(la lista delle parole matematiche si trova qua!)
La parola attrattore non dovrebbe fare parte della lista delle parole matematiche, a rigor di termini: ho controllato sul De Mauro e sul Garzanti, e il lemma non è registrato. Persino il Merriam-Webster on line indica attractor come sottolemma del verbo to attract. In un certo senso, però, il termine ha una sua storia rimbalzante tra il “mondo comune” e la matematica, quindi ci spendo due parole.
Il verbo attrarre, dal latino ad + trahere, entra in italiano a metà del XIV secolo con il significato letterale di “tirare a sé con forza” e con quello traslato di “lusingare, allettare”. Mentre quest’ultimo porta al significato di attrazione come “fascino” o “spettacolo di grande interesse” solo alla fine del XIX secolo, l’uso del sostantivo nel significato di “forza con cui un corpo ne attrae a sé un altro” è quasi coevo a quello del verbo, e porta a tempo debito anche a indicare l’attrazione provata dalla limatura di ferro nelle vicinanza di una calamita. La situazione era abbastanza stabile fino a che non sono arrivati quei guastafeste di matematici, che hanno deciso di dare il nome a quello che si ottiene facendo evolvere nel tempo certi tipi di sistemi dinamici. Per fare un esempio terra terra, se mettiamo in moto un pendolo prima o poi questo si fermerà sulla verticale del punto dove è sospeso: si può dire che il sistema composto dal pendolo ha come attrattore il punto dove il pendolo stesso sta in equilibrio. Il buffo è che si è deciso di inventare il nome quando nella teoria del caos si sono trovati degli attrattori senza una forma ben definita: gli attrattori strani di cui forse avrete sentito parlare.
Il buffo è che una volta che il neologismo è stato sdoganato – e la teoria del caos, con quel bel nome che si ritrova, è un ottimo sdoganatore – la parola è subito sfuggita alle sgrinfie dei matematici per approdare nei siti web: fate una ricerca con stringhe “attrattore culturale” oppure “attrattore sociale” e capirete cosa intendo. L’attrattore è una qualunque cosa che attrae, insomma: quella che magari qualche decennio fa veniva chiamata attrattiva. Un altro grande successo della matematica!

Ultimo aggiornamento: 2008-04-29 16:32

Premessa: tutta la storia che racconto qui sotto è rigorosamente vera: non ho inventato nulla.
Noi andiamo relativamente spesso in una pizzeria in viale Marche. I pizzaioli ci conoscono, e quello che sta in cassa ormai mi chiede direttamente “Oggi quanto avete speso?” (ci sono molti tipi di pizza di prezzi diversi, quindi ogni volta il totale è un po’ diverso). Ieri sera vado a Linate a prendere Anna, arriviamo in pizzeria e il pizzaiolo mi fa “Tu che sei matematico, è possibile che una calcolatrice sbagli a fare le percentuali?” Rispondo che mi pare strano, e gli chiedo di farmela vedere. Era una normale calcolatrice Casio, di quelle da negozio con i tasti enormi. Lui calcola il 20% in più di 200; digita 200+20%, ed esce fuori… 250. Rimango un po’ interdetto, mi faccio dare la calcolatrice, ridigito i numeri per conto mio: di nuovo 250. Provo allora un altro conto facile: 100+10%. Risultato: 111.11111. Gli dico che non ho proprio idea, che probabilmente hanno effettivamente sbagliato il circuito per la percentuale, e intanto ordiniamo le pizze. Mentre aspettiamo, faccio un po’ di conti: quando torna il pizzaiolo gli dico “Puoi controllare se 100+30% dà questo risultato?” Lui va, prova e torna dicendo “Sì, è proprio quello. Ma è una magia!” Per la cronaca, poi abbiamo mangiato e pagato – senza sconti. Domanda: che numero ho scritto sul foglietto?
Non so se il problemino sia risolubile da uno studente sveglio delle medie, ma sicuramente al biennio delle superiori sì. Non richiede matematica avanzata, ma solo un po’ di intuizione e qualche calcolo davvero elementare: insomma è alla portata di tutti. Volete provarci anche voi?
Restano poi alcuni punti interessanti e non direttamente matematici: ad esempio, come mai la Casio abbia messo sul mercato una calcolatrice evidentemente malfunzionante nella logica, e soprattutto perché la matematica viene vista come una magia peggio di quelle di Harry Potter. Un conto è la massima di Clarke secondo cui ogni tecnologia sufficientemente avanzata è indistinguibile dalla magia, però qua di tecnologia (nei conti, non nella calcolatrice) non ce n’è per nulla. Misteri.

Ultimo aggiornamento: 2008-04-19 14:22

In questi giorni di silenzio matematico, ho meditato e ho sentenziato:
– la data del 14 del mese (come prime due cifre dopo la virgola dello sviluppo decimale di \pi) mi pare un’ottima idea, anche perché è intorno a metà mese.
– per chi non ha voglia di avere un blog tutto per lui, ho creato questo. Fatevi un account su iobloggo, ditemi il nome utente (non il nickname), e io vi do accesso in scrittura. Nota: non è che dovete parlare solo di matematica, se vi viene da scrivere qualcos’altro fate pure. Quel blog è semplicemente un contenitore che si spera abbia poi materiale matematico.
– chi vuole fare il collettore per il primo Carnevale? Deve semplicemente ricordare qualche giorno prima della data prevista di scrivere un post ricordando a tutti di inviare i link ai propri contributi, e scrivere un post il 14 che racconti il tutto.

Ultimo aggiornamento: 2008-04-16 10:11

Niente roba mia questa volta, ma un ottimerrimo articolo segnalatomi da Marco d’Itri.
Non so se avete visto la pubblicità di BidPlaza.it, qualcosa tipo “la prima asta dove vince chi fa l’offerta più bassa”. Magari vi siete anche chiesti come può funzionare tutto il sistema (dal punto di vista di quelli di BidPlaza, intendo). Bene, silentman spiega tutto, ma proprio tutto. Per chi ha fretta, ecco qua l’executive summary.
Innanzitutto, non vince chi fa l’offerta più bassa ma chi tra le offerte uniche ha fatto quella più bassa, un po’ come quando si giocava a fiori frutti mari monti e si cancellavano le risposte uguali. In secondo luogo, tu i soldi della tua offerta i due euro per il privilegio di avere fatto un’offerta comunque li devi cacciare, anche se non hai vinto. Infine, gli esseri umani non sono capaci di scegliere dei numeri a caso.
Risultati pratici: BidPlaza ci guadagna qualcosa tipo il 1000%, sommando tante cifre piccole; se uno fa un’offerta è quasi certo che non vincerà; qualcuno al momento ha buone probabilità di vincita facendo tante offerte e scegliendo statisticamente quelle meno probabili.
Possibili sviluppi: più persone inizieranno a seguire la stessa logica, che quindi diventerà impraticabile. Lasciate pure perdere, insomma :-)

Ultimo aggiornamento: 2008-04-07 13:50

Le maggiori associazioni matematiche statunitensi (AMS, ASA, MAA, SIAM) ricordano che anche quest’anno aprile è il Mathematics Awareness Month. Non che sia la migliore delle scelte, dati tutti gli ormoni che salgono a mille, ma tant’è. Interessante il tema scelto quest’anno: “la matematica del voto”. Chissà se conoscono il Porcellum.
Come i miei lettori più attenti si sono di certo accorti, io mi ero portato avanti col lavoro in maniera serendipitica, proprio sul tema prescelto: garantisco che non l’avevo fatto apposta. È anche vero che a quanto pare tutti questi conti sembrano spaventare la gente, ma su quello mi sa che io ci possa fare poco: lamentatevi con Calderoli. D’altra parte sono in un momento propositivo, e quindi lancio due idee.
– per i lettori che con la matematica non vanno molto d’accordo ma sono così compulsivi da essere riusciti a leggere fino a qua: c’è qualche tema dove secondo voi potrebbe entrare la matematica e che vorreste raccontato dalla mia spumeggiante prosa? Il tema non deve essere necessariamente sulla matematica del voto, in fin dei conti ci sono tante altre cose.
– per le amiche, gli amici, i compagni e le compagne [1] che un blog ce l’hanno e che si dilettano di matematica: ma secondo voi ci riusciamo a fare un Carnevale della Matematica [2] in italiano? Raccogliere insomma non dico ogni due settimane, ma una volta al mese i post di tema matematico (da quelli più ricreativi a quelli didattici: credo che i post a livello universitario siano scritti direttamente in inglese, e quindi sarebbero fuori tema qua). Che ne pensate?
[1] Tra la correttezza politica e il mischione del PD ormai è difficile indirizzarsi alle persone…
[2] Letteralmente “carnival” è più “sagra, festa popolare”. Ma “sagra della matematica” è un po’ troppo persino per me!

Ultimo aggiornamento: 2008-04-02 10:04

(la lista delle parole matematiche si trova qua!)
Frazione è indubbiamente una parola latina, prestata solo in seguito alla matematica. Deriva infatti dal verbo “frangere”, che significa “rompere”: non per nulla un vetro infrangibile non si dovrebbe poter rompere. In italiano il termine è arrivato nel XIV secolo, presumibilmente per via ecclesiastica: tecnicamente, infatti, lo spezzare l’ostia nell’eucarestia è definita la frazione del pane, e addirittura la prima occorrenza latina di fractio è proprio in questo senso. Col tempo poi il significato è andato mutando, tanto che adesso si può parlare di una frazione dei partecipanti col significato di “una piccola parte”; il significato originario resta solo quando si “fraziona” un gruppo, o più spesso un partito politico, e in effetti si spezza l’unità precedente. Un altro esempio, un po’ meno allegro, è dato dalla “frattura” di una gamba.
Il termine entra in matematica nel 1606, per opera del solito Galileo. Non ci vuole molto a capire come gli sia venuta in mente l’idea: ancora adesso, quando si vuole spiegare ai bambini delle elementari cosa sono le frazioni, viene fatta vedere loro una torta, o una tavoletta di cioccolato, che viene rotta in tante parti. Più facile di così…
Il tutto lasciando da parte la frazione di un comune, che naturalmente mantiene il significato di “piccola parte” e non quella di “rottura del comune a causa degli attriti tra le persone che vivono ai lati opposti della strada principale del comune stesso” come potrebbe sembrare a prima vista!

Ultimo aggiornamento: 2008-03-29 07:33

Su God Plays Dice ho trovato un simpatico – magari dopo essersi toccati – quiz “matematico”. Se doveste stimare quante persone moriranno domani in tutto il pianeta, che numero sparereste?
Non vale cercare dati in giro né usare una calcolatrice. È gradito scrivere come è stata fatta la stima: la risposta può anche essere “a caso” :-)
La risposta la do più tardi nei commenti, anche se comunque è indicata nel post che ho linkato; posso però preannunciarvi che io ho sbagliato esagerando quasi di un fattore 3.

Ultimo aggiornamento: 2008-03-11 09:58

La settimana scorsa sono stato a Sanremo, e pur di evitare il Festival della Canzone Italiana mi sono infilato nel Casinò. Arrivato alla sala con le roulette, ho pensato che per passare la serata senza annoiarmi troppo avrei potuto provare l’ebbrezza di fare una serie di puntate. Come probabilmente sapete, la roulette è fondamentalmente un disco diviso in 37 settori uguali, numerati da 0 a 36. Puntando su un numero singolo, se questo esce mi danno indietro trentasei volte quanto ho giocato, altrimenti nulla. Il banco statisticamente guadagna 1/37 dei soldi puntati, più o meno il 2.7%, come si può facilmente vedere immaginando che ci siano 37 giocatori che puntino ciascuno la stessa cifra su un diverso numero. Io ho un budget di 105 euro, e decido di fare 105 puntate successive da un euro ciascuna, sempre su un numero singolo scelto lanciando il generatore di numeri casuali del mio palmare. La domanda che vi faccio è la seguente: qual è la probabilità che io esca dal casinò con più soldi di quando sono entrato?
Beh, il racconto è naturalmente fittizio: non sono stato a Sanremo, e non sarei comunque andato al Casinò. Ma la domanda è seria, e la risposta è assolutamente controintuitiva: è più probabile che io esca con più soldi di quelli con cui ho iniziato. Non credete a tutti quelli che vi dicono che se si gioca abbastanza a lungo si perde tutto: o meglio, è vero, ma 105 giocate non sono abbastanza. Per dimostrarvelo, mi spiace ma devo farvi vedere un po’ di conti. Innanzitutto, è facile vedere che basta che io vinca tre volte per arrivare a possedere 108 euro, e quindi essere in vantaggio rispetto all’inizio. Facciamo ora i conti, anzi ve li faccio io perché sono sì una banale conseguenza del cosiddetto teorema binomiale, ma sono anche dei numeracci. La probabilità che io non vinca nemmeno una volta è (36/37)¹⁰⁵, pari al 5.63%. La probabilità che io vinca una sola volta è 105 * (1/37) * (36/37)¹⁰⁴, pari al 16.42%. La probabilità che io vinca due volte è (105*104/2) * (1/37)² * (36/37)¹⁰³, pari al 23.72%. La somma di tutte queste probabilità, arrotondata per eccesso, è il 45.8%; quello che resta, pari al 54.2%, è la probabilità che io vinca almeno tre volte. Persino sulla roulette americana, che aggiunge un secondo zero per assicurare guadagni ancora maggiori al banco, questa strategia farebbe tornare a casa con più soldi di quando si è partiti nel 52.4% dei casi.
Prima che vi fiondiate al più vicino casinò, però, vi consiglierei di continuare a leggere; non è infatti tutto oro quello che luccica. Naturalmente non vi ho fregato nel fare i conti, sarebbe stata una cattiveria gratuita. Garantisco che la probabilità che avrei avuto di uscire dal casinò con più soldi di quelli con cui ero entrato sarebbe stata del 54.2%. Il punto è che quella è la risposta giusta alla domanda sbagliata! Per dirla con altre parole, la domanda più naturale da farsi non è quella, ma “con quanti soldi uscirò in media dal casinò?” e la risposta a questa domanda è “con 102.16 euro circa”, avendone cioè persi 2 euro e 84 (un trentasettesimo dei soldi puntati). Bel paradosso, vero? Beh, a dire il vero no, non è poi una cosa così paradossale; ora cerco di spiegarlo nella maniera più semplice che mi riesca.
Facciamo un esempio ben più drammatico, con la roulette sì ma quella russa. Abbiamo una pistola a sei colpi caricata con un proiettile, ruotiamo il caricatore, ce la puntiamo alla tempia e spariamo (nel senso di sparare, non di sparire…) Per evitare di sparare e poi spirare – a me piacciono i giochi di parole ma il sangue no – scelgo però una versione meno cruenta. La pistola non spara un vero proiettile, ma esce una bandierina con su scritto “BANG”. Il gioco funziona così: se la pistola spara a vuoto, il banco vi darà 10 euro; se però siete colpiti da un BANG, voi dovete pagare al banco stesso 1000 euro. In questo caso, se vi chiedessero se siete d’accordo a fare una partita alla roulette russa, immagino che con ogni probabilità direste di no: il rischio di perdere 1000 euro è ben maggiore dei dieci euro che guadagnereste. Però, se ci pensate un attimo, in fin dei conti ve ne tornate a casa cinque volte su sei con più soldi, no? E allora, perché mai non dovreste provarci? La stessa cosa accade nel caso delle 105 giocate alla roulette, anche se in effetti è più difficile da vedere intuitivamente. È vero che si vince più spesso di quanto si perde, ma nella maggior parte dei casi si vince molto poco, e tornare a casa con un gruzzoletto è un’eventualità così rara che possiamo tranquillamente trascurarla. Dall’altra parte, invece, ci sono delle possibilità non trascurabili di perdere buona parte, se non addirittura tutti, i nostri soldi. Facendo la media, è un po’ come se una persona riuscisse ad arrampicarsi per sei o sette volte di fila di un metro per volta, prima di scivolare in giù per dieci metri. Alla fine ci si scopre più in basso di prima, nonostante si salisse “quasi sempre”.
Restando su questo tipo di paradossi, eccovi un metodo che vi dà più del 99% di probabilità di uscire dal casinò con un guadagno… sempre che vogliate correre il rischio di perdere 127 euro. La tecnica è semplice, e assomiglia alla martingala (se non sapete cosa sia, wikipedia è la vostra amica). Entrate con 127 euro. Scegliete una “puntata semplice” (sono quelle rosso/nero, pari/dispari, manque/passe cioè “piccoli/grandi”), e puntate un euro. Se vincete, prendete la vostra vincita e scappate via. Se perdete, giocate due euro sempre su una puntata semplice. Se stavolta vincete, il vostro totale netto è in attivo di un euro: di nuovo, prendete e andatevene. Continuate così, raddoppiando ogni volta la posta, finché non vincete oppure, dopo la settima giocata, vi siete persi tutti i soldi, e avete capito che l’azzardo non fa per voi :-) Ma qual è la probabilità di essere così sfigati? Beh, se non ci fosse lo zero avreste esattamente 1/2 di probabilità di perdere a ogni giocata, quindi la probabilità di perdere sempre sarebbe 1/128. Lo zero favorisce il banco, quindi la probabilità di finire in bolletta cresce: però rimane solo di poco più dello 0.94%, il che significa che in più del 99% dei casi potrete dire ai vostri amici “Visto? Sono stato al casinò e ho vinto!”
Lo so, non bisognerebbe mai fare una morale, quindi leggete queste ultime righe come semplici consigli. Innanzitutto, non sbertucciate immediatamente quelli che dicono “io vinco spesso al casinò”: è possibile che abbiano effettivamente ragione. Ma soprattutto ricordatevi che non sempre la risposta giusta è quella alla domanda giusta…

Ultimo aggiornamento: 2008-03-04 10:22