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(se vuoi una mia recensione più seria di questo libro, va’ su Galileo!)
Ricordate il paradosso di Monty Hall? Lo trovate anche su Wikipedia. Siete concorrenti di uno show, e dovete scegliere una di tre porte, sapendo che dietro una sola di esse c’è un premio: dopo che avete fatto la scelta, il presentatore apre una delle altre due porte – scegliendone una senza premio, e prendendone una a caso se può farlo. A questo punto vi chiede se volete cambiare la vostra scelta. Che fate? La maggior parte delle persone, compresi molti matematici, dicono che è indifferente cambiare o mantenere la scelta iniziale: e invece no, conviene di gran lunga cambiare scelta! La cosa è così controintuitiva, e soprattutto dipende così sottilmente dalle ipotesi fatte, che l’autore di questo libro (Jason Rosenhouse, The Monty Hall Problem, Oxford University Press 2009, pag. 194, $24.95, ISBN 978-0-19-536789-8) – scherzando ma non troppo – dice che si potrebbe fare un corso di calcolo delle probabilità solo basandosi sulle varianti del paradosso! In effetti il libro l’ha scritto, anche se fortunatamente per noi lettori il testo non è troppo pieno di formule e cerca sempre di dare una spiegazione qualitativa prima che quantitativa. Non solo il paradosso è controintuitivo, ma è anche molto sensibile alla sua formulazione: basta cambiare appena il testo, e la risposta cambia. Rosenhouse parte dalla storia del paradosso – un problema equivalente apparve nel 1959 nella rubrica tenuta da Martin Gardner sullo Scientific American; racconta la sua esplosione negli anni ’90 e mostra una serie di varianti, ciascuna delle quali ha una risposta leggermente diversa. Infine dà un’occhiata a come il paradosso viene studiato in psicologia… e persino nella meccanica quantistica!
Diciamo che se non vi viene il mal di testa a star dietro a tutte le minuzie possibili, alla fine della lettura avrete imparato due cose: a non fidarvi del vostro buon senso, e a stare molto attenti al calcolo delle probabilità!
Ultimo aggiornamento: 2016-03-30 11:02
Premetto che in matematica sono sempre stato una schiappa.
Chi sostiene che cambiando scelta ci siano più probabilità di scegliere la porta giusta “imbroglia” in quanto nel momento stesso in cui il presentatore apre una delle 3 porte il problema si trasforma da un problema a 3 porte in un problema a 2 porte. Mentre la “spiegazione” continua a prendere in considerazione anche la porta aperta.
Ammesso che mi sia spiegato, eh :-)
@Giuseppe: se tu accendi la tv dopo che è stata aperta la porta e non sai quale sia stata la scelta del concorrente, se Monty Hall ti telefona e ti chiede “quale porta scegli” allora per te la cosa è uguale.
Ma il concorrente sa che Monty ha aperto la porta P perché lui aveva aperto la porta Q (!= P) e l’auto si trova dietro la porta R (!= P), quindi ha più informazioni di te.
Se poi continui a non essere convinto, nema problema: ho sempre una bella scommessina – non c’è trucco non c’è inganno, io dico in anticipo il mio algoritmo per aprire la porta – da fare con qualcuno.
@.mau.: l’esempio della tv c’entra come i cavoli a merenda, io tornerei al concorrente :-)
Il concorrente viene messo *prima* davanti ad un problema con 3 porte e *dopo* davanti ad uno con 2 porte, e il presentatore apre *sempre* la porta con il simpatico cornuto.
La soluzione per la quale propendi prende invece in considerazione *solo* il problema con 3 porte, il che andrebbe bene se – dopo la scelta del concorrente – il gioco finisse, cosa che non è: il gioco continua ma diventa *altro* da quello iniziale. E quindi le probabilità cambiano di conseguenza.
Cioè, lo schemino che sta sulla voce della wikipedia va bene per 3 porte, non per 2.
Comunque sono curioso e mi interessa il tuo algoritmo, ammesso che lo capisca, come funziona la scommessa?
ciao e buon uikend
@Giuseppe
Provo a spiegartelo io, che avendo odiato questo problema per anni e non essendo un matematico, forse posso empatizzare meglio con te di .mau. :P
Quello che accade è che all’inizio ti viene offerto di scegliere una porta su 3. Pmacchina=1/3.
A quel punto il conduttore fa una cosa del tutto irrilevante nel contesto perché non è casuale: apre sempre una porta con dietro una capra.
Quello che fa il conduttore non aggiunge alcuna informazione su quale dei due gruppi contenga la macchina (la tua porta, o il gruppo composto dalle altre due).
Offrendoti lo scambio, quindi, per le informazioni che hai sui due gruppi -che sono le stesse che avevi all’inizio del gioco- è come se il conduttore ti dicesse: “Preferisci tenere la tua porta o prendere queste altre *due*?”
Messa così spero sia più chiaro perché le altre due hanno il doppio di probabiltà di avere la macchina della tua singola.
E non accettare la scommessa di .mau.! :P
@Fang: perché mi tratti così male? le mie scommesse sono sempre onestissime, non nascondo nulla!
@Giuseppe: c’entra anche lo spettatore tv, fidati. Comunque ho messo per iscritto la mia scommessa: quando vuoi accettarla sono sempre pronto!
No, no, non riesco a convincermi proprio.
Per me, se all’inizio ho 3 porte ed una ferrari ho 1 probabilità su 3 di indovinare la porta giusta, se invece le porte sono 2 ho una probabilità su 2. Capisco anche il ragionamento che fa .mau. ma la mia scarsa capacità di ragionare oltre la semplicità di quello che ho scritto prima non mi aiuta.
La scommessa è carina ma temo che per provare qualcosa (che non sia che il banco vince sempre) ci vogliano un numero di tentativi proibitivi per le mie tasche :-)
ciao
P.S. Non so se tra le varianti del problema esiste qualcuno che ha proposto di fare all’incontrario: all’inizizo ci sono solo 2 porte e poi, dopo che il concorrente ne ha scelta una, viene aggiunta una terza porta e solo a quel punto il presentatore ne apre una con la capra. Come funzionerebbe in questo caso la probabilità?
@Fang: come vedi, ogni persona ha il suo modo di vedere le cose. I casi equiprobabili possono essere una causa, ma lo sono anche la difficoltà di un ragionamento di probabilità a posteriori, il fatto che nella formulazione standard ci sia un solo tentativo, e naturalmente i soldi dietro :-)
@Giuseppe: una singola scommessa sono 55 numeri, che iniziano a essere sufficienti. Ma se proprio non vuoi scommettere con me puoi farti un programmino, prenderti un certo numero di estrazioni pregresse e vedere come sarebbe andata.
Il tuo esempio non lo capisco: se tu tra le porte A e B scegli A e poi il presentatore aggiunge C, ci sono due casi (immaginando che tu sappia che dietro una delle due porte ci sia un’auto, e che Monty mostri una capra)
– Monty apre B: l’auto è per forza dietro A
– Monty apre C: l’auto può essere con la stessa probabilità dietro A o dietro B. Uno può pensare “se non ha aperto B allora vuol dire che lì c’era l’auto, e quindi non poteva farlo”; ma magari ha aperto C apposta per fregarti.
[Ieri per sbaglio ho cancellato invece che approvare un commento di Fang – dal telefonino non è facilissimo cliccare sull’opzione corretta. Mi scuso con lui e riporto il suo testo, che fortunatamente era ancora presente nella mia casella email – .mau.]
Pensando a questa tua versione, mi sono chiesto -in una specie di
seduta di autocoscienza matematica, guarda un po’ che cosa fanno le tue
notiziole :P- perché mai in questo caso la soluzione corretta sia così
ovvia, mentre nell’altro caso sia la soluzione sbagliata ad essere
tanto naturale…
Ok, a parte il fatto che quando si mettono su dei soldi si sta tutti
più attenti… :P
Ho pensato che potrebbe essere dovuto a una errata impostazione
scolastica -eh sì, si deve sempre dare la colpa a qualcun altro- che
parte dalla concezione “ingenua” quando introduce i concetti base di
cdp.
Così alle elementari ci siamo trovati a sentirci ripetere fino alla
nausea di calcolare p=1/n, con n=numero eventi, che vale, in maniera
autoreferenziale, quando i casi sono già equiprobabili (ovvero… se si
sa *da prima* che p=1/n, con l’ovvia utilità di calcolare una cosa che
si dovrebbe già conoscere, ma questo non viene mai sottolineato).
E quindi, quando ci troviamo davanti alle due porte, riteniamo a priori
p=1/2. Come per una moneta qualsiasi, dimenticando però che qui ci
troviamo davanti a una moneta truccata.
Certo, divenuti più grandi vengono introdotte le diverse impostazioni,
sottolineando come le fondamenta fossero traballanti, ma ormai il danno
si vede che è fatto.