Non so se avete avuto voglia di provare a dare una spiegazione per la notevole coincidenza che ho presentato mercoledì scorso. Qui ci sono le mie pensate, che mi hanno portato lentamente a trovare una soluzione.

La prima cosa che mi è venuta in mente è stata la legge di Benford, che si vede bene nei valori delle potenze di 10. Quella è però una falsa pista: beh, a dire il vero nemmeno troppo falsa, ma solo nel senso che il procedimento che porta alla legge di Benford è simile a quello che ci interessa. La seconda cosa che mi è venuta in mente è che $2^{10} \approx 10^3$, e che questo poteva forse spiegare la somiglianza dei valori. Però anche $2^{20} \approx 10^6$; d’accordo, l’errore è circa il doppio, ma la successione delle potenze “scalate tra 1 e 10” non assomiglia affatto a quella delle potenze frazionarie di 10. Però è anche vero che in certi casi la concordanza è ottima: abbiamo che $6^9 = 10077696$, e costruendo la tabella con le prime nove potenze (e quelle di 10 da $10^{1/9}$ in su) otteniamo (sempre approssimando)

$$
\begin{matrix}
n & \textrm{potenza} & \textrm{seietto} & \textrm{differenza} \\
0 & 1 & 1 & 0.00\% \\
1 & 1.2915 & 1.296 & 0.34\% \\
2 & 1.6681 & 1.6796 & 0.69\% \\
3 & 2.1544 & 2.16 & 0.26\% \\
4 & 2.7826 & 2.7993 & 0.60\% \\
5 & 3.5938 & 3.6 & 0.17\% \\
6 & 4.6416 & 4.6656 & 0.52\% \\
7 & 5.9948 & 6 & 0.09\% \\
8 & 7.7426 & 7.776 & 0.43\% \\
\end{matrix}
$$

Insomma, a volte l’essere arrivati molto vicino a una potenza di 10 funziona e a volte no. A questo punto sono tornato sui miei passi, e ho ripreso l’idea della legge di Benford, o meglio mi sono ricordato di come Simon Newcomb avesse notato la legge qualche decennio prima di Benford: le prime pagine delle tavole dei logaritmi erano più sporche delle ultime, il che significava che quelle pagine venivano usate di più. Prendiamo dunque i logaritmi in base 10 delle potenze di 10 usate nella tabella: per costruzione saranno tutti equidistanti tra 0 e 1 (più precisamente saranno 0/10, 1/10, …, 9/10, visto che ci siamo fermati prima di $10^1$). Cosa abbiamo invece nelle prime dieci potenze di 2? Sappiamo che $2^{10} \approx 10^3$, e quindi i loro logaritmi saranno equidistanti, con un passo di circa 3/10 (e infatti $\log_{10} 2 \approx 0.30103$). Trasformare le potenze di due mettendo il punto decimale dopo la prima cifra corrisponde a considerare solo la parte decimale (la mantissa) dei logaritmi; quindi abbiamo (quasi) la parte decimale dei multipli di 0.3; la cifra decimale di questi multipli varia da 0 a 9. Ora è chiaro perché considerare le prime venti potenze di 2 non funziona: abbiamo i valori della prima cifra decimale a coppie. Nel caso dei seietti, le parti decimali sono nove e quindi i logaritmi saranno distanziati circa di 1/9 uno dall’altro, mentre quelli delle potenze di 10 sono distanziati esattamente di 1/9.

A questo punto possiamo anche capire il motivo per cui gli errori variano: nei logaritmi abbiamo un residuo (0.00103 nel caso delle potenze di 2) che man mano si accumula. Gli errori maggiori si hanno pertanto in corrispondenza delle potenze più grandi di 2. In definitiva: no, non era una coincidenza, ma accorgersi del motivo non è immediato.

Colin Wright ha recentemente postato sul suo sito questa curiosità, segnalatagli da un suo amico.

Passo 1: Scriviamo le potenze di 2 da 0 a 9: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512.
Passo 2: Mettiamo questi numeri in ordine lessicografico: 1, 128, 16, 2, 256, 32, 4, 512, 64, 8.
Passo 3: Mettiamo un punto decimale (o una virgola, se preferite) dopo la prima cifra di ciascun numero: 1.0, 1.28, 1.6, 2.0, 2.56, 3.2, 4.0, 5.12, 6.4, 8.0.

A questo punto abbiamo dieci numeri in ordine crescente, compresi tra 1 e 8. Chiamiamoli “duetti” e lasciamoli un attimo da parte.

Passo 4: Calcoliamo le potenze di $10$ da $10^{0.0}$ a $10^{0.9}$ con gli esponenti che crescono man mano di 0.1. Otteniamo (arrotondando)

$10^{0.0} = 1.000$; $10^{0.1} \approx 1.259$; $10^{0.2} \approx 1.585$; $10^{0.3} \approx 1.995$; $10^{0.4} \approx 2.512$; $10^{0.5} \approx 3.162$; $10^{0.6} \approx 3.981$; $10^{0.7} \approx 5.012$; $10^{0.8} \approx 6.310$; $10^{0.9} \approx 7.943$

Chiamiamo questi dieci valori (che evidentemente sono già in ordine crescente) “potenze”.

Passo 5: Prendiamo i duetti e le potenze, mettiamoli a fianco e vediamo la differenza in percentuale tra i valori corrispondenti:

$$
\begin{matrix}
n & \textrm{potenza} & \textrm{duetto} & \textrm{differenza} \\
0 & 1.000 & 1.0 & 0\% \\
1 & 1.259 & 1.28 & 2\% \\
2 & 1.585 & 1.6 & 1\% \\
3 & 1.995 & 2.0 & 0\% \\
4 & 2.512 & 2.56 & 2\% \\
5 & 3.162 & 3.2 & 1\% \\
6 & 3.981 & 4.0 & 0\% \\
7 & 5.012 & 5.12 & 2\% \\
8 & 6.310 & 6.4 & 1\% \\
9 & 7.943 & 8.0 & 1\% \\
\end{matrix}
$$

Una coincidenza notevole, vero? Ma sarà davvero una coincidenza o c’è qualcosa sotto? Vi lascio un paio di giorni per provare a trovare una spiegazione comprensibile di questa coincidenza. Sono buono e vi voglio aiutare: se provate con le prime venti potenze di 2 (e naturalmente fate crescere le potenze di 10 di un ventesimo anziché un decimo) la coincidenza non c’è. In compenso se provate le prime nove potenze di 6 e fate crescere di un nono le potenze di 10 la coincidenza è ancora maggiore, con un errore massimo dello 0.69%.

“Canta tra i cespugli nella luce”
(Poesia gaussiana)

Benvenuti all’edizione numero 190 del Carnevale della matematica, dal tema “Ada & Friends”. Oggi, essendo il secondo martedì di ottobre, si festeggia infatti Ada Byron, contessa di Lovelace, prima persona a programmare nella storia. Io ne avevo parlato nel 2015 e nel 2022, oltre ad aver recensito il libro “The Thrilling Adventures of Lovelace and Babbage“.

La cellula melodica di Dioniso è molto semplice, passando da un do maggiore a un do settima. (Io avrei messo in mezzo un mi settima e un la minore, ma si sa che sono troppo contaminato dalla musica pop degli anni ’60…) Eccola qua.

Il 190 è un numero triangolare (la somma dei numeri da 1 a 19), esagonale, ennagonale centrato; è parte delle terne pitagoriche (114, 152, 190), (190, 336, 386), (190, 456, 494), (190, 1800, 1810), (190, 9024, 9026); è idoneo (dopo il 177 e prima del 210), felice, malvagio, palindromo in base 4 (2333₄), congruente.

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Annalisa Santi con il suo “Fake news? La matematica le smaschera!” celebra la visionaria che vide oltre i numeri, considerando il fatto che Ada Lovelace previde che i progressi tecnologici avrebbero avuto un profondo impatto culturale e intellettuale sulla società, consapevole che il ruolo della tecnologia fosse profondamente intrecciato con i valori, le capacità e gli obiettivi sociali: tecnologia sempre più pregnante nell’informazione e che nasconde spesso fake news difficili da smascherare o generate dall’IA, che però la matematica ci aiuta a scoprire.

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Passiamo ai Rudi Mathematici, che come sapete sono ospitati da MaddMaths! ma mantengono la loro autonomia. Ecco i loro contributi:

• I Classici, secondo noi [2 – Piotr] – Rudy ha deciso che siamo abbastanza vecchi da poterci permettere il lusso di dichiarare noi quali siano problemi classici e quali no. Così, ne abbiamo dovuto scegliere uno a testa tra quelli passati su RM, e finiscono sul blog. Il mese scorso c’era quello che scelto da Rudy, questo mese quello scelto da me, il mese prossimo ci sarà quello scelto da Alice. Questo qui parla di viaggi in treno, con tutti i passeggeri che sono molto diligenti nel pagare il biglietto, ma poco accorti nel sedersi nel posto di loro competenza.
• RM321, Ottobre 2025, è in linea – Quando stavamo sul blog di Le Scienze non mettevamo le Newsletter di accompagnamento all’uscita dei numeri di RM sul blog; ma da quando stiamo su MaddMaths! invece Alice ha deciso che sì, ce le mettiamo. Quello che decide Alice è legge.
• Giorni memorabili – Sempre sognato di vivere di rendita. O, perlomeno, di avere un minimo di pensione dopo quarant’anni e passa di lavoro. Dal punto di vista di RM, potrebbe assimilarsi a trovare qualcuno che scriva al posto nostro. Ebbene, questo mese ci è arrivata una pensione con tanto di tredicesima. BraMo logicar, ovvero Marco Broglia, ha mandato questo post. La fine di settembre 2025 ha visto alcune date numericamente molto interessanti…
• I Problemi di LeScienze – Settembre 2025 – Uno, nessuno, cento (alberi) – Una volta lo chiamavamo “post istituzionale”, anche perché il blog su Le Scienze doveva servire essenzialmente a pubblicarci le soluzioni dei problemi. Un po’ lo è ancora, perché abbiamo un posticino sul sito di LS per mettere una soluzione un po’ più lunga di quella che compare sul numero successivo del giornale cartaceo. Per lasciar liberi i lettori di commentare, linkiamo quella pagina sul blog di Maddmaths!. Il problema di questo mese è un problemino di matematica applicata all’economia di base (compro, rivendo, mi resta l’invenduto) e la cosa più originale è che parliamo di Natale a fine Settembre.

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MaddMaths!, a parte lo spazio dei Rudi Mathematici, ha come sempre tantissime cose. Cominciamo con i post più generali.

• Archimede 3/2025: l’errore in matematica – Numero monografico di Archimede, curato da Francesca Gregorio e Roberto Natalini, dedicato all’errore in matematica. Un argomento fondamentale, in quanto è proprio il fatto di poter affermare con certezza che una certa cosa sia giusta o sbagliata, caratterizza e dà forza all’attività matematica, ma al tempo stesso è proprio la causa principale di tanti sentimenti negativi, paura e di ansia, che la caratterizza.
• Il ciclo di vita del prodotto: quando la matematica racconta il mercato – Di fronte a un mondo in continua evoluzione, il concetto di ciclo di vita del prodotto emerge come una delle chiavi interpretative del successo e dell’obsolescenza dei beni. Questo approccio ha ispirato lo sviluppo di modelli matematici capaci di descrivere l’andamento delle vendite attraverso funzioni che riproducono le diverse fasi evolutive. In questo articolo di Corrado Binetti vediamo come si applicano questi concetti a dei prodotti alimentari — un formaggio artigianale, un olio d’oliva e un dolce tradizionale — in cui tradizione, sostenibilità e interventi di rilancio si integrano per rinnovare continuamente il percorso di vendita.
• Rivoluzioni matematiche: i teoremi della dualità in programmazione lineare di Alice Raffaele – Con il numero di Ottobre di Le Scienze troverete in allegato il trentasettesimo dei volumi della collana dedicata ad alcuni tra i maggiori teoremi matematici. La collana è stata elaborata in collaborazione con la redazione di MaddMaths!. Questo nuovo volume è dedicato ai teoremi della dualità in programmazione lineare ed è stato scritto da Alice Raffaele.
• Cellulari in classe: vietare o accettare la sfida educativa? – Una riflessione di Domingo Paola, a partire da un’intervista rilasciata dal Ministro Giuseppe Valditara all’Avvenire in cui si parlava di cellulari in classe e uso dei social, sulla responsabilità educativa della scelta.

Seguono le rubriche:

• Torna Storie che contano, con un racconto a tema dei Rudi Mathematici: “Una passione analitica” In occasione dell’Ada Lovelace Day, viene proposto “Una passione analitica”, tratto dal loro libro Storie che contano, pubblicato da Codice Edizioni. Un racconto che intreccia matematica e storia.
• Per Radice di Pop di Massimo Martone: Dal feed al bidet: quando il cellulare diventa un problema. In questo nuovo episodio di Radice di Pop, la rubrica di Massimo Martone, affrontiamo un tema tanto quotidiano quanto delicato: le emorroidi. Può sembrare una barzelletta, ma non lo è! Alcuni ricercatori si sono infatti chiesti: usare lo smartphone in bagno aumenta davvero il rischio di sviluppare problemi come le emorroidi? Dopotutto, cosa c’è di più pop del guardare una serie, leggere un fumetto o giocare sul telefono… proprio mentre si è in bagno?
• Per La Lente Matematica di Marco Menale:
  • Procrastinare: l’arte di “lo faccio domani”. Quante volte avete detto “lo faccio domani”? E “se ne parla a settembre”? Che poi settembre arriva e passa pure. È l’arte di procrastinare. Un modello matematico sviluppato dal Premio Nobel Akerlof spiega perché rimandiamo un compito e quando cominciano i guai.
  • Salsa vinaigrette: la ricetta matematica La ricetta per una perfetta vinaigrette? Risponde la matematica! Tra olio, aceto, legge di Stokes separazioni di fase il segreto è nella…Senape!
• Per le News di Stefano Pisani:
  • La stangata matematica: chi “gonfia” le proprie citazioni? Nel novembre 2023, Clarivate – una multinazionale che gestisce strumenti fondamentali per la valutazione della ricerca, come la banca dati Web of Science e il Journal Impact Factor – ha annunciato una decisione clamorosa: l’esclusione dell’intero settore della matematica dalla sua lista degli Highly Cited Researchers. Nei giorni scorsi sono usciti due documenti delle maggiori associazioni matematiche internazionali che cercano di fare chiarezza sulla situazione di queste pubblicazioni fraudolente in matematica, fornendo anche delle linee guida per la comunità scientifica. Vediamo di cosa si tratta.
  • I nodi della teoria dei nodi vengono al pettine: smentita una congettura che resisteva da un secolo. Una congettura di Teoria dei Nodi che resisteva da circa un secolo è stata dimostrata non vera.
  • Le risorse naturali gestite secondo la teoria dei giochi. Come può la teoria dei giochi aiutare a gestire risorse naturali in via di esaurimento?
• Infine per il mio Diario di un matematico non praticante:
  • Come spiegare le dimostrazioni alle AI? Tim Gowers ha lanciato un progetto collaborativo per insegnare la matematica agli LLM.
  • La gioia delle dimostrazioni Vi siete mai chiesti cosa c’è di bello per un matematico nel trovare una dimostrazione?

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Mauro Merlotti ha un contributo non a tema ma coglie l’occasione per rispolverare due vecchi post dove si racconta di scienziate che non hanno ricevuto il meritato riconoscimento.

• Zibaldone Scientifico: 277. Partizioni – come fare partizioni di un cerchio, in modo alternativo, dove almeno la metà di queste partizioni sono cerchi il cui diametro è contenuto un numero intero di volte nel diametro del cerchio principale.
• Zibaldone Scientifico: 11. Emmy Noether – Simmetrie – Emmy Noether è nota per l’omonimo teorema che formula la profonda connessione tra simmetrie e leggi di conservazione.
• Zibaldone Scientifico: 222. Paralipomeni e DNA – Rosalind Franklin è invece nota per il fondamentale contributo alla scoperta della doppia elica del DNA.

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Daniela Molinari scrive appunto di Ada and Friends. L’anno scorso, in occasione di un incontro con l’autore a scuola (si trattava di Alessandro Barbaglia autore di L’invenzione di Eva) Daniela ha realizzato un percorso per i suoi studenti che aveva intitolato “Hedy Lamarr e le altre”. Ha quindi scelto di mettere al centro Ada e raccontare la mia lezione, elencando anche le letture disponibili sull’argomento: propone libri illustrati per bambini, fumetti, biografie, romanzi e saggi. Qua e là qualche riflessione su come gli uomini percepiscono le donne.

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Anche Gianluigi Filippelli ha molto materiale.

• Si inizia con la doppia rubrica dei Paralipomeni e dei Rompicapi di Alice.
  In questo periodo, infatti, sta pubblicando i rompicapi tratti da A tangled tale di Lewis Carroll nella rubrica dei Rompicapi e le soluzioni in quella dei Paralipomeni, a volte rielaborate rispetto a quelle originali, come nel caso della soluzione del nodo 3 Un giro sul treno. Inoltre, piuttosto recente, ecco il rompicapo tratto dal nodo 4: Una storia di sacchi e libbre , un classico all’interno della matematica ricreativa.
  Ovviamente l’invito a tutti i lettori del Carnevale è di provare a risolvere il rompicapo!
• Questo mese Gianluigi ha pubblicato molti post e articoli a tema astronomico e Universo neurale, grazie a un video dedicato sul tema delle reti neurali in astronomia, è uno dei pochi che si interseca con la matematica.
• Sempre in qualche modo a tema astronomico ecco L’amplituedro e la cosmologia , ovvero un nuovo approccio geometrico alla meccanica quantistica che potrebbe influenzare anche la cosmologia.
• Infine, visto che è stata da poco la settimana dei premi Nobel, racconta i premi Nobel per la fisica 2025 con Un effetto tunnel da Nobel.
• L’ultimissimo contributo è, invece, la recensione su EduINAF del libro di Giorgio Parisi In un volo di storni, che forse non è un libro esattamente di matematica, ma quest’ultima è comunque presente all’interno.

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Infine tocca a me, che scrivo sempre troppo.

• I quizzini:
  • Tutti primi: leggete attentamente il testo prima di rispondere!
  • Area di un triangolo. Vladimir Arnol’d diceva che gli studenti americani lo risolvevano facilmente e quelli russi no. Voi?
  • Punti a coppie. Riuscite a scambiare di ordine un coppia?
  • Distanze stradali. Non dovete risolvere il problema del commesso viaggiatore, tranquilli!
  • Solo un tratto. È uno di quei problemi da non prendere sul serio.
• Il mercoledì matematico:
  • Come generare punti casuali dentro un triangolo. L’algoritmo banale che viene in mente non è casuale…
  • La Funzione 91 di McCarthy: una funzione ricorsiva in modo non lineare con un comportamento peculiare.
  • Base Fibonacci, insieme di Shevelev e congettura di Kimberling: una curiosa proprietà delle potenze di φ.
  • Kvick Sört. Un sito con alcuni algoritmi informatici scritti come fossero istruzioni di un manuale IKEA.
• I post del lunedì IA con contenuto matematico:
  • Come far sbagliare (a volte) un LLM: alcuni prompt “out of distribution” mandano in tilt gli LLM.
  • Stanno davvero arrivando le IA “intelligenti”? A quanto pare, OpenAI è riuscita a trovare un modo per usare gli LLM come biechi manovali.
  • Un po’ di fuffa sull’IA in matematica. L’hype sull’intelligenza artificiale tocca anche la matematica,
• Varie:
  • Una data numericamente particolare.
  • In trent’anni i computer si sono velocizzati parecchio.
  • Come è stato scoperto il Pentium Bug (ma Intel lo sapeva già)

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La prossima edizione del Carnevale sarà ospitata da MaddMaths!: accorrete numerosi!

Il sito idea-instructions.com ha postato alcuni algoritmi scritti come se fossero un manuale di istruzioni IKEA. Quello che vedete qui in figura è ovviamente il Quicksort.
Io spesso ho dei problemi con questo tipo di manuali, o se preferite ho dei problemi a montare i mobili IKEA. In questo caso però devo riconoscere che le istruzioni sono davvero chiare, e il tocco di inserire tra il materiale necessario un dado (per scegliere a caso l’elemento su cui fare pivot per far girare l’algoritmo…) è un tocco di classe. Tra gli altri algoritmi disegnati, ho trovato interessante GRÅPH SKÄN, con le tre possibilità di base (casuale, depth-first e breadth-first). La cosa che mi chiedo è fino a quanto (e quanto a lungo) si può arrivare con una visualizzazione di questo tipo. Provo a spiegarmi meglio. Non c’è nulla di male di per sé nel semplificare il funzionamento di un algoritmo: questi disegni servono per dare un’idea di come funziona e non possono certo sostituirsi a un’implementazione. Ma l’avere scelto di limitarsi a una dimensione di due facciate secondo me è davvero limitante. Prendiamo per esempio PUBLIK KEY KRYPTO, che spiega la crittografia a chiave pubblica (no, non è l’algoritmo Diffie-Hellman come avevo pensato all’inizio: i lucchetti mi avevano tratto in inganno). Spiegare in un solo schema la crittografia e le firme digitali secondo me è davvero troppo!

Ultimo aggiornamento: 2025-10-08 14:00

Se seguivate il mio vecchio blog sul Post (quando il Post aveva i blog…) sapete sicuramente della base di numerazione φ. Come in base 10 un numero come 42,5 equivale a 4×10¹ + 2×10⁰ + 5×10⁻¹, in base φ un numero come 1000.1001 equivale a φ³ + φ⁻¹ + φ ⁻⁴, che in base 10 equivale a 5. Ci sono molte rappresentazioni possibili per un numero in base φ; per convenzione si sceglie come forma canonica quella che non ha due cifre 1 consecutive (lo si può sempre fare, ricordando che $ \varphi^n + \varphi^{n+1} = \varphi^{n+2)}$).

Riguardo alla base φ, Richard Green segnala una curiosità, raccontata nel paper di Jeffrey Shallit e Ingrid Vukusic New properties of the φ-representation of integers. Consideriamo l’insieme degli interi che in base φ sono “antipalindromi”, dove cioè se c’è la cifra 1 in posizione $k$ c’è anche la cifra 1 in posizione $-k$. Per esempio, 1 è antipalindromo, perché $1_{10} = 1_{\varphi}$, e l’unica cifra 1 è in posizione 0 che è l’opposto di sé stessa; 2 non lo è, perché $2_{10} = 10,01_{\varphi}$ e anche se il numero pare simmetrico non lo è (le posizioni con 1 sono 1 e −2); 3 lo è perché $3_{10} = 100,01_{\varphi}$ e le posizioni con 1 sono la 2 e la −2. L’insieme dei numeri naturali che sono antipalindromi in base φ comincia con 1, 3, 4, 7, 8, 10, 11, 18, 19, 21, 22, 25, 26, 28, 29, 47, … e naturalmente si trova su OEIS, prendendo il nome di Vladimir Shevelev che l’ha studiato per primo nel 2010. Bene: due anni dopo Clark Kimberling si è accorto che i numeri nell’insieme di Shevelev avevano la proprietà che raddoppiando tutti gli esponenti nella sua notazione in base φ si otteneva un altro numero naturale, cosa che a prima vista non era ovvia: per esempio, 10 è $10100,0101+{\phi}$ e $10010000,00010001+{\phi}$ = 54. Allo stesso tempo, se un numero non è nell’insieme di Shevelev raddoppiando tutti gli esponenti non si ottiene un intero: per esempio 9 è $10010,0101_{\phi}$ mentre $10000100,00010001_{\phi} = (52 – \sqrt{5})_{10}$.

Bene: Shallit e Vukusic sono riusciti a dimostrare la congettura di Kinberling. La dimostrazione tra l’altro non è nemmeno troppo difficile. Hanno infatti sfruttato i numeri di Lucas (una variante dei numeri di Fibonacci, dove non si parte da {1,1} ma da {3,1} per la definizione ricorsiva) per dimostrare che i numeri antipalindromi sono tutti e soli quelli che hanno solo esponenti pari nella rappresentazione in base φ. Non so voi, ma tutto questo mi pare incredibile…

Ultimo aggiornamento: 2025-10-02 11:19

No, il maccartismo non c’entra. Questo McCarthy (John) è l’informatico che ha realizzato il Lisp, oltre che essere un pioniere dell’intelligenza artificiale. La “Funzione 91” è una funzione ricorsiva definita sugli interi in questo modo:

$$ M(n) = \left\{\begin{matrix} n – 10, & \mbox{se }n > 100\mbox{ } \\ M(M(n+11)), & \mbox{se }n \le 100\mbox{ } \end{matrix}\right. $$

Notate come la ricorsione non sia semplice, come per esempio nel caso del fattoriale che possiamo definire come $n! = n \times (n-1)!$ (e naturalmente $0! = 1$, per avere un punto in cui termina la ricorsione). Qui invece dobbiamo applicare due volte la definizione della funzione.

Chiaramente se $ n \gt 100 $ non ci sono problemi a calcolare $M(n)$: basta togliere 10. Anche per $n = 100$ facciamo in fretta: $ M(100) = M(M(100+11)) = M(M(111)) = M(101) = 91$. Il bello arriva quando proviamo a calcolare il suo valore per i numeri minori di 100. Proviamo per esempio con $ n = 42$: preparatevi a un ottovolante.

M(42) = M(M(42+11)) = M(M(53))
      = M(M(M(64))) 
      = M(M(M(M(75))))
      = M(M(M(M(M(86)))))
      = M(M(M(M(M(M(97))))))
      = M(M(M(M(M(M(M(108)))))))
      = M(M(M(M(M(M(98))))))
      = M(M(M(M(M(M(M(109)))))))
      = M(M(M(M(M(M(99))))))
      = M(M(M(M(M(M(M(110)))))))
      = M(M(M(M(M(M(100))))))
      = M(M(M(M(M(91)))))) (l'abbiamo visto sopra...)
      = M(M(M(M(M(M(102))))))
      = M(M(M(M(M(92))))))
      = M(M(M(M(M(M(103))))))
      = M(M(M(M(M(93))))))
      = M(M(M(M(M(M(104))))))
      = M(M(M(M(M(94))))))
      = M(M(M(M(M(M(105))))))
      = M(M(M(M(M(95))))))
      = M(M(M(M(M(M(106))))))
      = M(M(M(M(M(96))))))
      = M(M(M(M(M(M(107))))))
      = M(M(M(M(M(97))))))
      = M(M(M(M(M(M(108))))))

Toh. Avevamo già trovato $M(M(M(M(M(M(M(108)))))))$ con un livello di parentesi in più. Saltando un po’ di passaggi continuiamo con

M(42) =
      ...
      = M(M(M(M(M(M(M(108))))))) 
      ...
      = M(M(M(M(M(M(108))))))
      ...
      = M(M(M(M(M(108)))))
      ...
      = M(M(M(M(108))))
      ...
      = M(M(M(108)))
      ...
      = M(M(108))
      ...
      = M(98)
      = M(M(109))
      = M(99)
      = M(M(110))
      = M(100)
      = M(M(111))
      = M(101)
      = 91

È facile dimostrare per induzione (partendo dalla undicina $90 ≤ n \le 101$ e scendendo man mano di 11 in 11) che applicare $M$ a un qualunque numero intero minore di 100 porta a 91 (capito il perché del suo nome?). In pratica, la nostra funzione se ne sta piatta da meno infinito a 101, e poi diventa lineare. Strana, no?

Aggiungo solo che la funzione è usata come test per verificare i programmi automatici di verifica del software, proprio per la sua struttura così strana.

Ultimo aggiornamento: 2025-09-25 21:47

John D. Cook mostra alcuni metodi per generare punti casuali all’interno di un triangolo ABC dato. Possiamo immaginare di lavorare in coordinate cartesiane, per semplicità, e quindi avere A, B e C come coppie ordinate di valori.

Il metodo più semplice è quello di usare coordinate baricentriche: generate tre numeri casuali α, β e γ tra 0 e 1, normalizzateli per far sì che la loro somma sia 1, e date come risposta αA + βB + γC. Il metodo genera punti che stanno tutti all’interno del triangolo: ma non sono uniformi, come si vede dalla figura qui sotto presa dal blog di Cook. I punti centrali del triangolo sono più probabili di quelli vicino ai vertici.

Il secondo metodo è quello del rejection sampling. Costruite il rettangolo circoscritto al triangolo, generate due numeri casuali per la coordinata x e quella y, e controllate se il punto corrispondente sta all’interno del triangolo: se sì, bene, altrimenti lo buttate via. È evidente che in questo modo i punti generati e accettati sono distribuiti in modo casuale, perché tutti quelli nel rettangolo lo sono: il costo computazionale è di due insiemi di operazioni per numero scelto.

C’è poi un terzo metodo, quello del parallelogramma. Costruite un parallelogramma aggiungendo al triangolo una sua versione speculare, e generate punti a caso al suo interno, con la formula P = A + r₁·(B-A) + r₂·(C-A) dove r₁ e r₂ sono numeri casuali in [0,1]. Ora, se il punto generato si trova nel triangolo di partenza, e quindi r₁ + r₂ ≤ 1, bene; altrimenti prendete la sua immagine riflessa nel triangolo di partenza, usando (1-r₁, 1-r₂). Di nuovo, la casualità è assicurata. Il tutto è raccontato anche su Stack Overflow.

Quale conviene tra il secondo e il terzo metodo? Dipende. Se siete fanatici e sapete dove cercare – oppure siete molto intelligenti e l’avete trovato da soli – il parallelogramma è la scelta migliore. Ma se avete fretta di implementare una soluzione e dovete generare poche centinaia di punti il rejection sampling va più che bene: il costo è il doppio dell’altro metodo, e quindi sopportabile.

Due ultime note: nei commenti al post di Cook si fa notare come scegliere una distribuzione esponenziale anziché lineare dei numeri casuali fa funzionare anche il metodo delle coordinate baricentriche. Ma soprattutto ho provato a fare la domanda a Claude. Riporta i tre metodi (immagino perché addestrato su Stack Overflow) ma afferma che quello delle coordinate baricentiche è il metodo più elegante ed efficiente. Mai fidarsi degli LLM!

Come si può misurare la lunghezza di un arco di circonferenza? Semplice: si misura l’angolo al centro relativo e il raggio della circonferenza e si fa la proporzione, sapendo che tutta la circonferenza ha ovviamente lunghezza $2πr$.

Nel libro del 1803 di Peter Nicholson Carpenter’s New Guide viene però data una costruzione approssimata. Dato l’arco (non troppo grande) $\overset{ \huge\frown}{AB}$, si divida in quattro parti il segmento $AB$ con i punti $C_1, C_2, C_3$ come in figura. Se la circonferenza di centro $A$ che passa per $C_1$ interseca l’arco dato in $D$, allora il segmento $C_3D$ è approssimativamente lungo la metà dell’arco. Nicholson avverte che questa costruzione si può usare solo per archi inferiori a un quadrante.

In questo caso, come nel 1981 ha mostrato il matematico britannico Ian Cook, l’errore massimo che si commette è dello 0,6%, che per un carpentiere è ampiamente all’interno delle tolleranze ammesse. Il tutto senza goniometri. Niente male, no?

(fonte: Futility Closet)