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Forse non tutti sanno che un qualunque numero intero positivo può essere scritto come somma di al più quattro quadrati di interi positivi, o se preferite di esattamente quattro quadrati di numeri naturali (compreso lo zero). L’affermazione è stata congetturata già da Diofanto; Bachet la tradusse dal greco, Lagrange lo dimostrò e Legendre è considerato colui che nel 1798 ha anche dimostrato che gli unici numeri che richiedono effettivamente tutti e quattro i quadrati sono quelli della forma $4^k (8m+7)$, con k e m numeri naturali. A dire il vero Legendre per dimostrarlo assunse che dati due numeri interi a e b primi tra loro esistono infiniti primi della forma a + nb, con n intero; e Dirichlet dimostrò questo fatto solo quarant’anni dopo. La prima dimostrazione corretta fu del solito Gauss.

C’è però un altro problema apparentemente simile ma in pratica più complicato. Quali sono i numeri interi positivi che non possono essere scritti come somma di quadrati tutti diversi? È facile vedere che tra i numeri di una cifra ci sono 2, 3, 6, 7, 8; relativamente facile trovare 11, 12, 15, 18, 19, 22, 23, 24, 27, 28, 31, 32, 33; poi la cosa si fa più complicata. Gli altri numeri sono 43, 44, 47, 48, 60, 67, 72, 76, 92, 96, 108, 112, 128. Fine. Dopo questi 31 non ce ne sono altri, come del resto dice OEIS. Il tutto è stato dimostrato da Sprague nel 1948, quindi ben dopo il teorema dei quattro quadrati.

Il guaio è che la dimostrazione è per induzione, e passi: ma per la più brutta forma di induzione che io abbia mai visto. Se la guardate su ProofWiki, vedrete che il passo di base è verificare che tutti i numeri da 129 a 324 = 18² sono esprimibili, mostrare che dato un numero k > 324 e calcolato il numero i per cui i² < k ≤ (i+1)² possiamo scrivere k  − (i − 4)² come somma di quadrati distinti nessuno dei quali è (i − 4)², e infine controllare tutti i numeri da 1 a 128 per vedere se possono o no essere scritti in quel modo.

Occhei, non siamo certo al livello delle dimostrazioni IA, ma direi che comunque non è che si impari molto da questa dimostrazione!

Se vogliamo trovare il terzo lato $\overline{AB}$ di un triangolo quando conosciamo gli altri due lati $\overline{AC}$ e $\overline{BC}$ e l’angolo $γ$ tra di loro possiamo usare il teorema del coseno:

$$ \overline{AB}^2=\overline{AC}^2+\overline{BC}^2-2\cdot\overline{AC}\cdot\overline{BC}\cos\gamma $$

Fin qua nulla di così strano, anche se questo teorema di solito non si studia a scuola. Ma se stiamo navigando, la formula non funziona perché non tiene conto della sfericità della terra: ci vuole un teorema dei coseni apposito. La cosa buffa è che in trigonometria sferica non ci sono triangoli simili, quindi le lunghezze dei “lati” di un triangolo sferico (parti di un cerchio massimo sulla superficie sferica) sono indicate dal coseno dell’angolo al centro. Il teorema del coseno sferico è pertanto

$$ \cos c = \cos a \cos b + \sin a \sin b \cos C\ $$

dove $C$ è l’angolo interno del triangolo.

Fin qua ancora nulla di strano. Il problema è che i triangoli in mare sono sì sferici ma relativamente piccoli rispetto al raggio terrestre; quindi $a$ e $b$ sono numeri piccoli, i loro coseni sono molto vicini a 1 e i loro seni molto vicini a 0. Moltiplicando $\sin a \sin b$ otteniamo un numero ancora più piccolo, che sommato a un “quasi 1” si perde. Questo significa tra l’altro che anche adesso che abbiamo le calcolatrici non possiamo usare quella formula perché sballerebbe comunque. Brutta storia. Ma già gli indiani, nel loro trattato di astronomia Surya Siddhanta, avevano trovato la soluzione: la funzione senoverso, definita come

$$\textrm{versin}\theta := 1 – \cos\theta = 2\sin^2\frac{\theta}{2}$$

L’emisenoverso (haversine in inglese) è ovviamente la metà del senoverso, cioè $\textrm{hav}\theta := (1 – \cos\theta)/2$. Il nostro teorema del coseno sferico diventa così

$$\textrm{hav}(c) = \textrm{hav}(a − b) + \sin(a) \sin(b) \textrm{hav}(C)$$

Visto il trucco? La differenza di due valori piccoli è quasi zero, quindi il coseno è quasi 1 e l’emisenoverso quasi zero. Sommiamo insomma due numeri molto piccoli e non abbiamo problemi di perdita di precisione. Sembra incredibile, ma le prime tavole numeriche che tabulavano l’emisenoverso apparvero solo nel 1805, nonostante la loro indubbia utilità; evidentemente già in passato la matematica teorica e quella pratica andavano per conto loro…

PS: Per un algoritmo che uso nel mio lavoro dobbiamo calcolare la distanza di un’abitazione dalla cella telefonica che la serve. I miei colleghi avevano fatto una ricerca in rete e scoperto la formula dell’emisenoverso: non sono riuscito a convincerli che date le distanze in gioco (massimo 35 km) e la (scarsa) precisione dei dati a nostra disposizione l’errore che avremmo avuto usando banalmente il teorema di Pitagora era trascurabile…

In un mondo dove le dimostrazioni le fanno le IA, ha ancora senso cercare di spiegare la matematica? Per Antonio Lupetti sì: ecco perché sta assemblando (in inglese…) il sito algebrica.org, che ha come scopo il creare una base di conoscenza matematica libera, aperta e distribuita dedicata a rendere la matematica chiara, accessibile, e spiegata in modo rigoroso. La parte più interessante del progetto è che è è scritto in markdown (con le formule matematiche scritte in LaTeX, se vi stavate chiedendo come facesse a farle) mentre le figure sono in formato svg: questo, unito al fatto che il sito ha la licenza CC-BY-NC 4.0, permette a chiunque di prenderlo e crearsi dei documenti personali (ma non di postarlo su Wikipedia, che richiedere di avere anche la clausola di uso commerciale).

Se il progetto vi piace, potete finanziarlo oppure contribuire con testi matematici… o magari convincere Antonio ad avere una versione multilingua :-)

Se persino il Corsera ieri mattina parlava della risoluzione da parte di OpenAI delle equazioni di Navier-Stokes (altri italici quotidiani non pervenuti). Quelle equazioni intendono modellare il comportamento dei fluidi viscosi (quindi reali), ed è stata trovata e verificata formalmente una soluzione alle equazioni che parte da una condizione normale e arriva in un tempo finito ad avere un comportamento che esplode, il che significa che come modello non possono essere davvero corrette.
Se volete una spiegazione più dettagliata ma comprensibile, vi consiglio il post dei miei amici di MaddMaths!, che oltre alla storia delle equazioni e della loro importanza (sono uno dei sette Problemi del Millennio) racconta di tutto quello che ci sta dietro oltre alla matematica. Due matematici spagnoli, Diego Córdoba e Luis Martínez-Zoroa, avevano avuto qualche anno fa un’idea promettente che aveva portato ad alcuni nuovi risultati nel caso in cui veniva aggiunta energia al sistema in modo non fisico; l’anno scorso Tristan Buckmaster della New York University e Levent Alpöge di Anthropic (!) hanno cominciato a lavorare sul problema e ad agosto avevano formalizzato il caso di energia “naturale” ma senza viscosità con una nuova tecnica assistita dall’IA; a quel punto a OpenAI hanno sentito delle voci che Anthropic aveva una soluzione e si sono buttati a pesce con un attacco a forza bruta (si calcola che hanno speso l’equivalente di 22 milioni e mezzo di dollari, ai prezzi di computazione correnti) per arrivare per primi alla soluzione. Ma quello che è peggio è che Buckmaster afferma che gli avevano telefonato da OpenAI dicendo che gli lasciavano la paternità dell’articolo se affermava che il lavoro era stato completato da un modello OpenAI… e non avesse indicato Alpöge come coautore, essendo della concorrenza.

Il sospetto è che OpenAI abbia recuperato le informazioni che Buckmaster e Alpöge si sono scambiati con OpenAI Codex. Il comunicato di OpenAI è piuttosto fumoso: afferma che gli esseri umani non hanno guardato quelle informazioni (probabilmente vero), né l’hanno fatto gli agent AI (e qua avrei qualche dubbio, visto come stanno facendo: vedi il caso HuggingFace), ma non possono escludere che nel materiale di addestramento del loro nuovo modello possa esserci stata qualche informazione anonima sul tema (vedete il loro naso che si allunga?)

Alla fine della fiera, il risultato pratico è che il teorema è stato dimostrato ma è partito un casino tale che sembra di essere tornati alle disfide matematiche del Cinquecento, con la differenza che le dimostrazioni dei risultati ottenuti sembrano troppo oscure per portare avanti la ricerca matematica. E comunque l’IA è brava, ma solo se la si sa indirizzare.

Ultimo aggiornamento: 2026-09-10 11:13

Se usate un foglio di calcolo, sapete che i risultati delle formule sono automagicamente aggiornate quando cambiate il valore in una cella. Se mettete nella clla A1 il numero 3, nella cella B1 il numero 7, e nella cella C1 la formula “=A1×B1” il risultato che vedrete è 21; ma se poi mettete 6 nella cella A1 allora C1 diventerà 42.

Non sarebbe bello che se al posto di 42 nella cella C1 mettessimo 14 allora il valore in A1 diventasse 2, calcolando all’indietro il valore che rende corretta la formula? Beh, anche Victor Poughon lo ha pensato e così ha creato bidicalc. Il progetto è ovviamente poco più di uno scherzo, anche perché non è sempre possibile trovare una soluzione unica per la propagazione all’indietro di un valore: se nel mio esempio avessimo A1=6 e B1=14, allora C1=84. Se mettessimo 42 potremmo avere 3 e 14 oppure 6 e 7, e non abbiamo modo di distinguerli. Credo però che sia interessante pensare a come si possa implementare un foglio di calcolo che lavori in quel modo, perché si ha un’idea migliore di come funzioni la matematica.

Inizialmente avevo messo un + anziché un × nella formula… tra l’altro con il + sarebbe stato impossibile propagare all’indietro nel mio esempio iniziale, anche se avessi correttamente sommato i due valori, perché ci sarebbero state troppe possibilità

Ultimo aggiornamento: 2026-09-02 09:53