Supponete di avere un numero, prendere cifra per cifra, elevarla alla potenza 1, 2, 3… e sommare tutti questi risultati. In certi casi si può ottenere il numero iniziale: per esempio se partiamo da 89 e scriviamo \( 8^1 + 9^2 = 8 + 81 = 89 \). È ovvio che i numeri di una sola cifra hanno questa proprietà; ma così è troppo facile. È abbastanza facile dimostrare che i numeri con questa proprietà devono essere una quantità finita; per un numero \( N \) di \( k \) cifre deve infatti valere la doppia disuguaglianza \( 10^{k−1} ≤ N ≤ 9 + 9^2 + 9^3 + … 9^k \), e mentre la prima parte è automatica la seconda quando si arriva a \( k = 22 \) non può valere. Ma quanti sono questi numeri? Ce lo suggerisce come sempre OEIS: l’elenco è \( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 89, 135, 175, 518, 598, 1306, 1676, 2427, 2646798 \) seguito da

\( 12157692622039623539 = 1^1 + 2^2 + 1^3 + 5^4 + 7^5 + 6^6 + 9^7 + 2^8 + 6^9 + 2^{10} \)
\( \qquad + 2^{11} + 0^{12} + 3^{13} + 9^{14} + 6^{15} + 2^{16} + 3^{17} + 5^{18} + 3^{19} + 9^{20}. \)

Trovate il problema e la soluzione qui

Sono d’accordo, saperlo non serve a nulla. Al limite potrebbe essere interessante sapere come hanno fatto i conti, ma non sono riuscito a trovare una fonte; così ad occhio per i numeri fino al penultimo si è andati avanti per forza bruta, poi si è usato un algoritmo che fissato il numero di cifre da testare parte dall’ultima cifra, torna alla prima e poi va avanti. La cosa più incredibile è però che a parte i numeri “facili” e se volete 2646798 che comunque ha sette cifre, ce ne sia ancora uno solo e così grande. Questo è un altro esempio di come in teoria dei numeri non possiamo mai fidarci che qualcosa “non capita per migliaia di miliardi di casi, quindi è impossibile”…

Tra i dodici membri della Banda dei Sessisti ci sono nove maschi e tre femmine. La banda non si chiama davvero così, ma visto che tutti i membri hanno la pessima abitudine di fare commenti sessisti verso i membri della banda di sesso opposto, il nome è particolarmente appropriato. Supponiamo che tutti, maschi e femmine, abbiano lo stesso tasso di commenti: è evidente che le donne ne riceveranno di più, essendo in minoranza. Ma quanti di più? Il triplo, visto che i maschi sono il triplo delle femmine? No, nove volte.

Se non ci credete, sostituite i commenti con delle palline colorate, e immaginate che ognuno dei membri della banda ne abbia nove che distribuisce uniformemente. Le tre ragazze ne daranno una a ciascun ragazzo, che dunque ne riceveranno in tutto tre; i nove ragazzi ne daranno tre a ciascuna ragazza, che quindi ne riceverà 27. In altri termini, a parità di tasso di commenti sessisti quelli verso il sesso in minoranza sono proporzionali al quadrato del rapporto numerico tra i sessi. Come avete visto, la matematica alla base di questo risultato non è poi complicata, ed era già stata notata durante la prima guerra mondiale con la legge quadratica di Lanchester, che così ad occhio ha anche una qualche correlazione con gli attacchi delle armate a Risiko :-) (No, non è così, le regole per definire il vincitore sono diverse, non foss’altro che perché se il lancio del dado dà lo stesso risultato il difensore vince). Ma la prima volta che è stato applicato al sessismo è stata il 2013, quando l’informatica Karen Petrie l’ha messo nero su bianco, e (stranamente) è stato definito il moltiplicatore di Petrie. Non è ovviamente un caso che a trovarlo sia stata una donna in un campo accademico dove le donne sono in minoranza. Non so se sia un segno di sessismo il fatto che né Gemini né ChatGPT sanno cosa sia il moltiplicatore di Petrie, nonostante ci sia da anni una voce di Wikipedia al riguardo…

Chiaramente sapere che il sessismo è esacerbato dal diverso rapporto tra maschi e femmine non lo scusa, anzi: bisogna capire che bisogna essere ancora più attenti a quello che si dice. Ma almeno conoscere il meccanismo permette di spiegare perché dice “che c’è di male? lo fanno anche loro” non è affatto la risposta giusta.

Ultimo aggiornamento: 2026-03-25 09:56

Come ha raccontato su Aperiodical, Christian Lawson-Perfect ha implementato un semplice gioco da fare con i numeri. In Number Builder si parte da 1 e bisogna raggiungere il numero indicato come obbiettivo usando le quattro operazioni per costruire man mano altri numeri ausiliari. Per esempio, si può arrivare a 42 in cinque passi con 1+1 = 2, 2+2 = 4, 4+2 = 6, 6+1 = 7, 6*7 = 42. (Non ho idea se si possa fare di meglio: ve lo lascio come esercizio, ma credo di no).
Essendo Christian un matematico, una volta arrivati alla soluzione viene mostrato il lavoro fatto… usando solo 1, le quattro operazioni e (tante) parentesi. Per i masochisti c’è poi anche la possibilità di avere un gioco a tempo. Buon divertimento!

Lo Scientific American riporta la conclusione di due studi, che mostrano come quando occorre fare dei conti i maschi sono molto più propensi delle femmine a trovare una scorciatoia anziché mettersi a fare i conti secondo le formule che si imparano a scuola. Se per esempio vi venisse chiesto di calcolare 25×9 il suggerimento è di calcolare prima 25×4 = 100, poi raddoppiarlo e infine sommarci 25. Io a dire il vero ho moltiplicato 25×10 e ho tolto 25, ma in ogni caso non ho eseguito la moltiplicazione standard.

Questo potrebbe spiegare perché a scuola le ragazze sono più brave dei ragazzi – seguendo le procedure si arriva con meno errori alla risposta – ma poi abbiano risultati peggiori nei test come il SAT. Mi restano molti dubbi sul fatto che si possa insegnare a trovare le scorciatoie, e aggiungo un’evidenza aneddotica personale. Uno degli studi afferma che c’è una forte correlazione tra il trovare queste scorciatoie e riuscire a ruotare mentalmente oggetti tridimensionali: bene, io sono sempre stato un fan delle scorciatoie perché sono fondamentalmente pigro, ma l’unica volta in cui feci un test per il QI alle scuole medie andò tutto benissimo salvo per una prova: quella di trovare la figura che non era solo ruotata ma anche riflessa.

Voi che ne pensate?

Ok, il fattoriale di un numero naturale \( n \) è il prodotto dei numeri da \( 1 \) a \( n \) e si indica con la notazione \( n! \). Questo immagino vi sia ben noto. Ma avete mai sentito parlare dei numeri primoriali? Dato un numero naturale \( n \), il suo primoriale \( n\# \) è il prodotto dei numeri primi da \( 1 \) a \( n \). Questo ovviamente significa che per esempio il primoriale di 12 è uguale a quello di 11 (e vale \( 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 = 2310 \)); in effetti c’è anche chi afferma che i primoriali sono solo quelli relativi ai numeri primi, e li rappresenta quindi con \( p_n\# \). In ogni caso, i primi primoriali distinti sono 2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, 200560490130, 7420738134810, 304250263527210, 13082761331670030, 614889782588491410.

Non esiste una funzione continua che estende i primoriali, a differenza della funzione Gamma per il fattoriale; la colpa, per così dire, sta nel fatto che la distribuzione dei primi è erratica. Se però prendiamo la funzione di Čebyšëv \( \vartheta(x)=\sum_{p\le x} \ln p \), cioè la somma dei logaritmi dei numeri primi inferiori a quello dato, sappiamo che \( \vartheta(n) \approx n \) e quindi \( n\# \approx e^{\vartheta(n)} \), per quello che può servire. La cosa buffa è che per \( n \lt 10^{11} \) abbiamo \( n\# \lt e^n \), ma sappiamo anche che ci sono sono infiniti intervalli di valori per cui invece \( n\# \gt e^n \). Quello che sappiamo al momento è che \(n\#\leq (2.763)^n\) e per \(>n \ge 563\) si ha che \( n\#\geq (2.22)^n \). Infine, se sommiamo gli inversi dei primoriali distinti otteniamo una costante:

\(\sum_{p\,\text{primo}} {1 \over p\#} = {1 \over 2} + {1 \over 6} + {1 \over 30} + \ldots = 0{.}7052301717918\ldots \),

e che questo numero è irrazionale (ma l’hanno dimostrato solo nel 2015… insomma non deve essere stato banale)

Ci sono poi i numeri compositoriali, che sono quello che manca ai primoriali per arrivare ai fattoriali: il prodotto di tutti i numeri composti da \( 1 \) a \( n \). Che io sappia, non esiste un simbolo per definirli: si scrive semplicemente \( n! \over n\# \) e chi si è visto si è visto. I primi compositoriali distinti sono 1, 4, 24, 192, 1728, 17280, 207360, 2903040, 43545600, 696729600, 12541132800, 250822656000, 5267275776000, 115880067072000, 2781121609728000, 69528040243200000, 180772904632320000.

Tutta questa pappardella mi è servita per dire che il numero \( 751882!/751882\# + 1 \) è primo: questo è il più grande numero “quasi compositoriale” conosciuto, con le sue 3765621 cifre. Nella pagina che ho linkato il denominatore è \( 751879\# \), ma per quanto detto sopra il valore è lo stesso, e in questo modo si vede meglio che il numero differisce di 1 da un compositoriale. In genere è difficile dimostrare la primalità di numeri di questo tipo, e per questo se ne conoscono di meno: per dire, quando è stata certificata la sua primalità era il 109-simo più grande numero primo conosciuto…

Lanciate due dadi: è più facile che otteniate 7 rispetto a 2 o 12. Questo dovrebbe esservi noto. Probabilmente vi sarete anche messi a fare una volta i conti, trovando che i vari valori da 2 a 12 possono essere ottenuti così:
2: 1 modo (1+1)
3: 2 modi (1+2) (2+1)
4: 3 modi (1+3) (2+2) (3+1)
5: 4 modi (1+4) (2+3) (3+2) (4+1)
6: 5 modi (1+5) (2+4) (3+3) (4+2) (5+1)
7: 6 modi (1+6) (2+5) (3+4) (4+3) (5+2) (6+1)
8: 5 modi (2+6) (3+5) (4+4) (5+3) (6+2)
9: 4 modi (3+6) (4+5) (5+4) (6+3)
10: 3 modi (4+6) (5+5) (6+4)
11: 2 modi (5+6) (6+5)
12: 1 modo (6+6)

Vi siete mai chiesti se è possibile avere due dadi diversi da quelli standard, ma che danno la stessa distribuzione di risultati? Naturalmente ci aspettiamo che su ogni faccia dei dadi ci sia almeno un puntino, e che il numero di puntini sia sempre un intero. La risposta è affermativa, ma c’è un solo altro modo di costruirli, trovato da George Sicherman e reso noto da Martin Gardner nel 1978. I dadi hanno questi valori sulle facce: il primo (1, 2, 2, 3, 3, 4) e il secondo (1, 3, 4, 5, 6, 8). Si può verificare facilmente che le combinazioni possibili sono queste:
2: 1 modo (1+1)
3: 2 modi (2+1) (2+1)
4: 3 modi (1+3) (3+1) (3+1)
5: 4 modi (1+4) (2+3) (2+3) (4+1)
6: 5 modi (1+5) (2+4) (2+4) (3+3) (3+3)
7: 6 modi (1+6) (2+5) (2+5) (3+4) (3+4) (4+3)
8: 5 modi (2+6) (2+6) (3+5) (3+5) (4+4)
9: 4 modi (1+8) (3+6) (3+6) (4+5)
10: 3 modi (2+8) (2+8) (4+6)
11: 2 modi (3+8) (3+8)
12: 1 modo (4+8)

Come si possono trovare questi valori per i dadi? C’è un trucco molto interessante in matematica: quello di usare le funzioni generatrici. Una funzione generatrice è un modo per “impacchettare” una successione di interi nei coefficienti di un polinomio fittizio. La funzione generatrice per un dado è così \( x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 \), che rispecchia per l’appunto il fatto che i valori da 1 a 6 (i coefficienti da \( x \) a \( x^6 \) sono tutti 1. L’equivalente di lanciare due dadi è moltiplicare questa funzione per sé stessa: se ci pensate un attimo, infatti, i fattori \( x^k \) sono ottenuti dalle moltiplicazioni \( x^h \cdot x^l \), dove \( h + l = k \); quindi è proprio la definizione di funzione generatrice. Abbiamo così che il lancio di due dadi corrisponde alla funzione generatrice \( (x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)^2 \), che si fattorizza come \( (x(x+1)(x^2-x+1)(x^2+x+1))^2 \). Il trucco è ora quello di scrivere questo polinomio di dodicesimo grado come prodotto di due polinomi (i due dadi…) sapendo che ciascuno dei due polinomi deve avere un fattore \( x \) (altrimenti come otteniamo 2 = 1+1?), che i coefficienti siano tutti positivi (mica possiamo avere un numero negativo di facce con un certo numero di punti) e che la somma di tutti i coefficienti deve essere 6 (un dado ha sei facce). Per verificare la somma dei coefficienti basta calcolare il valore del polinomio per \( x = 1 \), ottenendo 1 per \(x\), 2 per \(x + 1\), 1 per \(x^2 – x +1 \) e 3 per \(x^2 + x +1 \). Abbiamo visto che i due fattori \(x\) stanno uno per polinomio; quindi anche i \(x^2 + x +1 \) devono essere separati o altrimenti un polinomio avrebbe somma dei coefficienti almeno 7. A questo punto anche i due \(x + 1\) devono essere separati per lo stesso motivo. Se separiamo anche i due \(x^2 – x +1 \) otteniamo i dadi di partenza; se invece li lasciamo insieme otteniamo i due polinomi \( x + 2x^2 + 2x^3 + x^4 \) e \( x + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^8 \) che sono effettivamente funzioni generatrici e corrispondono per l’appunto ai dadi di Sicherman.

Non so se siete riusciti ad arrivare fino in fondo alla dimostrazione teorica: confesso che dovendo scrivere il post ho finalmente capito come funzionano le funzioni generatrici. Non è mai troppo tardi… Fortunatamente non è necessario tutto l’armamentario teorico per verificare che i dadi funzionano, ma basta il conto pratico visto sopra.

Chissà, magari si possono comprare dei dadi di Sicherman per stupire i nostri amici quando giochiamo…

Ultimo aggiornamento: 2026-03-04 11:58

Sappiamo tutti che l’ipotenusa di un triangolo rettangolo di cateti 3 e 4 è lunga 5. Cosa succede se invece che scrivere \( \sqrt (3^2 + 4^2) = 5 \) decidessimo la formula 3 ⊕ 4 = 5? Avremmo definito una nuova operazione, che possiamo chiamare addizione pitagorica. Che proprietà ha questa operazione? Innanzitutto è commutativa, come la normale addizione: \( a \oplus b = b \oplus a \). È anche associativa: \( ( a \oplus b ) \oplus c = a \oplus (b \oplus c) \), e quindi possiamo scrivere \( a \oplus b \oplus c \) senza parentesi, il che tra l’altro ci dà la lunghezza della diagonale maggiore di un parallelepipedo. E ovviamente – non ve lo devo mica dimostrare, vero? – abbiamo che \( a \oplus b \lt a + b \), a meno che uno tra i due operandi sia nullo.

Ma ci sono anche altri usi dell’addizione pitagorica, tanto che molti linguaggi di programmazione la implementano come la funzione hypot (ipotenusa, senza grande fantasia). Per esempio, se dobbiamo convertire un numero in coordinate cartesiane \(a, b\) nell’equivalente in coordinate polari \(r, \theta \) applichiamo le formule \( r = x \oplus y; \theta = \textrm{atan2}(y,x) \). Un altro uso è quello per calcolare il valore efficace, detto anche media quadratica, di due valori, che è dato dalla loro somma pitagorica scalata di un fattore \( \tfrac{1}{\sqrt 2} \); più in generale la media quadratica di \( n \) valori ha come fattore di scala \( \tfrac{1}{\sqrt n} \).

Una curiosità è che nella maggior parte dei casi pratici di operazioni fatte al computer la radice quadrata serve solo per calcolare l’addizione pitagorica. Soprattutto con i primi calcolatori, quindi, si è cercato di trovare un algoritmo meno complesso computazionalmente, e già che si era lì di trovarlo “robusto”. Se i due operandi sono molto grandi, infatti, il calcolo naïf può portare a un overflow. Nel 1983 hanno così descritto un metodo iterativo che sostituisce man mano ai due numeri di partenza altri due numeri con la stessa somma pitagorica ma col secondo che diventa sempre più piccolo: quando arriva praticamente a zero, per definizione il primo numero è il risultato. Oggi ci sono metodi molto più semplici, anche perché possiamo permetterci il lusso di avere tabelle di lookup molto grandi che riducono enormemente il numero di operazioni necessarie; ma volete mettere il divertimento dei due ricercatori?

Ultimo aggiornamento: 2026-02-26 12:12