Lunedì ho ignominosamente ciccato una stima alla domanda del titolo, rispondendo “un miliardo”. A mia parzialissima discolpa, ho davvero tirato a indovinare, senza pensarci su: adesso provo a fare i conti spannometrici, come in ogni problema di Fermi che si rispetti, per vedere se vado un po’ meglio. I problemi di Fermi, se non lo sapeste già, sono quelli in cui bisogna dare una stima sensata della risposta senza andarla a cercare, usando magari in modo creativo tutte le reminescenze che vi vengono in mente.

Da dove parto? Da buon ex donatore di sangue, so che ci sono in media 4,5 milioni di globuli rossi per millimetro cubo di sangue, e che un globulo rosso vive una novantina di giorni. Inoltre il corpo umano ha circa 5 litri di sangue, che possiamo approssimare a 5 decimetri cubi. Arrotondando i numeri e usando la notazione esponenziale abbiamo 5·10^6·5·10^7 = 2,5·10^13 globuli rossi, diviso 100·10^5 = 2,5·10^6 globuli rossi prodotti per secondo. Questa è diciamo la parte facile, ed è una stima particolarmente corretta: qui per esempio dicono 2,4 milioni. Occhei, la fortuna del dilettante. Per quanto riguarda le molecole di emoglobina, mi trovo molto più a disagio e mi tocca arrampicarmi sugli specchi. Sempre come ex donatore so che la percentuale di emoglobina nel sangue è tra il 12 e il 18%, che arrotondo a 0,1 cioè un decimo. Abbiamo quindi circa 500 grammi di emoglobina nel sangue, che saranno come ordine di grandezza una mole: la molecola avrà un’ottantina di atomi, così ad occhio. Quindi il numero totale di molecole di emoglobina è il numero di Avogadro, 6·10^23, e quindi abbiamo circa 2·10^10 molecole di emoglobina per globulo rosso. Stavolta ho sbagliato per difetto di un fattore 100, banalmente perché una molecola di emoglobina è molto più grande di quello che pensavo: pesa circa 68.000 Dalton e non 500. Non si può avere sempre fortuna… In definitva il mio valore di 5·10^16 atomi è sbagliato rispetto alle stime tra 4,7 e 7·10^18 atomi, ma sicuramente molto più vicino alla realtà del valore che avevo tirato a indovinare.

Commenti? Per risolvere un problema di Fermi occorre avere conoscenze di tutti i tipi. Io avevo quelle empiriche da donatore di sangue, quelle delle misure standard come i circa 100.000 secondi in un giorno (sì, sono 86.400, ma qui si arrotonda), le reminescenze scolastiche come il numero di Avogadro ma mi mancavano quelle di chimica organica. Due ordini di grandezza di errore su un quintilione (americano: in italiano sarebbe un trilione) sono tanti o pochi? Decidete voi. Intanto mi porto a casa un valore di grandezza (una molecola complessa) che potrà servirmi in futuro per altri problemi di Fermi…

La scorsa settimana vi avevo promesso di dire qualcosa di più sulle dimostrazioni a conoscenza zero. Lo faccio ispirandomi a questo articolo di Jean-Jacques Quisquater e Louis Guillou, dal titolo (nella traduzione inglese fatta con Tom Berson) “How to Explain Zero-Knowledge Protocols to Your Children”. La mia non è ovviamente una traduzione, perché violerei il copyright, ma un racconto simile. Pronti?

Qualche mese fa mi è arrivata una lettera che aveva dell’incredibile. Pare che un mio bisnonno fosse un collaboratore di Houdini, e avesse collaborato con lui alla creazione di un gioco di prestigio che il grande mago non ebbe mai la possibilità di mettere in pratica per la sua morte inaspettata. Le ultime volontà che sussurrò al mio bisnonno furono di mantenere il segreto e confidarlo solo a un suo parente laureato in matematica. Il mio bisnonno cercò invano di convincere i suoi figli e poi i suoi nipoti a darsi alla matematica, senza alcun risultato. Prima di morire lasciò le istruzioni e una certa somma di denaro a uno studio legale, che finalmente cominciò a fare ricerche anche sui rami collaterali arrivando finalmente a trovare me. Ma qual era questo gioco di prestigio?

Si tratta di un esperimento di manipolazione del pensiero. Ci sono due stanze, come in figura, che vengono mostrate a chi vuole partecipare al gioco. Le stanze hanno solo una porta di ingresso, e c’è un corridoio a gomito che non permette di vedere quale viene aperta. Il mago entra nel corridoio, e quando il partecipante è pronto entra in una stanza. A questo punto il partecipante arriva e bussa a una porta… e il mago esce invariabilmente dall’altra. Il trucco è ingegnoso: le due stanze sono in realtà comunicanti, perché la parte arancione della parete che le divide è scorrevole. La parte davvero complicata è capire come farla scorrere. Le piastrelle ai lati della parete sono collegate a un insieme di ingranaggi, e c’è una (lunga) combinazione di pressioni sulle varie piastrelle che permette di azionare il meccanismo. La lettera che ho ricevuto conteneva un’altra busta chiusa con la combinazione da usare, che ho imparato a memoria prima di distruggere il foglio.

Come sfruttare questa conoscenza? Ho pensato di registrare una trasmissione televisiva dove dimostro la mia capacità non tanto di leggere nel pensiero ma di sapere attraversare i muri. Una troupe è venuta con me, ha filmato le stanze e poi siamo tutti usciti dalla struttura. A questo punto io sono entrato da solo; una volta dentro il conduttore ha lanciato una moneta e a seconda se fosse uscito testa o croce mi diceva “esci dalla porta di destra” oppure “esci dalla porta di sinistra”, cosa che potevo fare senza problemi. Abbiamo ripetuto la stessa scena quarantadue volte, tra una battuta e l’altra. Una volta, due, tre potevo essere stato fortunato: ma con quarantadue volte era chiaro che potevo davvero attraversare i muri, in un modo o nell’altro!

Tutto bene? Macché. Quelle stanza erano parte della Fondazione Houdini, e quindi chiunque poteva visitarle. Un network concorrente chiese la possibilità di accesso per mezza giornata, e filmò esattamente la stessa mia scena. Naturalmente per circa metà delle volte il mio alter ego non poté uscire dalla porta giusta, ma questo non era affatto un problema: in fase di postproduzione tagliarono tutti i tentativi infruttuosi e il giorno e l’ora stessa in cui il mio programma andò in onda trasmisero la loro versione, per dimostrare che era tutta una finta. Siamo andati in tribunale, e i giudici hanno visionato fotogramma per fotogramma le due registrazioni: non c’era nessuna possibilità di capire quale fosse reale. Addio ai miei sogni di gloria.

Questo racconto evidenzia le tre caratteristiche di base delle dimostrazioni a conoscenza zero. La prima è che, come avevo già detto la settimana scorsa, una dimostrazione a conoscenza zero non dà mai la certezza, ma solo una probabilità che possiamo rendere grande a piacere di essere vera. Questo può spaventare un matematico, abituato alla precisione totale: ma qui lavoriamo fuori dall’iperuranio e possiamo permetterci un po’ di sciatteria. La seconda caratteristica è forse la più sconcertante: la “prova della dimostrazione” non è a sua volta una dimostrazione! Infatti la troupe che ha girato le scene con me è convinta che io possa attraversare il muro tra le due stanze, non importa come, ma la presunta prova (il video con la mia performance) può essere ricreato anche senza conoscere il segreto del passaggio tra le due stanze, proprio come col filmato che avevo proposto la settimana scorsa. Infine la terza caratteristica è legata alla casualità. Quando entro in una stanza, nessuno sa quale sarà l’esito del lancio della moneta! Se non fosse così e una successione di esiti fosse definita a priori, il mio alter ego saprebbe già dove andare, e chiunque giuardasse il video – che stavolta non deve nemmeno essere editato – penserebbe che anche lui conosce il segreto. Insomma, se vogliamo essere convinti della dimostrazione a conoscenza zero dobbiamo per forza introdurre un elemento di casualità.

C’è altro? Sì. ma ne parlerò un’altra volta :-)

Ultimo aggiornamento: 2026-02-11 10:34

Avevo parlato delle dimostrazioni a conoscenza zero una decina d’anni fa, sul Post. Magari la prossima settimana ne scrivo ancora. Per il momento vi lascio una dimostrazione pratica: una dimostrazione si dice a conoscenza zero se io riesco a convincerti che conosco un segreto senza rivelartelo. Per esempio, potrei dirti che ho una tecnica infallibile per lanciare una moneta e farla cascare su testa o croce: tu mi dai una moneta, mi dici quale faccia vuoi che esca, e io ci riesco una, dieci, cento volte di fila. A un certo punto tu ti fiderai che io sono effettivamente in grado di decidere quale faccia mostrare (e ovviamente non giocherai più a testa o croce con me), anche se non hai nessuna idea di come io faccia. La parola chiave è “fidarsi”: le dimostrazioni a conoscenza zero sono inerentemente probabilistiche, proprio perché non possiamo controllare la dimostrazione. Quello che conta è che la probabilità che io sia stato semplicemente fortunato sia piccola a piacere: con un solo lancio capiterebbe una volta su due, con dieci lanci una volta su 1000, con cento lanci la probabilità di essere stato fortunato sarebbe inconcepibilmente piccola.

Passiamo ora al logaritmo discreto. Probabilmente vi ricordate che se avete l’equazione $b^x = y$ allora $b$ è la radice x-sima di $y$, mentre $x$ è il logaritmo di $y$ in base $b$: a differenza di addizione e moltiplicazione, l’elevazione a potenza non è commutativa e quindi ci sono due operazioni inverse. Quello che a scuola non insegnano è che è possibile anche calcolare il logaritmo in un gruppo finito, se la dimensione del gruppo è un numero primo $p$ (insomma, se stiamo usando i numeri modulo $p$). Prendiamo per esempio $p = 7$: le potenze di 3 in base 7 sono le seguenti.

$$\begin{matrix}
n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
3^n & 3 & 2 & 6 & 4 & 5 & 1 \\
\end{matrix}$$

Notate che non consideriamo lo 0, perché ci interessa il gruppo moltiplicativo e non quello additivo; notate anche come tutti i valori da 1 a 6 sono presenti nella riga delle potenze. Da qui è facile ricavare il logaritmo discreto:

$$\begin{matrix}
n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\log_3 n & 6 & 2 & 1 & 4 & 5 & 3 \\
\end{matrix}$$

In questo caso la tabella è facile da calcolare, ma se partissimo da un numero primo di centinaia di cifre sarebbe ancora facile elevare un numero a una qualche potenza, ma non lo sarebbe affatto partire da quel risultato e risalire al numero. Il logaritmo discreto è insomma una di quelle “funzioni a senso unico” che servono per la crittografia. Come si può sfruttare il logaritmo discreto per convincere il mio interlocutore che conosco $x$, il logaritmo in base $b$ di $y$, senza rivelarglielo? Ecco un protocollo di comunicazione, come spiegato da John Cook.

(1) Io scelgo un numero (naturale) casuale $r$, calcolo $t = b^r$, e mando al mio interlocutore il numero $t$.
(2) Lui mi spedisce a sua volta un altro numero casuale $c$.
(3) Io calcolo $s = r + cx$ e glielo mando.
(4) Lui verifica ce effettivamente $b^s = ty^c$. In caso affermativo si fida (oppure riprova più volte, se pensa che io abbia avuto fortuna).

Cosa conosce il mio interlocutore, oltre alla base $b$ e a $y$? Due numeri: $t$ e $s$. Il primo, $t$, è l’esponenziale (in base $b$ di un numero casuale, e quindi è anch’esso casuale: non dà dunque nessuna informazione. Il secondo, $s$, di per sé è basato su $x$, ma per trovarlo bisognerebbe conoscere $r$ e per riuscirci dovrebbe essere in grado di calcolare rapidamente il logaritmo discreto, cosa che al momento non è fattibile. Infine, abbiamo che $b^s = b^{r+cx} = b^r b^{cx} = t (b^x)^c = ty^c$. Inoltre, visto che io non potevo conoscere a priori $c$, non potevo fare il calcolo in anticipo. Anche questo punto è importante, perché altrimenti potrei usare dei trucchi: tornando all’esempio del lancio di monete, non è così difficile fare un video in cui io per dieci volte di fila lancio una moneta dicendo ciascuna volta cosa uscirà. Comincio a filmare finché non mi capita la successione di dieci risultati corretti, e taglio tutta la parte precedente del video…

Ultimo aggiornamento: 2026-02-05 07:44

In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa ha la stessa area della somma dei due quadrati costruiti sui cateti. Questo è il teorema di Pitagora, e penso sia noto a tutti. Ma lo sapevate che se noi prolunghiamo la bisettrice dell’angolo retto essa taglia il quadrato costruito sull’ipotenusa in due trapezi congruenti?
La dimostrazione sembrerebbe a prima vista complicata, ma non è affatto così: basta costruire un quadrato a partire dal triangolo, come si può vedere in questa dimostrazione senza parole.

Un palindromo è una parola che può essere letta allo stesso modo da sinistra a destra o da destra a sinistra. Come a suo tempo scrisse Stefano Bartezzaghi, in italiano i palindromi più lunghi secondo le regole della Settimana enigmistica (nomi, oppure verbi all’infinito o al participio) hanno sette lettere (OSSESSO, INGEGNI, ANILINA); accettando i risultati “in altura” (parole desuete) troviamo le otto lettere di EREGGERE, forma antica di erigere; “in favore di vento” (verbi coniugati) tocchiamo le nove lettere di ONORARONO. Se infine accettiamo il doping e inventiamo parole, arriviamo alle quattordici lettere di ACCAVALLAVACCA, ipotetico dispositivo per impilare mucche una sull’altra.

Se dalle lettere passiamo ai numeri, possiamo chiederci se possiamo ottenere un numero qualunque sommando due numeri palindromi. La risposta è no: per arrivare a 201 bisogna per forza sommare tre palindromi, per esempio 101+99+1. Però è sempre possibile ottenere un numero sommando tre numeri palindromi. Questo articolo del 2017 di Javier Cilleruelo, Florian Luca e Lewis Baxter lo dimostra esplicitamente non solo per la base 10 ma per tutte le basi da 5 in su, costruendo una serie di algoritmi che trattano i vari casi. Si può dire qualcosa di più? Non molto, almeno leggendo questo articolo. Si sa che la densità dei numeri che non possono essere scritti come somma di due palindromi è positiva (esiste cioè una costante c per cui la quantità di numeri da 1 a x esprimibili come somma di due palindromi è minore di cx); nel 2024 Dmitrii Zakharov ha trovato un risultato più forte, che cioè esiste una costante c’ per cui la quantità di numeri da 1 x esprimibili come somma di due palindromi è minore di x/log^c’x. Quindi per ottenere “quasi tutti” i numeri c’è bisogno di sommare tre palindromi. Per quanto riguarda le altre basi, Aayush Rajasekaran, Jeffrey Shallit e Tim Smith hanno dimostrato che anche in base 3 e 4 bastano tre palindromi, mentre in base 2 ne possono occorrere quattro: che tre non bastassero era già noto, perché 10110000₂ non può essere scritto come somma di due palindromi, ed essendo pari non può essere somma di tre palindromi, visto che un palindromo in base 2 deve per forza terminare con 1. Questo articolo è interessante perché l’approccio usato per risolverlo è stato costruire un automa che verificasse le proprietà, roba insomma più da informatica teorica che da matematica.

A che serve tutto questo? Ovviamente a nulla :-)

PS: ho provato a chiedere a Gemini “is it true that every positive integer in base 3 is the sum of at most three palindromes? Do you have a source for this?” e ha fallito miseramente, dicendo che sì, è sempre vero, e citando proprio l’articolo qui sopra. Mai fidarsi di un chatbot.

Premetto che ho solo dato una rapida occhiata a questo post. Ma il risultato è incredibile. Definiamo un biliardo come una superficie bidimensionale senza attrito al cui interno si trova una particella puntiforme che si muove con velocità costante, e ogni volta che tocca un punto del contorno della superficie rimbalza con un angolo simmetrico a quello con cui l’ha colpita. Fin qui nulla di strano. Eva Miranda e Isaac Ramos hanno dimostrato che è possibile codificare una macchina di Turing con un biliardo il cui contorno è formato solo da segmenti e archi di parabola. Il risultato pratico è che anche un sistema passivo (una volta data direzione e punto di partenza è tutto definito) in uno spazio bidimensionale continuo ha sufficiente potenza elaborativa per compiere qualunque operazione calcolabile. (Immagino che vi siate ricordati che anche Life di Conway è Turing-completo; ma quello è un sistema bidimensionale discreto). Un corollario notevole è che anche un sistema totalmente deterministico come il nostro biliardo può avere un comportamento indecidibile (cioè non è detto sapere se il percorso del nostro punto si ripeterà prima o poi, oppure no) per un motivo puramente logico, senza dovere mettere in campo l’impossibilità quantistica di fare una misura perfetta. Il nostro universo è insomma sempre meno possibile da comprendere, anche solo in linea teorica…

Considerate un rettangolo 1×2, come quello giallo al centro della figura qui a fianco. È possibile circondarlo completamente, senza lasciare spazi vuoti, con cinque rettangoli uguali, quelli rossi. La figura ottenuta può a sua volta essere circondata da nove rettangoli (blu), e ancora da tredici rettangoli (verdi), e così via all’infinito. Ma se avessimo avuto un cerchio al posto del rettangolo non saremmo mai riusciti a completare nemmeno una corona. E il problema non è tanto dovuto al fatto che il cerchio sia una figura curva: se per esempio togliamo due quadratini piccoli da un lato lungo del rettangolo di partenza, il problema è comunque impossibile.

Bene: come spiega Wikipedia, queste due figure hanno numero di Heesch rispettivamente infinito e zero. Più precisamente, il numero di Heesch di una forma bidimensionale è il massimo numero di anelli circolari (o corone), costituite dalla stessa forma, che si possono costruire attorno ad essa, senza sovrapposizioni e senza spazi vuoti. Il problema di Heesch consiste nel chiedersi se esistono forme geometriche ch hanno un numero di Heesch qualunque tra 0 e infinito. Heinrich Heesch ideò il problema quando nel 1968 scoprì una forma (mostrata in nero nella figura di destra) che all’inizio pare poter tassellare il piano come i quadrati, ma che si blocca subito: il numero di Heesch corrispondente è 1. Si è poi scoperto che nel 1928 Walther Lietzmann aveva già trovato una figura con numero di Heesch 1, che assomiglia ai puntatori di Google Maps :-)

Nella voce di Wikipedia potete trovare esempi di figure con numero di Heesch da 1 a 6, il massimo che si è scoperto finora. Qui mostro solo il più piccolo polimino con numero di Heesch 2, che può far capire come il problema non sia affatto facile da risolvere: chi si immaginava che una figura così arrivasse ad avere due corone?

“felice”
(Poesia gaussiana)

Benvenuti all’edizione numero 193 del Carnevale della matematica, dal banale tema “2026”. Essendo il 193 un numero primo, la cellula melodica di Dioniso ha solo un sol bemolle, armonizzato però in modo interessante (Lab7, Reb7, Solb). Eccola qua.

Wikipedia in lingua italiana ci dice che il 193, oltre che primo e quindi evidentemente difettivo, è anche un numero fortunato e felice, ma queste proprietà sono relativamente facili da trovare. Fa parte di due terne pitagoriche, quella banale (193, 18624, 18625) e quella un po’ più interessante (95, 168, 193); in base 12 è un palindromo (141₁₂). Passando a quella in lingua inglese, troviamo che ci sono 193 modi distinti di ottenere 14 come composizione, cioè somma ordinata di numeri naturali (positivi), quindi con 6+8 distinto da 8+6; che 1/193 ha un periodo di 192 cifre, quindi è un “primo lungo”; è un primo di Pierpont, e quindi si può costruire (almeno in linea di principio…) un 193-gono regolare con gli origami, che permettono anche di trisecare un angolo e non solo di bisecarlo. Infine 193/71 ≈ 2,71831 è uno degli approssimanti ottimali di e.

E del 2026, il tema di questo Carnevale, che possiamo dire? Non è certo un numero matematicamente piacevole come il 2025. Patrick Vennebush ha pubblicato qualche giochino con il 2026, ma oggettivamente sono un po’ loffi. C’è qualcosa in più dallo Scientific American: a quanto pare, se giochiamo a una variante della Torre di Hanoi dove i dischi sono magnetici e ogni volta che ne sposti uno lo devi anche ruotare di 180 gradi (e quindi non solo non può stare sopra un disco più piccolo, ma dobbiamo anche controllare che i due dischi non si respingano) occorrono esattamente 2026 mosse per spostare una torre di 8 livelli.

Passiamo ai contributi!

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Partiamo con Annalisa Santi, che scrive: «Il 2026 appare come un numero privo di qualità eccezionali, dato che non è primo, non è simmetrico, né aspira a una perfezione formale immediatamente riconoscibile. Proprio per questo può diventare un punto di osservazione privilegiato per riflettere su un tema che attraversa ambiti apparentemente lontani, quali la matematica, l’estetica, la pratica artistica, e che condivide un nucleo comune, vale a dire il valore positivo dell’imperfezione. Propongo quindi questo articolo “Verità imperfette: wabi-sabi, Gödel e la ceramica raku”, nato dalla visita a una mostra di ceramica raku. Come nel raku, nel wabi-sabi e nell’incompletezza di Gödel, l’imperfezione non è una mancanza, ma una condizione generativa. Come per il 2026, accettare l’imperfezione non significa rinunciare alla verità o alla bellezza, ma riconoscerne la natura non perfetta, non conclusa, ma forse per questo autentica. »

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Ecco che ci dice invece Mauro Merlotti, riguardo al suo post Zibaldone Scientifico: 279. Doomsday 2026: « mi rendo conto che l’argomento che propongo per questo carnevale della matematica è quasi sicuramente noto a tutti, ma “2026” era troppo in tema con il post “Doomsday 2026” e quindi eccomi qui a ricordare che più di cinquant’anni orsono il matematico inglese John Conway trovò un metodo semplice ed ingegnoso per calcolare il giorno della settimana di una specifica data nel corso dell’anno. Come semplice esempio, Il Doomsday del 2026 sarà sabato e quindi saranno di sabato i giorni: 4/4, 6/6, 8/8, 10/10 e 12/12; oltre al Pi-day, Ferragosto e S.Stefano. Conway è nato e morto in due date Doomsday (26 dicembre 1937 – 11 aprile 2020).»

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Paolo Alessandrini segnala i suoi contributi pubblicati su Mr Palomar:

• il trittico dedicato ai “cicli storici” di Mr. Palomar, cioè alle serie di post più significative che sono state pubblicate sul mio blog nei suoi 15 anni di vita, dalle connessioni matematico-musicali ai libri infiniti, dalla matematica del COVID alle incursioni di Gianni Rodari nel mondo dei numeri, e ad altro ancora. parte prima – parte seconda – parte terza.
• una recensione del libro “Il mistero della discesa infinita. Zenone e gli atomi della discordia” di Flavio Ubaldini (lo so, è uscito qualche anno fa, ma sono lento a leggere e recensire): è più o meno una trascrizione testuale della videorecensione che ho realizzato per il mio canale YouTube.

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Ora tocca a tutto il materiale (compreso qualcosa di mio…) che si trova su MaddMaths!.
Post generalisti:

• Settimana Matematica UniPi: aperte le pre-iscrizioni per l’edizione 2026 – La ventiduesima edizione della Settimana Matematica si svolgerà nei giorni 26, 27 e 28 gennaio 2026 presso il Dipartimento di Matematica dell’Università di Pisa, in Largo Pontecorvo 5, e l’adiacente Polo Didattico Fibonacci. La Settimana Matematica prevede attività plenarie (seminari, simulazione di una lezione universitaria, presentazione del corso di studi, incontro con studenti del corso di studi) e laboratori in parallelo.Per partecipare alla Settimana Matematica è obbligatoria la pre-iscrizione online, da effettuarsi entro e non oltre il 16 Gennaio 2026.
• Al PACTA Salone di Milano in scena “La Scienza è donna” – 11 febbraio 2026 – Mercoledì 11 febbraio 2026, l’Associazione Maddmaths! insieme a PACTA dei Teatri organizza “LA SCIENZA È DONNA” in occasione della Giornata Internazionale delle Donne e delle Ragazze nella Scienza. All’interno del Festival ScienzaInScena AttoNono, si terranno due eventi: alle 11.30 quello dedicato alle scuole e alle 20.45 quello aperto a tutto il pubblico interessato. Ce ne parla Chiara de Fabritiis.
• Euclide colpisce ancora! – I numeri primi non finiscono mai, ma sembra che la stessa cosa valga anche per le dimostrazioni stesse di questo fatto. Ecco allora una nuova dimostrazione del Teorema di Euclide sull’esistenza di infiniti numeri primi proposta da Alessandro Zaccagnini. Chi propone la prossima?
• Arriva Archimede 4/2025 – Abbiamo appena mandato in stampa il numero 4/2025 della rivista Archimede. Vi proponiamo il sommario del direttore: “E chiudiamo l’annata 2025, accompagnata dalle belle tavole di Claudia Flandoli sulle applicazioni della matematica nella biologia e nella medicina, con una puntata in cui si cerca di capire dove stiamo andando con gli studi in questo campo. Ci sono due articoli piuttosto corposi ad aprire questo numero. Il primo è il contributo di una classe del Liceo Matematico (LM) «T. Calzecchi Onesti» di Fermo sotto la guida di Giovanna Guidone e dell’Università di Camerino, che ha lavorato su un problema applicativo legato al consumo energetico di una pista di pattinaggio su ghiaccio. Un lavoro di didattica laboratoriale, anche attento alla comunicazione e alla divulgazione. Il secondo riguarda la presentazione di un altro laboratorio, sempre per la secondaria di secondo grado, in cui Chiara Bianchini e Ilaria Lucardesi ci conducono nel mondo delle ruote spigolose, a partire dei triangoli di Reuleaux. Segnaliamo infine la nuova puntata delle Strane storie matematiche e l’inizio di una serie dei Rudi Mathematici sulla storia della matematica ricreativa.” Per leggerlo ricordatevi di abbonarvi!
• Il 2025 di MaddMaths!: post e numeri – Siamo arrivati bene o male alla fine del 2025. Vediamo come è andata e cosa abbiamo fatto qui su MaddMaths!. Una specie di riassuntone di fine anno.
• Alcuni notevoli risultati matematici del 2025 – Geometria, analisi, congetture, Sesto problema di Hilbert e numeri primi hanno caratterizzato il 2025 della Matematica. La redazione di MaddMaths! ha raccolto alcuni risultati notevoli.
• Un workshop a Pavia su clima ed epidemie: il ruolo della matematica – Cambiamenti climatici e nuove epidemie saranno, dall’11 al 13 febbraio 2026 a Pavia, al centro del Workshop “From Climate Change to Emerging Diseases: Next Generation Mathematical Approaches”.
  I due temi sono sempre più intrecciati tra loro, con un’influenza reciproca che complica le rispettive dinamiche. La matematica fornisce modelli per descrivere e capire questi fenomeni, con le loro conseguenze.
  L’evento si inquadra nelle attività dei gruppi CliMath e MSE dell’UMI – Unione Matematica Italiana.
• Perché la comunità matematica italiana dovrebbe firmare per un Centro Europeo di Ricerca sull’Intelligenza Artificiale – Da qualche mese è stata promossa online una petizione per la creazione di un Centro Europeo di Ricerca sull’Intelligenza Artificiale. Pierluigi Contucci e Giorgio Parisi ce ne spiegano l’importanza per la comunità matematica italiana.
• Come festeggiare la Giornata Mondiale della Logica – Il 14 gennaio è la Giornata Mondiale della Logica, proclamata dall’UNESCO nel 2019 per sostenere la ricerca, l’insegnamento e la divulgazione della logica. La data è stata scelta per ricordare due figure centrali della logica del XX secolo, Kurt Gödel (morto il 14 gennaio 1978) e Alfred Tarski (nato il 14 gennaio 1902).
• Rivoluzioni matematiche: Teoremi di Turing di Luca San Mauro – Con il numero di dicembre de Le Scienze troverete in allegato il quarantesimo dei cinquanta volumi della collana dedicata ad alcuni tra i maggiori teoremi matematici. La collana è stata elaborata in collaborazione con la redazione di MaddMaths!. Questo nuovo volume è dedicato ai teoremi di Turing ed è stato scritto da Luca San Mauro

Per Storie che contano:

• 15) Cosimo Perini Brogi, “Il senso astratto delle cose” – Iniziamo il 2026 con una storia che riformula in chiave narrativa il Lemma di Yoneda. Un racconto che mostra come un oggetto possa essere compreso fino in fondo solo attraverso la rete delle sue relazioni, dove ombre e punti di vista ricostruiscono la realtà senza perdere un solo dettaglio.
• 14) Nina Grenzwert, “Il regime del logaritmo” – Questa settimana vi proponiamo un racconto breve e visionario che trasforma la matematica in cronaca di un regime.

Per Diario di un matematico non praticamente di Maurizio Codogno, il .mau. della rete:

• La matematica delle tasse – La matematica entra anche nel pagamento delle tasse, e viene trattata anche peggio di quanto capiti di solito!
• Cinque minuti di inutili calcoli – Ma voi pensate davvero che ai matematici piaccia fare i calcoli, o almeno lo trovino una cosa naturale? Vi assicuro che non è così.

Per le News:

• Scacchi. Ecco come mettere i pezzi per non avvantaggiare nessuno – Nel gioco degi scacchi, la disposizione classica dei pezzi non è equa, fornendo un vantaggio statistico al Bianco. Un nuovo studio mostra come schierare i pezzi in modo da avere la parità assoluta iniziale.

Per Letture matematiche:

• Imprevedibili previsioni, G.I. Bischi, L. Gardini e L. Tenti – Per Letture Matematiche, Angelo Vulpiani ci racconta ” Imprevedibili previsioni” di G.I. Bischi, L. Gardini e L. Tenti.
• La formula più bella del mondo – È stato pubblicato da Bollati Boringhieri il libro “La formula più bella del mondo. Quando su Eulero si posò la mano di Dio” di Paolo Gangemi e Francesco Claudio Ugolini. Maurizio Codogno lo ha letto e recensito.
• Il codice di Schrödinger di Riccardo Adami – È uscito per le Edizioni Dedalo il libro “Il codice di Schrödinger, Come la meccanica quantistica ha rivoluzionato la fisica, la filosofia e la tecnologia”, scritto da Riccardo Adami, professore presso il Politecnico di Torino. Lo ha letto per noi Roberto Natalini.

Per La Lente Matematica di Marco Menale:

• Il rumore che rafforza i modelli – Vogliamo sempre liberarci del rumore. Eppure, per avere modelli matematici efficaci non possiamo farne a meno. Il rumore è necessario per catturare le proprietà di fenomeni come la dinamica delle opinioni o quella ecologica, dove l’evoluzione dipende da tanti, forse troppi, fattori che non possiamo includere nemmeno nelle equazioni più sofisticate.

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Come sicuramente sapete, i Rudi Mathematici sono ospitati su MaddMaths, ma non posso esimermi da lasciare loro una sezione a parte:

• I classici secondo noi – Rudy 2, la vendetta Continuano i problemi classici proposti dai Rudi Mathematici. Un problema è “classico” per Rudy se usa un qualche concetto matematico che non ha mai visto usare prima in un problema. E questa volta si parla di neve e spazzaneve!
• I Problemi di LeScienze – Dicembre 2025 – Girotondo, casca il mondo Se si dovesse fare una lista dei cambiamenti della vita quotidiana occorsi nell’ultimo mezzo secolo, l’elenco sarebbe bello lungo. Uno di questi sono le “rotonde” stradali. Tra queste, campeggia quella del problema che i Rudi Mathematici hanno proposto questo mese sulle pagine di Le Scienze. Vediamo come inizia: Cinque vetture guidate da famosi piloti girano in tondo su una rotonda. Le cinque auto sono disposte in un ordine noto, anche se non si sa se il senso di marcia sia orario o antiorario: Topolino, Paperino, Batman, la DeLorean di «Doc Brown» e il maggiolino Herbie. E poi? Leggete e vedete se riuscite a risolvere il problema e se la vostra soluzione è migliore di quella dei Rudi Mathematici. Magari si sono sbagliati ancora…
• Taccuino di viaggio – Milano. Un reportage dei Rudi Mathematici – Dopo il successo delle prime due edizioni, che si sono tenute a Napoli e a Palermo, quest’anno il Carnevale della Matematica dal Vivo è tornato il 21 e 22 novembre scorsi, ospite del Museo Nazionale di Scienza e Tecnologia Leonardo da Vinci di Milano, con incontri divulgativi con matematici professionisti e divulgatori esperti, tutti accomunati dalla passione nel raccontare come la Matematica possa essere al contempo bella, complessa, emozionante e, a volte, persino utile. I Rudi Mathematici hanno voluto dedicare un intero reportage all’evento (detto reportage lo trovate anche all’interno della loro tradizionale Newsletter uscita pochi giorni fa, la RM323 per chi fosse appassionato. Qui però alla fine trovate più foto…). Sedetevi comodi, c’è parecchio da leggere. È la nostra lettura delle feste!
• Quick & Dirty – Costruzioni su un triangolo – Una domanda veloce e mal posta, con risposta diretta e immediata, probabilmente sbagliata per provare il vostro istinto matematico. Questa volta si parla di triangoli.

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Siete sopravvissuti al muro di post? Potete tirare il fiato, con due contributi singoli! Daniela Molinari di Amo la matematica scrive: «Dopo aver cercato un po’ di idee per partecipare al Carnevale con un articolo che fosse in tema, ho cercato un po’ di ispirazione tra le pagine dell’ultimo numero di Prisma, la rivista di matematica. In copertina campeggia il tema del 2026, una “corsa contro il tempo” per “porre dei limiti invalicabili all’intelligenza artificiale”. Ho letto qualcosa, ma poi ho rinunciato. Per liberare un po’ la mente ho ascoltato l’ultima puntata del podcast scientifico del Post, Ci vuole una scienza, e anche questa era dedicata, in gran parte, all’intelligenza artificiale. Un’idea ha cominciato a formarsi nella mia mente, complice anche l’ultima lettura, il libro di Paolo Alessandrini Numeri che pensano, sulle sei grandi idee matematiche dietro l’IA. Ho quindi deciso di andare direttamente alla fonte e di… “parlarne” con ChatGPT.» Il post, che termina con ChatGPT che dice cos’è il Carnevale della Matematica, è Un dialogo con la sfida del 2026.

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C’è poi Flavio Ubaldini con Pitagora e dintorni presenta un post che ha a che fare con la statistica (per cui anche con la matematica), con la medicina e con il 2019-2020 più che con il 2026: I vaccinati COVID muoiono più dei non vaccinati? – Contiene l’estrema sintesi di uno studio francese su 29 milioni di persone per verificare se i vaccinati COVID muoiono più dei non vaccinati. (spoiler: no)

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E adesso vi tocca l’altro muro di post, stavolta mio.
Nelle recensioni:

• Math Cats, di Daniel M Look. Simpatico, ma troppi giochi di parole.
• Ignoranza artificiale, di Paolo Caressa: un bel libro che prima di dare un’idea di come funzionano le IA spiega cosa noi e loro non potremo mai fare.
• Le matematiche, curato da A. D. Aleksandrov, A. N. Kolmogorov, M. A. Lavrentev. Vi siete mai chiesti come la matematica viene vista nella scuola russa?

  Per i quizzini matematici:

• Equazione cubica. No, non vale usare l’Ultimo Teorema di Fermat se non sapete dimostrarlo.
• Il terzo giorno di Natale. Riuscite a trovare i numeri che il mio vero amore mi ha dato?
• Stella di Natale. Si può risolvere pedissequamente oppure in modo furbo…
• 2026 aritmetico. Vorrete mica perdere l’occasione di fare tanti bei conticini?
• Indovina il numero. Come ve la cavate se io ho il diritto di mentire (ma una sola volta!) alle vostre domande?

Per il mercoledì matematico:

• Meglio non usare tutte cifre diverse per il pin. Almeno se si è paranoici, ci sono più possibilità diverse se si ripete qualche cifra, nel caso un attaccante sappia quante e quali cifre usiamo.
• Un triangolo 3-4-5 che spunta dal nulla. Per meglio dire, spunta da pieghe in stile origami.
• Zpordle. Un giochino “indovina il numero” molto matematico.
• Ancora un record per le cifre di pi greco. Ogni tanto qualcuno passa dei mesi a fare dei calcoli…

Post vari:

• Sono andato a vedere la mostra Il valore della misura.
• Il taglio Irpef di quest’anno premia i “più ricchi”, o almeno quelli che pagano più tasse. Ma bisogna dare i numeri giusti.
• Qualche proprietà aritmetica del 2026 (sono poche)
• Un percorso del cavallo sulla scacchiera piuttosto speciale, mostrato da Don Knuth.

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Al fotofinish, altri due contributori! Maths is in the Air mi segnala un post di Maria Mannone dal titolo “Quantum + musica = creatività e pace”, sulle contaminazioni fra contaminazioni fra meccanica quantistica, calcolo quantistico e musica.

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Gianluigi Filippelli scrive più o meno ovunque.
Nei Rompicapi e nei Paralipomeni di Alice:

• Il primo dei Rompicapi è Lo scambio dei doni in cui Alice, il Cappellaio Matto, la Lepre Marzolina e il Ghiro si scambiano dei doni. Dagli indizi bisogna capire chi ha portato e chi ha ricevuto cosa.
  Come, però, succede quando si va di fretta, il testo del Rompicapo presentava un errore, come ho successivamente scritto nel Paralipomeni con la soluzione, Il party per l’anno nuovo
• Torniamo, ora, all’usuale programma che le due rubriche gemelle stanno conducendo da alcuni mesi a questa parte con L’Imperial Tessitrice di Sciarpe, post della serie dei Paralipomeni che propone la soluzione del nodo 6 di A tangled tale di Lewis Carroll.
• Nei Rompicapi, invece, ecco Pranzo all’inglese, con il testo del nodo 7. La soluzione uscirà a ridosso del prossimo Carnevale della Matematica nella serie dei Paralipomeni.

Tra i Ritratti:

• Un articolo dedicato ad Arthur Cayley, il matematico britannico del XIX secolo dietro i diagrammi di Cayley e altre innovazioni nella teoria dei gruppi.

Fuori dalle rubriche:

• Un post a tema Formula 1: Il casco matematico di Isack Hadjar: il principio di Bernoulli. Il giovane pilota di Formula 1, figlio di un fisico, ha portato in giro per il mondo un casco con una serie di equazioni matematiche stampate sopra. Nell’articolo mi soffermo su una di esse.

Passiamo al Caffè del Cappellaio Matto:

• Qui è uscito Newton e Pico in viaggio nella filosofia /a>, articolo che racconta le storie di questa serie pubblicata su Topolino in cui vengono raccontati cinque filosofi dell’antichità. Tra questi anche due matematici: Talete e Cartesio.

Infine da EduINAF:

• Una super-renna per Babbo Natale!, articolo de La scienza con i supereroi in cui proviamo a capire la fattibilità del viaggio di Babbo Natale!

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Questo è tutto. La prossima edizione del Carnevale sarà gestita dai Rudi Mathematici: accorrete numerosi!