le cifre in posto pari (nel numero originale sono tutti 5: 45) e quella in posto dispari (nel numero originale tutti i numeri da 0 a 9: 45) deve essere un multiplo di 11 (in questo caso 0).

    Se sposti l’unico 5 in posto dispari evidentemente non tocchi le somme e il nuovo numero sarà divisibile per 99 (a proposito, è così che l’hai trovato?).

    Per gli altri nove casi invece le due somme diventeranno 45-5+n e 45+5-n dove n è il numero che prende il posto del 5: (45-5+n)-(45+5-n) deve essere = k11 -> -10+2n=k11 -> n = k11/2 + 5
    quindi n (il numero che prende il posto del 5) deve essere 5 o 16 o 27 o …. (i valori non interi li ho eliminati), ma nessuno di questi valori è possibile.

    Quindi in ogni caso l’unica scelta che conta è quale 5 si cambia.

    ps: l’idea di contare in base 100 e verificare che la somma delle “cifre” sia ancora un multiplo di 99 mi piace di più, propongo quest’altra strada perché evidenzia cose diverse (es: come costruire facilmente un numero di uno sproposito di cifre che sia divisibile per 99)