C’è una rubrica su Mathematics Magazine della MAA che si chiama “Proofs without Words”, e che appunto presenta dimostrazioni per così dire visive: non sono vere dimostrazioni, naturalmente, ma chiunque sia abituato a fare un po’ di matematica, dopo aver visto il disegno, sa esattamente quali sono i passi formali da fare per una dimostrazione, mentre chi abituato non è riesce comunque a convincersi.
La cosa mi è venuta in mente ieri, dopo avere scoperto che qualcuno era finito sul mio blog con la chiave di ricerca «in un triangolo rettangolo la mediana relativa all ipotenusa è congruente a metta ipotenusa-dimostrazione di questa teorema». Il teorema mi ricordava qualcosa, ma non ricordavo esattamente cosa: ho preso carta e penna per vedere la dimostrazione, e in un attimo è uscito fuori questo disegnino (non cliccateci sopra se volete prima dimostrarvelo da voi). Non è carino?
Ultimo aggiornamento: 2009-02-24 07:00
Hai provato a disegnare una semicirconferenza? Anche in quel caso la dimostrazione è immediata (purché si sappia che un triangolo inscritto in una semicirconferenza è rettangolo).
in effetti è un altro sistema molto semplice per dimostrarlo senza parole. Evidentemente io sono una persona più squadrata :-)
Bè, è un altro sistema semplice che però richiede di aver sviluppato i teoremi sulla circonferenza, il tuo è più minimale. (E’ la domanda di geometria che mi hanno fatto al concorso di abilitazione… io avevo risposto utilizzando la circonferenza, e mi hanno fatto notare che si poteva anche dimostrare col tuo metodo).
E’ una proprietà caratteristica, inoltre. Cioè, se un triangolo gode di quella proprietà, allora è rettangolo.
Ti volevo dire di piazzarlo come esempio di dimostrazione elegante -anche se non è certo ancora una dimostrazione formale, ha certamente in sé tutto ciò che serve per arrivarci- ma ho riletto il tentativo che fai di definire una dimostrazione elegante: la prima volta che l’ho letto non ci ho fatto caso, ma in effetti più che definire una dimostrazione elegante, definisci i problemi che potrebbero avere una formula/soluzione elegante (magari raggiungibile con una dimostrazione elegante).
Boh, alla fine mi sa che confondo troppo l’eleganza con la più pragmatica semplicità (della dimostrazione, ma anche del problema).
@Fang: tu ti fidi di quello che avevo scritto a suo tempo per (non) definire cos’è una dimostrazione elegante?
Comunque eleganza e semplicità per me sono due cose ben distinte. Questa qua, ad esempio, porta a una dimostrazione elegante e semplice; ma dimostrare che non esistono quadrati doppiamente latini di ordine 6 verificando tutte le combinazioni è semplice ma non certo elegante. Quanto all’opposto, non mi vengono al momento esempi specifici; ma posso immaginare un teorema A la cui dimostrazione è un corollario di un teorema B molto complicato, e l’eleganza sta nel mostrare come tradurre le ipotesi di A in quelle di B.
Mi viene in mente l’ultimo teorema di Fermat, ma non riesco ad associarlo al concetto di “eleganza” :-)
Ora come ora mi sorgono dubbi anche sul concetto di semplice.
Meccanico/esaustivo=semplice?
E se il metodo meccanico/esaustivo richiede N calcoli, mentre con la giusta intuizione si possono ridurre a una frazione, non è (oltre che più “elegante”) anche più “semplice”? Ovviamente ciò che lo rende poco “semplice” è trovare l’intuizione giusta, ma se è un passaggio banale, tanto da essere ampiamente giustificato dal risparmio sui calcoli…
Credo che per definire il concetto di semplice ed elegante, dovremmo prima di tutto far finta di lavorare con una macchina virtuale -un dimostratore automatico di teoremi ideale e astratto, diciamo- dando alle operazioni, compresi i tentativi per trovare la strada giusta (l’intuizione), un costo legato al tempo necessario ad eseguirle.
Così, però, il concetto di dimostrazione “semplice” diviene tutt’altro che semplice.
In compenso quello di elegante forse prende una via più promettente: la dimostrazione che richiede il minor numero di inferenze.
D’altro canto, mentre per un programma tutte le inferenze hanno lo stesso peso, quindi usare un astruso teorema della teoria dei numeri che conoscono solo tre persone al mondo conta sempre come un’operazione, per un essere umano questo non è vero… E bisognerebbe pesare le inferenze collegandole alla facilità di accesso, relativa alla conoscenza a disposizione…
Boh… Vai a capire perché mi sono infilato in questo ginepraio, che poi queste cose mi fanno venire i rash cutanei. :)
Comunque almeno siamo tutti d’accordo sul fatto che quella del disegno è una dimostrazione elegante. E` già qualcosa. :)