L’anno scorso avevo raccontato dei dadi non transitivi: una terna di dadi A, B, C con punteggi non standard sulle loro facce tali che A in media batte B, B in media batte C e C in media batte A. Avevo anche parlato dei dadi di Lake Wobegon, una terna di dadi dove ciascuno di essi batte la media degli altri due. Si può fare qualcosa di più complicato, nel caso per esempio ci siano tre giocatori e non due? La risposta è ovviamente sì, ma le cose sono appunto più complicate.

Nel 2013 James Grime scrisse un articolo in cui partendo dalla terna di dadi non transitivi di cui sopra provava per l’appunto a estendere il risultato. Per prima cosa ha costruito un insieme di tre dadi non transitivi, come in figura qui sotto:

Ho lasciato il nome inglese del colore dei dadi (e quello strano “Olive”, anche se “Green” in questo caso sarebbe comunque andato bene) perché abbiamo un ordinamento Red > Blue > Olive (> Red) dal nome più breve a quello più lungo. La cosa interessante è che se dopo un po’ di partite con quei dadi l’avversario si insospettisce potete proporre che siate voi a scegliere il primo dado; per compensare fate però due lanci anziché uno. Sembra incredibile, ma con il doppio lancio l’ordine delle probabilità si inverte: Red < Blue < Olive (< Red), anche se Red vince su Olive con una probabilità di 671/1296 che è circa il 51,7%, quindi non molto visibile con pochi lanci.

Grime però prosegue con un set di cinque dadi, mostrati qui sotto. I numeri sui dadi sono i seguenti:

Red: 4 4 4 4 4 9
Yellow: 3 3 3 3 8 8
Blue: 2 2 2 7 7 7
Magenta: 1 1 6 6 6 6
Olive: 0 5 5 5 5 5

Anche in questo caso abbiamo la catena di vantaggio “per minor lunghezza del nome”: Red > Blue > Olive > Yellow > Magenta (>Red); ma abbiamo anche una seconda catena di vantaggio “per ordine alfabetico”: Blue > Magenta > Olive > Red > Yellow (> Blue), e finalmente si riesce a capire il perché il colore è Olive e non Green. Questa doppia catena vincente potrebbe ricordarvi l’estensione del gioco carta-forbici-sasso che si chiama rock-paper-scissors-lizard-spock e che è stato anche presentato in The Big Bang Theory. La catena alfabetica è più forte, nel senso che la probabilità media di vincita è maggiore, ma se il vostro avversario subodora qualcosa potete sempre passare all’altra catena per mostrare che state “scegliendo casualmente”…

Cosa succede se lanciamo due volte il dado? La catena alfabetica resta quasi la stessa, con l’unico scambio tra Red e Olive (ma Red vince su Olive con probabilità 671/1296 quindi come nel caso dei tre dadi il margine è ristretto), mentre quella per lunghezza del nome si inverte, oltre a essere quella che mediamente ci dà più vantaggio! Questo ci permette di giocare contro due opponenti, lasciando loro la scelta e decidendo alla fine se lanciare uno o due dadi, assicurandosi un vantaggio rispetto a ciascuno dei due (non rispetto a entrambi, quello sarebbe stato pretendere troppo…) Ecco, non giocate con i vostri amici se volete che restino amici, però!

Per i curiosi, qui si trovano altre informazioni sui dadi di Grime.

Le immagini sono tratte dal sito di Grime citato nell’articolo

Abbiamo visto le prime proprietà del rapporto plastico ρ. Ma naturalmente ce ne sono molte altre. Per prima cosa, ρ è un numero morfico; per la precisione, uno dei due unici numeri morfici maggiori di 1. La nozione di numero morfico è così di nicchia che mentre scrivo non c’è nemmeno una voce di Wikipedia in inglese al riguardo: però non è poi così complicata. Prendiamo il buon vecchio rapporto aureo φ. Sappiamo che vale la formula

$ \begin{cases}\varphi\!+\!1\;=\;\varphi^{2},\\ \varphi\!-\!1\;=\;\varphi^{-1}\end{cases} $

Per il rapporto plastico vale una formula simile, anche se con esponenti diversi:

$ \begin{cases}\rho\!+\!1\;=\;\rho^{3},\\ \rho\!-\!1\;=\;\rho^{-4}\end{cases} $

In generale un numero x maggiore di 1 è morfico se sia x+1 che x−1 sono potenze di x. Questa proprietà è condivisa solo da φ e ρ e ha un interessante corollario di cui parlerò un’altra volta (devo ancora fare tutti i conti…). Per il momento, tenete solo presente che $1 +\varphi^{-1} +\varphi^{-2} =2$; inoltre $\sum_{n=0}^{13} \rho^{-n} =4$. Dalla definizione della successione di Perrin abbiamo intravisto, e magari intuito, che $\rho^{n} =\rho^{n-2} +\rho^{n-3}$; abbiamo anche $ \rho^{n} =\rho^{n-1} +\rho^{n-5} = \rho^{n-3} +\rho^{n-4} +\rho^{n-5} $.

Graficamente, il rapporto plastico ha delle interessanti proprietà. Tra l’altro, il primo a studiare questo numero intorno al 1960, riferendosi proprio all’architettura, è stato l’olandese dom Hans van der Laan: il “dom” sta appunto a indicare che era un monaco benedettino. Anch’egli ha definito una successione come quelle di Perrin e Padovan dove il rapporto tra termini successivi tende a ρ; i valori iniziali nel suo caso sono $V_1 = 0, V_0 = V_2 = 1$. Ma l’architettura non è il mio campo, quindi passo; e soprattutto ci sono proprietà più semplici.

Prendiamo per esempio un quadrato di lato unitario: come possiamo dividerlo in tre rettangoli simili? Una soluzione facile è fare tre rettangoli paralleli di lati 1 e 1/3. Una soluzione abbastanza facile è quella di fare un rettangolo di lati 1 e 2/3, e dividere la striscia rimanente in due rettangoli di lato 1/3 e 1/2. Ma c’è una terza possibilità, mostrata a destra nella figura qui sotto.

In questo caso, il rettangolo a sinistra divide il quadrato in due parti le cui aree hanno rapporto ρ, e quindi i suoi lati sono in rapporto plastico; il rapporto tra i lati del rettangolo grande e quelli del lato medio è dunque ρ, mentre quello tra i lati del rettangolo medio e del rettangolo piccolo è ρ². Sempre con i rettangoli si può costruire una spirale plastica, che assomiglia a una spirale aurea ma come vedete dalla figura spunta un po’ fuori dai rettangoli.

Non poteva poi mancare il frattale di Rauzy: poiché il rapporto plastico è vicino a 1, è difficile accorgersi che le tre figure colorate sono in rapporto ρ² : ρ : 1.

Termino con una curiosità più lessicale che altro: il raggio della sfera che circoscrive un icosidodecadodecaedro camuso di lato unitario (sì, ci sono due “dodeca” consecutivi, non è un errore di copincolla) è $\frac{1}{2} \sqrt{ \frac{2 \rho -1}{\rho -1}} $. Direi però che non ce ne facciamo molto…

Immagini da Wikimedia Commons: i rettangoli plastici sono di David Eppstein, di pubblico dominio; la spirale plastica e il frattale di Rauzy sono di Zilverspreeuw, CC-BY-SA-4.0; l’icosidodecadodecaedro camuso è di Tomruen, usando il software Stella.

Ultimo aggiornamento: 2025-04-02 11:56

Vi ho parlato – qui, qui e qui – del rapporto superaureo ψ, che è l’unica soluzione positiva dell’equazione $x^3 = x^2 + 1$. E cosa succede se prendiamo invece l’equazione $x^3 = x + 1$? Semplice: otteniamo il rapporto plastico (o numero plastico, se preferite), che si indica con ρ e vale circa 1,324717957… Ah: non traducete “plastic number” come “numero di plastica”, perché sarebbe riduttivo. L’aggettivo “plastico” in questo caso significa “che si può modellare artisticamente”.

Abbiamo una formula esplicita per ρ:

$\rho=\sqrt[3]{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}+\sqrt[3]{\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}$,

il che non è in effetti un valore bello a vedersi, ma dobbiamo accontentarci di quel che ci passa il convento. Anche lo sviluppo in frazione continua non ci dice molto: comincia infatti con [1;3,12,1,1,3,2,3,2,4,2,141,80,…] dove l’unica cosa davvero interessante è che ci si può fermare al dodicesimo livello della frazione continua, prima cioè del 141 e avere un’approssimazione molto precisa. E a proposito di approssimazioni, ρ è il più piccolo numero di Pisot-Vijayaraghavan e quindi come ricordate le sue potenze sono molto vicine a numeri interi.

Inutile dire che esiste una successione ricorsiva simile a quella di Fibonacci tale che il rapporto tra due termini successivi tenda a ρ; anzi, ce ne sono due. La più nota è probabilmente quella di Padovan (che non è un matematico italiano ma britannico), definita nel modo seguente: P(0) = P(1) = P(2) = 1, e P(n) = P(n−2) + P(n−3). La seconda è quella di Perrin (ma ne aveva già parlato Édouard Lucas), con la stessa ricorrenza ma i cui primi tre valori sono 3, 0, 2; questa successione ha un significato combinatorio. Che bisogna passare al termine tre posizioni indietro è chiaro, visto che ρ è la soluzione di un’equazione di terzo grado.

Come i numeri di Fibonacci permettono di costruire un quadrato che racchiude una spirale, capita qualcosa di simile con i numeri di Padocan che però usano triangoli equilateri anziché quadrati, formando una figura più simile a una conchiglia. In figura potete vedere tre di queste spirali.

Ci sono altre proprietà del rapporto plastico, che vi racconterò la prossima volta.

Le spirali plastiche sono di Hyacinth, da Wikimedia Commons

Ultimo aggiornamento: 2025-03-30 19:24

Lin McMullin è un professore in una high school americana. È anche lo scopritore di quello che per una volta è un teorema il cui nome è quello corretto, cosa che in matematica è praticamente impossibile. Cosa dice il teorema? Che se abbiamo un polinomio di quarto grado $p(x)$ tale che la quartica $y = p(x)$ ha due punti distinti di flesso A e B, e la retta che passa per A and B interseca la curva anche nei punti P and Q, dove per le coordinate $x$ dei quattro punti P, A, B e Q sono p < a < b < q rispettivamente, allora $p = ϕ × a − (1/ϕ) × b$ e $q = ϕ × b − (1/ϕ) × a$, dove $ϕ = (1+√5)/2$ è il rapporto aureo. Ma come ha fatto McMullin ad arrivare a questo risultato? Ce lo racconta lui stesso: per caso. Aveva sentito dire che le tre superfici finite ottenute tagliando la quartica con la retta erano in rapporto 1:2:1, e per dimostrarlo ha pensato di calcolare esplicitamente gli altri due punti di incontro, per poi integrare. Per semplicità è partito con la derivata seconda, che data una quartica $f\left( x \right)={{c}_{4}}{{x}^{4}}+{{c}_{3}}{{x}^{3}}+{{c}_{2}}{{x}^{2}}+{{c}_{1}}x+{{c}_{0}}$ dove le coordinate $x$ dei punti di flesso sono $a$ e $b$ è data da $f\prime\prime\left( x \right)=12{{c}_{4}}\left( x-a \right)\left( x-b \right) $, integrato due volte e dato in pasto il risultato a un sistema di computer algebra, che ha tirato fuori il risultato.

Perché appare il rapporto aureo? Boh. Nemmeno McMullin ha un’idea. Però è bello trovarselo così sotto gli occhi, no?

Dopo il primo e il secondo post sul rapporto superaureo, termino con una costruzione che ricorda quella dei conigli di Fibonacci, ma lavora più in grande (altrimenti il rapporto non sarebbe mica superaureo, no?)

Un secolo e mezzo dopo Fibonacci, il matematico indiano Narayana Pandit nel suo testo Ganita Kaumudi propose questo problema.

Una mucca dà alla luce un vitello (femmina) ogni anno. A partire dal suo quarto anno di vita, ogni vitello ormai divenuta una mucca adulta dà anch’essa alla luce un vitello l’anno. Quante mucche e vitelli ci saranno in tutto dopo vent’anni?

Occhei, il testo dovrebbe ricordarvi per l’appunto qualcosa…
Matematicamente, abbiamo l’equazione alle ricorrenze $N_k = N_{k-1} + N_{k-3}$, con la condizione iniziale $N_0 = N_1 = N_2 = 1$. La N è naturalmente maiuscola in onore di Narayana, come nel caso della F per i numeri di Fibonacci. I primi termini della successione sono 1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 19, 28, 41, 60, 88… e il loro rapporto tende al numero superaureo $\psi$. È interessante notare come i numeri di Narayana siano collegati ai coefficienti binomiali, per mezzo della formula

$N_{n} = \sum_{k=0}^{\lfloor n / 3 \rfloor}{n-2k \choose k}$;

ma d’altra parte è noto che guardando attentamente il triangolo di Tartaglia possiamo trovare al suo interno la successione di Fibonacci, quindi non vedo nulla di strano.

Vi risparmio un po’ di formule in stile Binet per ricavare il rapporto superaureo, e termino con una figura: un frattale di Rauzy, dove la tessera grande è formata da tre tessere più piccole e i rapporti relativi sono $\psi^4 : \psi^2 : \psi : 1$. Come ci si arriva? Iterativamente, come sempre con i frattali. Partiamo dalla matrice

$Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$
che ha come autovalore $\psi$. Se la eleviamo alla n-sima potenza, otteniamo
$Q^{n} = \begin{pmatrix} N_{n} & N_{n-2} & N_{n-1} \\ N_{n-1} & N_{n-3} & N_{n-2} \\ N_{n-2} & N_{n-4} & N_{n-3} \end{pmatrix}$
che come vedete ha come elementi numeri consecutivi di Narayana. Ma possiamo vedere queste matrici anche come generate da una struttura ricorrente:
$\begin{cases}
a \;\mapsto \;ab \\
b \;\mapsto \;c \\
c \;\mapsto \;a \end{cases}$
partendo da un elemento $w_0 = b$. Applicando quelle regole di trasformazione, a ogni passo avremo che la quantità di $c, b, a$ sono numeri di Narayana consecutivi, e la lunghezza complessiva della stringa al passo $n$ è sempre un numero di Narayana. Ecco i primi passi della trasformazione:

$w_1 = b$
$w_2 = c$
$w_3 = a$
$w_4 = ab$
$w_5 = abc$
$w_6 = abca$
$w_7 = abcaab$
$w_8 = abcaababc$
$w_9 = abcaababcabca$

Il frattale di Rauzy considera le tre lettere come direzioni spaziali, genera un insieme infinito di punti dello spazio che poi vengono mappati su un piano per ottenere la figura mostrata sopra. (A dire il vero, questa figura corrisponde alla trasformazione (a ↦ cab) (b ↦ a) (c ↦ ab), ma quella che ho usato io porta a una figura simile). Non è carino?

Immagine di Zilverspreeuw da Wikimedia Commons, CC=BY=SA 4.0

Ultimo aggiornamento: 2025-03-07 21:04

Nella sua mailing list Beyond Euclid, Ali Kaya ha presentato un’approssimazione di e costruita da Richard Sabey, che usa tutte le cifre da 1 a 9 e che vedete qui sotto. Il valore è corretto a 18.457.734.525.360.901.453.873.570 cifre decimali. Come è possibile?

Immagino che vi siate accorti tutti del trucco (in senso buono, naturalmente: l’approssimazione è proprio quella, non ha barato) di Sabey. Una delle definizioni di e è il limite per n tendente a infinito di (1 + 1/n)ⁿ. Quindi se prendiamo n abbastanza grande ci avviciniamo molto a e. Ora, il meno nell’esponente tra parentesi serve per fare l’inverso. Poi abbiamo 4^(7×6) = 4⁴² = 2⁸⁴; ma questo è l’esponente di 9 che è 3², quindi tutto il numerone tra parentesi è 3^{2^85}, esattamente come il numerone a cui si eleva il valore tra parentesi.
L’idea di Sabey è stata dunque quella di trovare un modo per scrivere in due modi diversi il numero più grande possibile usando una sola volta le cifre da 2 a 9: complicato ma non così tanto come il compito poteva sembrare a prima vista. (Poi ha anche dovuto calcolare quanto fosse corretta l’approssimazione, e lì ammetto di non sapere come si fa.)

Spero di non avervi rovinato la poesia dell’espressione algebrica!

La scorsa settimana avevo parlato del rapporto superaureo, dato dall’unica radice reale dell’equazione $x^3 = x^2 + 1$. Esso si indica con la lettera greca ψ e vale circa 1,46557. Si ha inoltre l’uguaglianza $\psi^{2} \left( \psi – 1 \right) = 1$. Vediamo ora qualche altra proprietà del rapporto superaureo.

Innanzitutto possiamo vedere quali sono le altre due radici (complesse coniugate) dell’equazione che definisce ψ. Dividendo il trinomio $x^{3} -x^{2} -1$ per $x – \psi$, ricaviamo $x^{2} + (x /\psi^{2}) + (1 /\psi)$ da cui troviamo che le altre due radici sono $x_{1,2} = \left( -1 \pm i \sqrt{4 \psi^2 + 3} \right) /2 \psi^{2}$. Tali radici hanno l’interessante proprietà che $x_1 +x_2 = 1 -\psi$ e $x_1x_2 =1 /\psi$; pertanto sia la somma che il prodotto delle tre radici è 1, come del resto si poteva vedere dall’equazione di partenza (usando una generalizzazione del fatto che nelle equazioni di secondo grado della forma $x^2 + sx + p = 0$ la somma delle radici è $-s$ e il loro prodotto $p$; in generale in un’equazione polinomiale monica di grado $n$ il termine noto è il prodotto delle radici, mentre il coefficiente del termine di grado $n-1$ è $(-1)^{n-1}$ volte la loro somma.)

La proprietà corrispondente a quella del numero aureo, cioè $ \phi^{n} =\phi^{n-1} +\phi^{n-2} $, per il numero superaureo diventa $ \psi^{n} =\psi^{n-1} +\psi^{n-3} $, che possiamo far diventare con un po’ di manipolazioni $\psi^{n-2} +2\psi^{n-4} +\psi^{n-6}$. Più interessante notare che ψ è un numero di Pisot (il quarto più piccolo in valore; Vijayaraghavan mi perdoni se non uso anche il suo nome), perché è maggiore di 1 e le due altre radici dell’equazione che lo definisce hanno valore assoluto minore di 1. Questo significa che le sue potenze (di esponente sufficientemente alto) sono ottime approssimazioni di numeri interi. Perché, vi chiederete? Sempre per la storia della somma delle radici: si può dimostrare che la somma delle n-sime potenze delle radici è un numero intero, e visto che il valore assoluto di tutte le altre radici è minore di 1, al crescere della potenza contano sempre di meno. Uno degli esempi più noti di numeri di Pisot è tra l’altro il rapporto aureo, come vediamo facilmente dalla serie di Fibonacci o se preferite dalla formula di Binet. Qui bisogna aspettare un po’ di più per avere un quasi-intero: per esempio, $\psi^{11} = 67.000222765…$. A proposito di somiglianze, ce n’è una che manca. Mentre φ è il numero “peggio approssimabile” con frazioni, perché il suo sviluppo in frazione continua è [1;1,1,1,1,…] e come sapete più piccoli sono i termini meno si riesce ad approssimare un numero troncando lo sviluppo, quello di ψ è [1;2,6,1,3,5,4,22,1,…] e quel 22 ci fa capire che fermandosi subito prima avremo una buona approssimazione: 1873/1278, per la cronaca.

Esistono gli equivalenti del rettangolo e della spirale aurei? Certo, e con grande fantasia si chiamano rettangolo e spirale superaurei. Sulla spirale non c’è molto da dire, se non è che logaritmica, passa per i vertici dei rettangoli superaurei sempre più piccoli che compongono quello di partenza e però spunta un po’ fuori da essi. Per il rettangolo superaureo, invece, non solo abbiamo tanti rettangoli simili all’interno – e, come abbiamo visto la volta scorsa, rettangoli che non sono superaurei ma hanno la stessa area di quello opposto rispetto alla diagonale; ma possiamo anche fare una partizione del rettangolo in quattro triangoli rettangoli, dove il vertice interno di due di essi è proprio il punto da cui si fa la divisione in sottorettangoli. Questa proprietà, come tante altre e il concetto stesso di rettangolo superaureo, era sfuggita ai greci perché non è possibile disegnarlo con riga e compasso… in questo caso l’algebra ci avvantaggia molto.

Se qualcuno infine si chiedesse se c’è un equivalente della successione di Fibonacci che sfrutta il rapporto superaureo, la risposta è positiva: ma ne parlerò la settimana prossima :-)

Le immagini del rettangolo superaureo e della spirale superaurea sono di Zilverspreeuw, e si trovano su Wikimedia Commons

Un paio di mesi fa avevo parlato del rapporto argenteo, che evidentemente vale un po’ meno di quello aureo, nel senso che è meno piacevole all’occhio. Ma ci sono altri numeri simili? Certo che sì! Oggi per esempio vi parlerò del rapporto superaureo (supergolden ratio in inglese). Come il rapporto aureo è la radice (positiva) dell’equazione $x^2 = x + 1$, il rapporto superaureo è la radice (unica reale) dell’equazione $x^3 = x^2 + 1$, ed è indicata con la lettera greca ψ (psi). Equivalentemente, ψ è il rapporto $\frac{a+b}{a}$ tale per cui $\left( \frac{a+b}{a} \right)^{2} = \frac{a}{b}$. Le prime cifre decimali di ψ sono 1,465571231876768…, e vale l’uguaglianza $\psi^{2} \left( \psi – 1 \right) = 1$.

Il rettangolo qui in figura ha area ψ; e i tre rettangoli blu, rosso e giallo hanno area rispettivamente $\frac{1}{\psi}, \frac{1}{\psi}^3, \frac{1}{\psi}^5$ (quello verde ha la stessa area di quello rosso, per la cronaca). Come vedete, a differenza del rapporto aureo si salta di due potenze per volta.
Anche il rapporto superaureo ha molte caratteristiche interessanti, che però vi racconterò la prossima settimana :-).

Immagine di OmegaFallon, da Wikimedia Commons.