![[ruota della roulette]](https://i0.wp.com/xmau.com/notiziole/files/roulette.PNG?w=625)
La settimana scorsa sono stato a Sanremo, e pur di evitare il Festival della Canzone Italiana mi sono infilato nel Casinò. Arrivato alla sala con le roulette, ho pensato che per passare la serata senza annoiarmi troppo avrei potuto provare l’ebbrezza di fare una serie di puntate. Come probabilmente sapete, la roulette è fondamentalmente un disco diviso in 37 settori uguali, numerati da 0 a 36. Puntando su un numero singolo, se questo esce mi danno indietro trentasei volte quanto ho giocato, altrimenti nulla. Il banco statisticamente guadagna 1/37 dei soldi puntati, più o meno il 2.7%, come si può facilmente vedere immaginando che ci siano 37 giocatori che puntino ciascuno la stessa cifra su un diverso numero. Io ho un budget di 105 euro, e decido di fare 105 puntate successive da un euro ciascuna, sempre su un numero singolo scelto lanciando il generatore di numeri casuali del mio palmare. La domanda che vi faccio è la seguente: qual è la probabilità che io esca dal casinò con più soldi di quando sono entrato?
Beh, il racconto è naturalmente fittizio: non sono stato a Sanremo, e non sarei comunque andato al Casinò. Ma la domanda è seria, e la risposta è assolutamente controintuitiva: è più probabile che io esca con più soldi di quelli con cui ho iniziato. Non credete a tutti quelli che vi dicono che se si gioca abbastanza a lungo si perde tutto: o meglio, è vero, ma 105 giocate non sono abbastanza. Per dimostrarvelo, mi spiace ma devo farvi vedere un po’ di conti. Innanzitutto, è facile vedere che basta che io vinca tre volte per arrivare a possedere 108 euro, e quindi essere in vantaggio rispetto all’inizio. Facciamo ora i conti, anzi ve li faccio io perché sono sì una banale conseguenza del cosiddetto teorema binomiale, ma sono anche dei numeracci. La probabilità che io non vinca nemmeno una volta è (36/37)105, pari al 5.63%. La probabilità che io vinca una sola volta è 105 * (1/37) * (36/37)104, pari al 16.42%. La probabilità che io vinca due volte è (105*104/2) * (1/37)2 * (36/37)103, pari al 23.72%. La somma di tutte queste probabilità, arrotondata per eccesso, è il 45.8%; quello che resta, pari al 54.2%, è la probabilità che io vinca almeno tre volte. Persino sulla roulette americana, che aggiunge un secondo zero per assicurare guadagni ancora maggiori al banco, questa strategia farebbe tornare a casa con più soldi di quando si è partiti nel 52.4% dei casi.
Prima che vi fiondiate al più vicino casinò, però, vi consiglierei di continuare a leggere; non è infatti tutto oro quello che luccica. Naturalmente non vi ho fregato nel fare i conti, sarebbe stata una cattiveria gratuita. Garantisco che la probabilità che avrei avuto di uscire dal casinò con più soldi di quelli con cui ero entrato sarebbe stata del 54.2%. Il punto è che quella è la risposta giusta alla domanda sbagliata! Per dirla con altre parole, la domanda più naturale da farsi non è quella, ma “con quanti soldi uscirò in media dal casinò?” e la risposta a questa domanda è “con 102.16 euro circa”, avendone cioè persi 2 euro e 84 (un trentasettesimo dei soldi puntati). Bel paradosso, vero? Beh, a dire il vero no, non è poi una cosa così paradossale; ora cerco di spiegarlo nella maniera più semplice che mi riesca.
![[sei morto!]](https://i0.wp.com/xmau.com/notiziole/files/bangg.JPG?w=625)
Facciamo un esempio ben più drammatico, con la roulette sì ma quella russa. Abbiamo una pistola a sei colpi caricata con un proiettile, ruotiamo il caricatore, ce la puntiamo alla tempia e spariamo (nel senso di sparare, non di sparire…) Per evitare di sparare e poi spirare – a me piacciono i giochi di parole ma il sangue no – scelgo però una versione meno cruenta. La pistola non spara un vero proiettile, ma esce una bandierina con su scritto “BANG”. Il gioco funziona così: se la pistola spara a vuoto, il banco vi darà 10 euro; se però siete colpiti da un BANG, voi dovete pagare al banco stesso 1000 euro. In questo caso, se vi chiedessero se siete d’accordo a fare una partita alla roulette russa, immagino che con ogni probabilità direste di no: il rischio di perdere 1000 euro è ben maggiore dei dieci euro che guadagnereste. Però, se ci pensate un attimo, in fin dei conti ve ne tornate a casa cinque volte su sei con più soldi, no? E allora, perché mai non dovreste provarci? La stessa cosa accade nel caso delle 105 giocate alla roulette, anche se in effetti è più difficile da vedere intuitivamente. È vero che si vince più spesso di quanto si perde, ma nella maggior parte dei casi si vince molto poco, e tornare a casa con un gruzzoletto è un’eventualità così rara che possiamo tranquillamente trascurarla. Dall’altra parte, invece, ci sono delle possibilità non trascurabili di perdere buona parte, se non addirittura tutti, i nostri soldi. Facendo la media, è un po’ come se una persona riuscisse ad arrampicarsi per sei o sette volte di fila di un metro per volta, prima di scivolare in giù per dieci metri. Alla fine ci si scopre più in basso di prima, nonostante si salisse “quasi sempre”.
Restando su questo tipo di paradossi, eccovi un metodo che vi dà più del 99% di probabilità di uscire dal casinò con un guadagno… sempre che vogliate correre il rischio di perdere 127 euro. La tecnica è semplice, e assomiglia alla martingala (se non sapete cosa sia, wikipedia è la vostra amica). Entrate con 127 euro. Scegliete una “puntata semplice” (sono quelle rosso/nero, pari/dispari, manque/passe cioè “piccoli/grandi”), e puntate un euro. Se vincete, prendete la vostra vincita e scappate via. Se perdete, giocate due euro sempre su una puntata semplice. Se stavolta vincete, il vostro totale netto è in attivo di un euro: di nuovo, prendete e andatevene. Continuate così, raddoppiando ogni volta la posta, finché non vincete oppure, dopo la settima giocata, vi siete persi tutti i soldi, e avete capito che l’azzardo non fa per voi :-) Ma qual è la probabilità di essere così sfigati? Beh, se non ci fosse lo zero avreste esattamente 1/2 di probabilità di perdere a ogni giocata, quindi la probabilità di perdere sempre sarebbe 1/128. Lo zero favorisce il banco, quindi la probabilità di finire in bolletta cresce: però rimane solo di poco più dello 0.94%, il che significa che in più del 99% dei casi potrete dire ai vostri amici “Visto? Sono stato al casinò e ho vinto!”
Lo so, non bisognerebbe mai fare una morale, quindi leggete queste ultime righe come semplici consigli. Innanzitutto, non sbertucciate immediatamente quelli che dicono “io vinco spesso al casinò”: è possibile che abbiano effettivamente ragione. Ma soprattutto ricordatevi che non sempre la risposta giusta è quella alla domanda giusta…
Ultimo aggiornamento: 2008-03-04 10:22
Della premessa iniziale (puntare sempre sullo stesso numero) mi sfugge una cosa: cosa succederebbe se si cambiasse sempre numero su cui si punta o se si cambiasse cifra ad intervalli regolari o irregolari, ecc.
E poi perché proprio 105 Euro come esempio? Perché non 50 o 1000 o 1 o 2?
@Smeerch: domande intelligenti :-)
Cambiare numero su cui giocare, nella solita ipotesi che la ruota della roulette sia perfettamente equilibrata e tutti i numeri siano quindi equiprobabili, è assolutamente irrilevante. Non sei insomma costretto a scegliere un numero e rimanere su quello.
105 euro è un esempio scelto abbastanza ad hoc (non l’ho scelto io, ma Elwyn Berlekamp, per la precisione). In pratica, occorre un numero di tentativi non troppo grande – altrimenti si perde comunque – e appena sotto un multiplo della vincita possibile in un colpo – nel nostro caso, 36. Questo perché, visto che il guadagno totale è sempre negativo, per ottenere più casi positivi che negativi occorre che quelli positivi siano per quanto possibile “poco” positivi. Avrei potuto usare 106 o 107 euro, e sarebbe funzionato lo stesso; con 70 giocate (appena meno di 2*36) avrei vinto nel 57.7% dei casi.
Infine, se cambi cifra giocata mantenendo lo stesso totale, dovresti peggiorare la situazione: i soldi che avrai in media alla fine saranno ovviamente sempre gli stessi, però mettere dei vincoli sui possibili risultati (e quindi, avere una vincita maggiore quando si vince) dovrebbe ridurre il numero di casi positivi. Sicuramente, se giochi tutti i tuoi 105 euro in una volta su un singolo numero, la probabilità di terminare con più soldi dell’inizio è di meno del 3%, anche se perlomeno di soldi ne hai tanti :-) Devo però confessare che così al volo non sono certo che sia sempre così, dovrò fare un po’ di conti…
Apprezzo molto la tua capacità divulgativa sulla matematica, ma quanto spieghi dovrebbe essere ovvio a chiunque abbia fatto il liceo (scientifico, vabbe’) e sperabilmente a chiunque abbia una cultura di base, di cui il calcolo delle probabilità spero ben faccia parte.
Mi stai dicendo che il livello matematico medio degli italiani blogganti (che è certamente più alto di quello degli italiani qualsiasi) è così basso?
La prima e l’ultima volta che ho partecipato ad una martingala (odio il gioco d’azzardo) e’ stato un mesetto fa, dopo un paio di spritz.
Buttati 10 euro (all’inizio mi avevano detto che erano 5).
Ciao.
d.
@vb: dire che tu dovresti conoscere molto meglio di me la cultura media della popolazione (blogghistica, italiana o mondiale poco importa).
Detto questo, e aggiunto il banale fatto che uno può banalmente notare la categoria del post e saltarlo a piè pari, mi pare che dimentichi una cosa. Quello che io vorrei fare con i post della matematica light è spiegare le cose in maniera sufficientemente semplice che chi mi legga sappia anche spiegarle lui stesso (o “spiegarle lei stessa”, ma questo in genere è più facile) agli altri. Non so se e quanto io ci riesca, i commenti mi servono anche a ritararmi: ma il concetto di base che seguo è questo.
(e la probabilità non fa parte della cultura di base in nessuna nazione, fìdati)
Il calcolo delle probabilità non fa parte assolutamente delle conoscenze medie di una persona normale. Ti dirò di più, per quanto vedo io il calcolo delle probabilità non è nemmeno bagaglio degli ingegneri (vb: ma hai fatto probabilità al poli con Pi***ne? Se sì, secondo te uno studente medio che ci ha capito? Intendiamoci, io lo ritengo molto bravo se riesci a seguirlo…). E comunque le martingale non sono proprio livello medio.
Una cosa .mau., se non ricordo male l’ultimo schema che proponi garantisce la vittoria solo nel caso di soldi infiniti. In ogni altro caso la vittoria media dovrebbe essere zero. Anzi, nell’esempio che fai tu, con la roulette, considerando lo zero, dovrebbe essere (100-0,94)/100*1+(-127)*0,94/100=-0,2032 euro o sbaglio?
Ciao
@Alg: sì, la martingala garantisce la vittoria solo nel caso di soldi infiniti, o meglio dà una probabilità zero di perdere soldi infiniti; alla roulette (quindi caso molto reale e non teorico) la vincita media è negativa perché c’è lo zero. Però io ho scritto che vinci nel 99% dei casi e che – quando perdi – perdi una schioppettata. Non era chiaro da come l’ho scritto?
Quand’ero molto più giovane ho applicato il metodo che definisci “martingala”, con alcune modifiche.
Si basava sullo stesso principio (rosso/nero o equivalente e raddoppio in caso di perdita), ma la sequenza da giocare era lo “specchio” delle sette precedenti uscite, essendo ritenuta improbabile la ripetizione della medesima sequenza (a te dirmi, se ne hai voglia, quanto improbabile…). Inoltre dalla 5a o 6a puntata in avanti, la puntata stessa veniva integrata per coprire il rischio dello zero.
@.mau.: Sì si, era chiaro. Non era solo chiaro che la vincita media fosse negativa (tra l’altro mi pare di ricordare che comunque la martingala sia la strategia che massimizza la vincita media ma non sono certo).
@Apis: mau magari ti risponderà meglio ma sono certo che l’idea di giocare lo specchio non sia molto furba perché, se la roulette non è truccata, la probabilità che si presenti una certa sequenza è indipendente dalle estrazioni precedenti e dunque la probabilità che si presenti la sequenza vista nelle prime sei puntate è uguale a quella che si verifichi ogni altra sequenza. Ma non sono un matematico.
Ciao
@Apis in poche parole:
– la (im)probabilità della ripetizione della medesima sequenza è naturalmente pari a quella di una qualsivoglia altra sequenza della stessa lunghezza.
– la martingala modificata per tenere conto dello zero ha gli stessi problemi di quella normale (vale a dire, che funzionerebbe solo con infiniti soldi) e lo svantaggio che si arriva più velocemente al tetto massimo di puntata.
>Ma soprattutto ricordatevi che non sempre la risposta giusta è quella alla domanda giusta…
42 ;)
bravo! ti aggiungo al mio aggregatore perché amo i numeri e mi piace la diffusione scientifica intelligente e ben spiegata :)
@Tambu: però i miei post matematici non sono poi molti, essendo io un tipo pigro :-)
Come Vincere alla Roulette
! Per dirla con altre parole, la domanda più naturale da farsi non è quella, ma "con quanti soldi uscirò in media dal casinò?" e la risposta a domanda è "con 102.16 euro circa", avendone cio&egrav
il casinò è una macchina mangiasoldi sennò avrebbe già chiuso no?