Annunciaziò annunciaziò: essendo arrivato il 14 del mese, gli appassionati di matematica devono fiondarsi da Ricciele e scoprire di cosa si è parlato questo mese. Per gennaio, restate pure qua: per il futuro, le iscrizioni sono sempre aperte.

Ultimo aggiornamento: 2008-12-14 17:46

(la lista delle parole matematiche si trova qua!)
Una persona è razionale quando ragiona, e irrazionale quando fa cose incomprensibili – almeno per noi, visto che è sempre più facile dire che è l’altro a “fare le cose strane”. Uno potrebbe immaginare che tutto questo non c’entri nulla con i numeri razionali, e che questi derivino invece dalla parola “frazione“: in fin dei conti a scuola ci hanno insegnato che i numeri razionali sono tutti e soli quelli che si possono scrivere sotto forma di frazione, e le due parole sono chiaramente simili… E invece no!
La storia in questo caso è in effetti un po’ strana. La parola latina ratio aveva infatti il doppio significato di “ragione” (da cui “raziocinio”, ad esempio) e “rapporto”. In effetti, per i greci antichi un numero è razionale quando “si comporta bene”, nel senso che può essere espresso come rapporto tra due quantità. Col tramutarsi del latino in italiano, i matematici hanno mantenuto il secondo significato della parola, mentre la nella lingua comune c’è stato uno spostamento di significato ma anche di suono. il gruppo tio, che nel tardo latino si pronunciava già zio, è infatti diventato gio. A questo punto però i filosofi si sono un po’ arrabbiati, perché non potevano più usare la parola che si era per così dire imbastardita; dire “l’uomo è un animale ragionevole” poteva infatti dare l’idea di persone che capissero quando non valeva la pena continuare a discutere. Così sono tornati a prendere il termine più vicino al latino… cioè quello che i matematici hanno sempre usato. Una rivincita, anche se a dire il vero la prima occorrenza della parola in matematica si ha col Tartaglia, quindi a metà del Cinquecento. Ma è solo perché i filosofi scrivono di più e non buttano mai via nulla!

Ultimo aggiornamento: 2008-12-10 16:52

Ricordo a tutti che domenica prossima è il 14 del mese, e da Matematica 2005 troverete la prossima edizione del Carnevale della Matematica. Mandate entro venerdì i vostri contributi a ehypatia[at]gmail.com.
Ciò detto, ricordo a tutti che non c’è ancora nessuno che si è offerto per ospitare le prossime edizioni del Carnevale (forse Marcello ha chiesto febbraio…) Mi state dicendo che la spinta propulsiva si è esaurita? Inutile dire che anche se ne avete già ospitato uno potete comunque rimettervi in lista!

Ultimo aggiornamento: 2008-12-08 16:44

Da God Plays Dice ho trovato un link a un giochino facile facile scritto in flash: Shinju. Scopo del gioco è trovare in quattro mosse al massimo quale delle ostriche presenti nel reticolo nasconde una perla. Quando si clicca su un’ostrica, i casi sono due: o c’è una perla – e allora si passa al livello successivo – oppure compare un numero che indica la distanza di Chebyshev tra la posizione scelta e la perla. Scritto così può spaventarvi, ma non è difficile: è il numero di passi che occorre a un re degli scacchi per spostarsi da una casella all’altra. Se siete un po’ più matematici, potete pensarla come il massimo tra la distanza in unità orizzontali e quella in unità verticali; se siete parecchio matematici, è quella data dalla norma L_∞.
La parte matematica del tutto consiste nel dimostrare che è sempre possibile trovare la perla in quattro tentativi. È vero che così si perde il piacere di giocare al giochino, ma tanto dopo qualche schema ci si scoccerebbe comunque, e almeno si dovrebbe avere il piacere di mettersi alla prova con una dimostrazione. Confesso che non mi sono messo a trovare la dimostrazione nel caso pratico del gioco, ma al momento mi sono limitato al caso più semplice in cui sia possibile cliccare su una qualunque casella, anche se non ci sono perle. Volete provarci anche voi? E cosa succede se invece che la norma L_∞ abbiamo la norma L₁, cioè calcoliamo la somma delle distanze orizzontali e verticali? Anche in questo caso si è sicuri di risolvere il gioco in quattro mosse al più? Buona dimostrazione: se proprio non ce la fa nessuno, posterò qualche aiutino. Un’unica avvertenza: se volete postare una soluzione, scrivete SPOILER in maiuscolo all’inizio del commento!

Ultimo aggiornamento: 2008-11-18 14:30

(la lista delle parole matematiche si trova qua!)
Questa volta sono arrivato a un punto morto (nessun gioco di parole implicato). In effetti, la parola “radice” ha sicuramente una sua orogine latina: radix, -icis che sembra derivare dallo stesso ceppo di “ramo” ed è subito entrato nell’italiano, già a metà del XIII secolo.
Ma anche il significato di “radice” imparato a scuola, quello insomma di “radice quadrata, cubica” cioè del numero che elevato al quadrato o al cubo dà il numero iniziale, ha più di sette secoli di vita nella lingua italiana. La prima citazione attestata in italiano è infatti «Lo numero del tre è la radice del nove, però che sanza numero altro alcuno, per se medesimo fa nove, sì come vedemo manifestamente che tre via tre fa nove» ed è tratta nientemeno che dalla Vita Nuova di Dante!
A questo punto immagino che il significato matematico arrivi attraverso il senso figurato di “origine”; pensando come i greci antichi, dove il quadrato e il cubo di un numero erano delle entità fisiche vere e proprie, il segmento che le generava era in effetti la loro origine, quindi la loro radice. Sarebbe interessante sapere se già in greco o in latino esistesse il termine.
Nei secoli, poi, i matematici come al solito hanno iniziato a usare la parola a loro piacimento: è abbastanza moderno il parlare di radice numerica per indicare il numero ottenuto sommando le cifre di quello dato e ripetendo l’operazione finché non si ottiene una singola cifra, mentre è del ‘700 l’introduzione del termine radicale, che non c’entra con Pannella ma riguarda le soluzioni delle equazioni usando solamente le quattro operazioni e l’estrazione di radice n-sima.

Ultimo aggiornamento: 2008-11-12 09:24

Non so se avete presente le frittelle che gli americani si mangiano a colazione (i pancakes, per la precisione): quelle robe più o meno spesse e tonde che già non sono dietetiche di loro ma poi vengono completate con generose dosi di sciroppo d’acero. Qua però le frittelle le uso solo come spunto per un problema matematico. Supponiamo di avere un certo insieme di frittelle, tutte di dimensioni diverse, e volerle mettere in ordine di diametro, con la più piccola in alto e la più grande in fondo. L’unica operazione che ci è concessa fare, però, è prendere una spatola, infilarla in un punto qualsiasi della pila di frittelle, sollevarne alcune e lanciarle in aria, riprendendole rovesciate. Detto in maniera meno cuciniera, se abbiamo la stringa abcdefghijk possiamo scegliere un punto qualunque (ad esempio, e) e rovesciare la sottostringa che termina lì, ottenendo così edcbafghijk. Al crescere del numero n di frittelle, come varia il numero minimo P(n), il pancake number, di operazioni da fare nel caso peggiore?
Con una sola frittella non occorre fare nulla, quindi P(1)=0. Con due frittelle, i casi sono due: o sono già in ordine oppure basta rovesciarle entrambe in un colpo, quindi P(2)=1. Con tre frittelle la cosa si inizia a fare un po’ complicata: però si può vedere che partendo dalla disposizione 132, entrambe le mosse iniziali possibili (girare le prime due frittelle arrivando alla disposizione 312, oppure girarle tutte arrivando a 231) richiedono altre due operazioni: insomma, P(3)=3. Al crescere delle frittelle, la cosa diventa molto complicata: è abbastanza semplice vedere che aggiungendo una frittella il numero minimo di operazioni cresce almeno di 1 (aiutino: se la configurazione peggiore nel caso di n-1 frittelle è C, immaginate la configurazione nC’, dove C’ è la configurazione ottenuta invertendo C), è abbastanza semplice vedere che P(n) ≤ 2n-3 (aiutino: va’ a leggere la pagina relativa di Wikipedia, da cui tra l’altro ho preso il disegno). Che una formula non sia così semplice da trovare, lo si può notare anche guardando la tabella dei valori di P(n) per n che va da 1 a 13:

e i valori computati negli ultimi anni da un gruppo di informatici giapponesi usando cluster di computer:

Se non si sa andare più avanti di così, significa che c’è davvero qualcosa di complicato. E in effetti, i limiti teorici trovati nel 1975 e pubblicati nel 1979 – che 5(n+1)/3 inversioni sono sempre sufficienti, e nel caso peggiore ne servono almeno 17n/16 – sono rimasti imbattuti fino al 1997, quando Mohammad H. Heydari e I. Hal Sudborough alzarono il limite inferiore a 15n/14, e a quest’ultimo settembre, dove Sudborough e un gruppo di suoi studenti ha abbassato il limite inferiore a (18/11)n.

Che c’entra tutto questo con Bill Gates, mi staranno chiedendo i pochi pazzi che sono arrivati fin qua? Semplice. L’articolo del 1979, Bounds for Sorting by Prefix Reversal, è stato scritto da nientemeno che William Henry Gates III, insieme al suo allora professore Christos Papadimitriou. Un lato inaspettato del multimiliardario, insomma!
Bibliografia:
♦ http://it.wikipedia.org/wiki/Ordinamento_delle_frittelle
♦ http://www.maa.org/mathtourist/mathtourist_10_9_08.html
♦ http://www.npr.org/templates/story/story.php?storyId=92236781

Ultimo aggiornamento: 2008-11-10 12:12

Ricordo ai miei affezionati lettori che qui non si parla solo di Silvio B., ma ad esempio anche di matematica.
Questa volta, per la precisione, parlo di metamate, e vi ricordo che tra sei giorni (venerdì 14 novembre) ci sarà la settima edizione del Carnevale della Matematica, ospitato sul blog di Marcello Seri. Invito quindi a scrivergli, a proposteblog - chiocciola - gmail - punto - com, raccontandogli di quale matematica avete parlato… oppure potete cogliere l’occasione per scriverne adesso!

Ultimo aggiornamento: 2008-11-08 19:26

La media aritmetica, di cui ho già parlato in passato, sembra in fin dei conti una cosa piuttosto tranquilla. Sì, è vero che non è sempre proprio il numero migliore per rappresentare schematicamente e con poca spesa un insieme di elementi: una famiglia con 1,6 figli, ad esempio, non la vediamo certo in giro. Però possiamo immaginare che la media aritmetica sia per così dire un numero “stabile”, visto che in un certo qual modo tempera gli eccessi dei singoli elementi. Ma non sempre è così! Eccovi tre paradossi, che vanno contro quello che ci aspetteremmo da una funzione per così dire civile.
1. Non è detto che si possa sempre trovare una velocità media
Sappiamo che calcolare la velocità istantanea a cui ci stiamo muovendo non è in realtà possibile, visto che per trovarla dobbiamo dividere lo spazio percorso per il tempo impiegato, e otterremmo un’espressione 0/0. Insomma, Newton e Leibniz, quando hanno inventato il calcolo differenziale, hanno ben avuto dei problemi, no? Quello che facciamo in pratica è calcolare la distanza percorsa in un’intervallo di tempo molto piccolo, calcolare la velocità media in quell’intervallo, e sperare che intanto la velocità sia rimasta costante. Ma anche se la velocità cambia nel tempo, possiamo immaginare che, se ad esempio la velocità media durante un percorso è di 100 Km/h, possiamo trovare un intervallo di un’ora – anche se a priori non si sa a che istante farlo iniziare – in cui si siano percorsi esattamente 100 chilometri. Ovvio, no? Basta fare un grafico spazio-tempo, costruire una finestrella equivalente a un’ora, e spostarla man mano. Scommetto che ci deve anche essere un teorema che si studia in analisi matematica!
Peccato che non sia per nulla vero. Supponiamo di fare un percorso di 250 km in due ore e mezzo, quindi a una media di cento all’ora, alla velocità indicata nella figura qui a fianco: nella prima, terza e quinta mezz’ora andiamo a 92 Km/h, e nella seconda e quarta a 112 Km/h. Prendiamo adesso un qualunque istante iniziale; nell’ora successiva avremo fatto esattamente trenta minuti alla velocità maggiore e gli altri 30 a quella minore, percorrendo dunque 102 chilometri. Ma avremmo potuto anche fare diversamente: se i vari tratti fossero stati percorsi rispettivamente a 88 e 108 Km/h, in un qualunque tratto di un’ora la distanza totale percorsa è di 98 chilometri. D’accordo, gli esempi numerici che ho fatto sono impossibili da ottenersi in pratica, ma non è difficile modificarli per ottenere lo stesso risultato con una tabella di marcia verosimile: non l’ho fatto perché non vale la pena di complicare i conti da fare.
Dov’è il trucco? Il trucco è che non c’è nessun trucco! Se avessi scelto come unità di misura un sottomultiplo esatto del tempo totale percorso (nel nostro caso mezz’ora, oppure 50 minuti) il ragionamento fatto sopra sarebbe stato corretto. Se dividiamo esattamente il percorso in tante parti, o tutte le parti hanno la stessa velocità media oppure ci sono due parti vicine, una con velocità media inferiore e una superiore alla media globale, e in questo caso il ragionamento ella finestrella funziona. Nel nostro caso non possiamo dividere il percorso in questo modo, quindi il ragionamento non regge.
2. Anche se due medie parziali crescono, la media delle medie decresce
Uno potrebbe immaginare che la media di due medie sia in un certo senso coerente: se le medie parziali crescono nel tempo, anche quella globale deve crescere. Peccato che nemmeno in questo caso l’affermazione sia vera! In letteratura, il fatto è noto come Paradosso di Simpson: la pagina su wikipedia fa un esempio numerico del paradosso, esempio che riprendo qua. Supponiamo di avere questa ipotetica situazione:

e la statistica seguente su quanti di questi lavoratori siano disoccupati:

Come si vede, sia tra i giovani che tra gli anziani il maggior numero di disoccupati si ha tra chi non è diplomato. Se però si calcola il numero esatto di lavoratori disoccupati a partire dalle percentuali, e si ricava qual è la percentuale complessiva di disoccupati, senza considerare le età. Come si può vedere, in realtà i disoccupati diplomati sono percentualmente di più di quelli non diplomati!

Di nuovo, non c’è trucco e non c’è inganno. I numeri sono proprio quelli, e di qui non si scappa. Quello che succede è che c’è una correlazione implicita tra i dati, nel senso che ci sono molti più disoccupati giovani che anziani, e molti più diplomati giovani che anziani. La media normalizza, e quindi non ci fa più vedere questa differenza nei valori assoluti; differenza che però c’è, come si vede nella tabella dei valori assoluti qui sotto, e che porta appunto al risultato apparentemente paradossale.

Insomma, prima di trarre conclusioni dai valori delle medie parziali, state sempre attenti a vedere quali sono i dati originali!
3. Se A è in media meglio di B, e B è meglio di C, C può essere in media meglio di A
D’accordo: non si può nemmeno fare la media delle medie. Però almeno la media una proprietà transitiva ce l’avrà bene, no? Insomma, se in media la scelta A è preferibile a B e la B a C, è ovvio che A è preferibile a C, no? Beh, non proprio. Supponiamo di avere i seguenti quattro dadi qui a fianco. Lanciamo ora i dadi A e B. In media B darà il risultato maggiore in quattro casi su sei: quando esce 5 (tre volte su sei) e quando esce 1 ma con A esce 0 (3/6 * 2/6, cioè una volta su sei). Se lanciamo i dadi B e C, in media C darà il risultato maggiore in quattro casi su sei: quando esce 6 (due volte su sei) e quando esce 2 ma con B esce 1 (4/6 * 3/6, cioè due volte su sei). Se lanciamo i dadi C e D, il conto è ancora più facile; C vince se e solo se esce 6, quindi in due casi su sei, e pertanto D vincerà in media in quattro casi su sei.
Ricapitoliamo: B supera A in media 4 volte su 6; C supera B in media 4 volte su 6; D supera C in media 4 volte su 6. Prendiamo ora A e D; è immediato che A vince se e solo se esce 4, quindi 4 volte su sei. Oops… non era D che avrebbe dovuto vincere quattro volte su sei? Ecco, appunto. Ve l’avevo detto di stare attenti. Ancora una volta non c’è nessun paradosso, in realtà: semplicemente, quando si hanno più di due scelte possibili le preferenze non sono transitive. Per la cronaca, ci si può anche limitare a tre soli dadi, mettendoci su i valori (3 3 5 5 7 7), (2 2 4 4 9 9), (1 1 6 6 8 8). In questo caso, però, i conti da fare sono un po’ più complicati, e quindi ho preferito un esempio non minimale ma più semplice da vedersi. Un suggerimento: provate a costruire i quattro dadi, e invitare qualche amico a fare una partitina, lasciandogli graziosamente scegliere ogni volta per primo quale dado lanciare…
(Il tutto è stato ispirato dall’articolo di Philippe Boulanger Il n’y a pas moyen de moyenner!, Jeux Math, Dossier Pour La Science, Avr-Jui 2008)

Ultimo aggiornamento: 2008-10-11 07:00