matematica ricreativa

I numeri repdigit, dall’inglese “repeated digit”, sono gli interi formati da tutte cifre uguali, come 44 (gatti in fila per sei col resto di 2). I repunit, dall’inglese “repeated unit”, sono invece gli interi formati da sole cifre 1: 1, 11, 111, 1111, … In matematica ricreativa interessa soprattutto trovare i repunit primi; se ne conoscono però molto pochi. Ai tempi di Martin Gardner, se indichiamo con R_n il repunit con n cifre, gli unici repunit primi erano R₂, R₁₉, R₂₃, R₃₁₇; ora conosciamo anche R₁₀₃₁, R₄₉₀₈₁, R₈₆₄₅₃, R₁₀₉₂₉₇ e pensiamo che lo siano anche R₂₇₀₃₄₃, R_5794777 e R_8177207.

Tutto questo vale però in base 10: magari cambiando base possiamo scrivere un altro numero come repdigit. Chiaramente ogni numero n scritto in base n−1 si rappresenta come 11_n−1, quindi chiediamo che la rappresentazione abbia almeno due cifre e sia diversa da 2. Così abbiamo 7 = 111₂, 8 = 22₃, 42 = 222₄. I numeri che si possono scrivere in questo modo si chiamano numeri brasiliani. Il nome non ha a dire il vero nessun senso, ed è stato dato perché sono stati usati (come “numeri sensibili”) in un problema della 9th Iberoamerican Mathematical Olympiad che si sono tenute a Fortaleza in Brasile. Sarebbe però stato più onesto chiamarli “numeri messicani”, visto che il problema era stato proposto dal Messico.

OEIS naturalmente ha una successione con i numeri brasiliani; se per questo ne ha anche una con i numeri brasiliani dispari, una con i numeri dispari composti che non sono brasiliani, e una con i numeri primi brasiliani, che sono la generalizzazione dei primi repunit. È facile vedere che tutti i numeri pari maggiori o uguali a 8 sono brasiliani (li si può scrivere come 22 in una qualche base…) e che l’unico quadrato di un primo che sia brasiliano è 121 = 11111₃. Non si sa però molto di più: si congettura che asintoticamente il 100% dei numeri composti sia brasiliano, anche se si sa che ci sono infiniti numeri composti non brasiliani, e lo 0% dei numeri primi sia brasiliano, ma potrebbero anche esserci comunque infiniti primi brasiliani.