Prendiamo un foglio a quadretti, e consideriamo i vertici dei quadretti (i punti di un lattice a coordinate intere, per dirlo in maniera più seria: nel seguito parlerò di punti a coordinate intere o punti del lattice.) Disegniamo ora sul foglio un cerchio. Secondo voi, il teorema “dato un numero $n$, è sempre possibile costruire un cerchio che contiene al suo interno esattamente $n$ punti a coordinate intere” è vero o falso? (Possiamo accettare o no i punti a coordinate intere sulla circonferenza, tanto è sempre possibile allargare il raggio di un $\varepsilon$ abbastanza piccolo da non toccare nessun altro punto a coordinate intere). In questo caso la dimostrazione è relativamente semplice: se troviamo un punto del piano che abbia distanza diversa da tutti i punti del lattice, possiamo costruire un cerchio di centro quel punto, e al crescere del raggio il numero di punti ivi contenuti crescerà di una singola unità per volta. Un punto simile è $P = (\sqrt 2, \frac{1}{3})$.

Come dimostrarlo? Supponiamo per assurdo che i punti distinti del lattice di coordinate $(a,b)$ e $(c,d)$ siano alla stessa distanza da $P$. Abbiamo allora per definizione

$(a-\sqrt 2)^2 + (b-\frac{1}{3})^2 = (c-\sqrt 2)^2 + (d-\frac{1}{3})^2$

Separando la parte irrazionale da quella razionale otteniamo

$2(c-a)\sqrt 2 = c^2 + d^2 – a^2 – b^2 + \frac{2}{3}(b-d)$

Poiché il secondo membro è un numero razionale, anche il primo deve esserlo; pertanto devono essere entrambi uguali a zero. Abbiamo così

$c=a; c^2 + d^2 – a^2 – b^2 + \frac{2}{3}(b-d) = 0.$

Sostituendo la prima uguaglianza nella seconda, abbiamo $d^2 – b^2 + \frac{2}{3}(b-d) = 0$, cioè

$(d-b)(d+b-\frac{2}{3}) = 0.$

Ma $b$ e $d$ sono interi, quindi il secondo fattore non può essere nullo; pertanto $d=b$. Ma allora i due punti $(a,b)$ e $(c,d)$ coincidono, il che va contro la nostra ipotesi. Pare che Hugo Steinhaus sia anche riuscito a dimostrare che è possibile trovare un cerchio di area $n$ che contiene esattamente $n$ punti a coordinate intere, ma non sono riuscito a trovare traccia di questa dimostrazione.

Passiamo ora a un problema più complicato, considerando non il cerchio ma solo la circonferenza appena costruita. È possibile che questa circonferenza non passi per nessuno dei vertici dei quadretti (i punti di un lattice a coordinate intere, per dirlo in maniera più seria). Ma a volte capita che alcuni dei punti della circonferenza abbiano coordinate intere. Per esempio, la circonferenza $x^2 + y^2 = 25$, cioè di centro l’origine e raggio 5, passa per i punti $(-5,0), (5,0), (0,-5), (0,5), (-3,-4), (-3,4), (3,-4), (3,4)$. La domanda che ora possiamo farci è “ma dato un numero $n$, riusciamo a costruire una circonferenza che passi per esattamente $n$ punti di coordinate intere?”

Se $n=1$ trovare una circonferenza simile è semplice: si prende una circonferenza di centro $(0,\frac{1}{4})$ e raggio \frac{1}{4}. Se $n=2$ è altrettanto semplice: si prende una circonferenza di centro $(0,\frac{1}{2})$ e raggio \frac{1}{2}. In figura vedete una possibile soluzione per il caso $n=4$. Ma provate a risolvere il caso $n=3$… Una dimostrazione del teorema si è avuta solo nel 1958, a opera del matematico polacco Andrzej Schinzel, e ha il pregio di essere costruttiva: se $n$ è pari e quindi $n = 2k$ allora la circonferenza cercata ha centro $(\frac{1}{2}, 0)$ e raggio $\frac{1}{2} \cdot 5^{(k-1)/2}$, mentre se $n$ è dispari e quindi $n = 2k+1$ la circonferenza ha centro $(\frac{1}{3}, 0)$ e raggio $\frac{1}{2} \cdot 5^k$.

Non scrivo la dimostrazione, che è piuttosto lunga (e la pagina di Wikipedia è troppo stringata per capirci qualcosa, tra l’altro): posso però dire che si basa su un teorema di teoria dei numeri, che non dimostrerò, che afferma che il numero $r(n)$ di soluzioni intere $(x,y)$ dell’equazione $x^2 + y^2 = n$ è quattro volte la differenza tra il numero di divisori di $n$ della forma $4h+1$ e quelli della forma $4h+3$: il numero in realtà è da dividere per due perché si contano sia $(x,y)$ che $(y,x)$.

Sono in molti a pensare che la geometria classica sia terminata con Euclide e i suoi Elementi, che hanno organizzato tutto. Questo non è affatto vero: esistono tanti teoremi, anche su figure apparentemente semplici come i triangoli, che sono stati scoperti in epoca moderna. Ma soprattutto non dobbiamo dimenticarci che in epoca ellenistica lo studio della matematica in generale e della geometria in particolare è proseguito, e si hanno molti teoremi “classici” ma non “euclidei” (anche se parliamo sempre di geometria euclidea, si intende).

Un esempio è il teorema di Tolomeo, il cui enunciato con relativa dimostrazione si trova nell’Almagesto, e che afferma che in un quadrilatero ABCD ciclico (vale a dire inscritto in una circonferenza), vale la seguente relazione:

cioè che la somma dei prodotti delle coppie di lati opposti è uguale al prodotto delle sue diagonali. Nella figura qui sopra vedete un quadrilatero ciclico con le sue diagonali, e gli angoli uguali a due a due perché angoli alla circonferenza insistenti sullo stesso raggio; quindi $ \alpha + \beta + \gamma + \delta = 180^{\circ}.$

Nel 2015 William Derrick e James Hirstein, dell’università del Montana, hanno pubblicato una dimostrazione senza parole del teorema, che vedete nella figura qui sotto. In pratica si scalano tre dei triangoli mostrati nella figura originale e li si riassemblano per formare un parallelogramma, sfruttando l’equazione sugli angoli che abbiamo appena visto. Il risultato finale è immediato. Qui trovate un video con questa dimostrazione.

Notato nulla di strano? Tolomeo non avrebbe mai usato una dimostrazione del genere, perché abbiamo scritto dei segmenti come fossero delle aree. La forza dell’algebra è anche questa: svincolarci dal significato geometrico degli elementi e considerarli come semplici numeri.

Ali Kaya mostra la quasi-uguaglianza che potete vedere qui sotto:

L’approssimazione è corretta a 42 miliardi di cifre decimali. Riuscite a immaginare da dove arrivi questa formula? Se proprio non ci riuscite, posterò un aiutino e poi la risposta: ma sono sicuro che tra i miei ventun lettori saranno in tanti a farcela.

La settimana scorsa ho parlato dei numeri di Ulam: una successione che comincia con 1,2 e continua aggiungendo man mano il più piccolo elemento che è esprimibile come somma di due elementi distinti della successione in un solo modo.

Che può fare a questo punto un matematico? Generalizzare, ovvio. Nel 2020 è stato pubblicato un articolo di Tej Bade, Kelly Cui, Antoine Labelle e Deyuan Li (supervisionati da Noah Kravitz) che hanno generalizzato al di là dei numeri naturali i numeri di Ulam. L’esempio più semplice è per l’appunto l’insieme di Ulam sull’insieme delle stringhe binarie generate da {0,1} con una regola simile, sostituendo alla somma la concatenazione. Quindi una stringa fa parte dell’insieme di Ulam se può essere generata in un unico modo come concatenazione di due altre stringhe diverse tra loro. Quindi le stringhe di lunghezza 2 sono 01 e 10 (ma non 00 e 11); quelle di lunghezza 3 sono 0.01, 01.1, 10.0 e 1.10, dove il punto serve semplicemente per distinguere le due stringhe concatenate e non fa parte della stringa in sé. Passando alle stringhe di quattro elementi abbiamo 0.001, 001.0, 0.100, 011.1, 100.0, 1.011, 110.1, 1.110. Non abbiamo 10.10 (concatenazione di due stringhe uguali) né 0011, che è la concatenazione 0.011 ma anche 001.1.

Perché si chiama insieme e non successione di Ulam generalizzata? Perché non c’è nessuna ragione specifica per dare un ordinamento tra le varie stringhe, a differenza dei numeri, e quindi è più opportuno lasciarle sotto forma di insieme. A oggi si sa ancora meno sugli insiemi di Ulam che sui numeri di Ulam. Per esempio il grafico che vedete, preso dal succitato articolo, mostra la percentuale di stringhe di lunghezza n che sono nell’insieme di Ulam. Gli autori congetturano che, proprio come per la densità dei numeri di Ulam, questa percentuale abbia un limite diverso da zero: ma in quest’altro articolo del 2024 Paul Adutwum, Hopper Clark, Ro Emerson, Alexandra Sheydvasser, Arseniy Sheydvasser, e Axelle Tougouma congetturano che essa tenda a zero proporzionalmente a $n^{-0,\!3}$.

Qualcosa si riesce però a dimostrare: per esempio, Adutwum et al. hanno mostrato che se plottiamo l’insieme dei punti $(x,y)$ per cui la stringa 111…1000…0 con $x$ elementi 1 seguiti da $x-y$ elementi 0 è una stringa di Ulam allora i punti formano un triangolo di Sierpiński discreto con in più il punto (1,1). Non ho idea di quale sia la relazione, ma indubbiamente c’è!

Ultimo aggiornamento: 2025-04-23 10:53

Stanislaw Ulam è stato un matematico novecentesco noto per aver lavorato al progetto Manhattan e avere ideato insieme a John Von Neumann il metodo Monte Carlo, che possiamo definire come “se non sai come risolvere un’equazione troppo complicata, butta tanti numeri a caso e vedi cosa succede”. Ma Ulam era uno che in genere si divertiva con i numeri, unendoli in modi diversi per vedere se capitava qualcosa di interessante. Per esempio chi come me si è bevuto tutti i libri di Martin Gardner conosce sicuramente la spirale di Ulam, che esibisce alcune particolarità dei numeri primi che paiono disporsi secondo alcune linee specifiche.

Quello che non conoscevo erano invece i numeri di Ulam, una successione di numeri che ha delle proprietà davvero strane (non diciamo interessanti per non dover sentire gli alti lai di chi afferma che di interessante non c’è nulla). I numeri di Ulam $U_n$ si definiscono ricorsivamente in questo modo: $U_1 = 1$, $U_2 = 2$, e per $k \gt 2$ abbiamo che $U_k$ è il più piccolo numero naturale che può essere espresso in un solo modo come somma di due numeri (precedenti) di Ulam distinti.

Quali sono i primi numeri di Ulam? $U_3 = 3$, perché l’unico modo di ottenerlo è scrivere 1+2. $U_4 = 4$; infatti è vero che abbiamo 4 = 1+3 = 2+2, ma gli addendi devono essere distinti e quindi la seconda somma non vale. Però $U_5 = 6$: infatti 5 = 1+4 = 2+3. Ecco l’inizio della successione, che è la A002858 in OEIS:

1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 13, 16, 18, 26, 28, 36, 38, 47, 48, 53, 57, 62, 69, 72, 77, 82, 87, 97, 99, 102, 106, 114, 126, 131, 138, 145, 148, 155, 175, 177, 180, 182, 189, 197, 206, 209, 219, 221, 236, 238, 241, 243, 253, 258, 260, 273, 282, ...

I numeri di Ulam sono infiniti, anche se al momento in cui scrivo Wikipedia in inglese ha una dimostrazione errata (poi l’aggiusterò… l’errore risale al 2010, tra l’altro), mentre quella in italiano è corretta ma convoluta. Supponiamo infatti per assurdo che essi siano un numero finito $n$, e consideriamo $U := U_{n-1} + U_n$. Poiché non può essere un numero di Ulam, deve essere esprimibile come somma di due numeri di Ulam in almeno un altro modo: ma poiché tutte le altre somme sono minori di $U$, avendo preso i due numeri più grandi possibili ci deve essere un altro numero di Ulam tra $U_n$ e $U$ che permette di arrivare a $U$ sommando un altro numero.

grafici dei primi numeri di Ulam, da https://oeis.org/A002858/graph

I numeri di Ulam hanno una distribuzione apparentemente casuale, con buchi come quello tra 155 e 175 e cluster come 238, 241, 243. Ulam congetturò che ci fossero sempre meno elementi della successione al crescere dei valori, cioè $lim_{n \to \infty} \frac{n}{U_n} = 0$, ma sperimentalmente si direbbe che la crescita di $U_n$ è lineare, con una densità di circa 0,074; o se preferite dirlo in un altro modo che $U_n \approx 13,\!51 n$. Ci sono due numeri di Ulam consecutivi, a parte gli iniziali 1, 2, 3? Sì, c’è la coppia 47-48, ma nei primi 28 miliardi di numeri non ce ne sono altri. I gap possono essere grandi a piacere? Presumibilmente sì: Donald Knuth ha notato che $U_4952 = 64420$ e $U_4953 = 64682$. In compenso, riprendendo la dimostrazione dell’infinità dei numeri di Ulam, gli unici casi sempre tra i primi 28 miliardi di numeri in cui la somma di due numeri consecutivi di Ulam è anch’essa un numero di Ulam sono 1+2 = 3 e 62+69 = 131.

i numeri di Ulam non sembrano poi così casuali (immagine di Richard Green)

Insomma, i numeri di Ulam non sembrano essere periodici. Però Richard Green racconta come nel 2015 Stefan Steinerberger ha mostrato come esista una costante $\alpha \approx 2,\!5714475$ per cui tra i primi dieci milioni di numeri di Ulam il valore di $\alpha U_n \mod 2\pi$ è quasi sempre compreso tra $\frac{\pi}{2} e \frac{3\pi}{2}$; le uniche eccezioni sono 2, 3, 47 e 69 (vi ricordano qualcosa?). Detto in altri termini, $\cos(\alpha U_n)$ è sempre negativo, tranne che nei quattro casi sopraddetti. Un comportamento simile è in genere sintomo di una periodicità che in questo caso non pare esistere, mentre per esempio c’è nella successione Ulam-like che comincia con 2 e 5 e continua con 7, 9, 11, 12, 13, 15, 19, 23, 27, 29,… Si può infatti dimostrare che se chiamiamo $U(a,b)$ una successione di Ulam generalizzata che comincia con $a$ e $b$ allora tale successione contiene solo due numeri pari, e si può dimostrare che le successioni di Ulam generalizzate con un numero finito di numeri pari sono prima o poi periodiche. In definitiva la successione dei numeri di Ulam sembra essere un mistero!

PS: un letterato che per caso sia riuscito ad arrivare fino a qua potrà deliziarsi nel sapere che Raymond Queneau scrisse il paper Sur les suites s-additives che parla proprio di successioni di questo tipo!

L’anno scorso avevo raccontato dei dadi non transitivi: una terna di dadi A, B, C con punteggi non standard sulle loro facce tali che A in media batte B, B in media batte C e C in media batte A. Avevo anche parlato dei dadi di Lake Wobegon, una terna di dadi dove ciascuno di essi batte la media degli altri due. Si può fare qualcosa di più complicato, nel caso per esempio ci siano tre giocatori e non due? La risposta è ovviamente sì, ma le cose sono appunto più complicate.

Nel 2013 James Grime scrisse un articolo in cui partendo dalla terna di dadi non transitivi di cui sopra provava per l’appunto a estendere il risultato. Per prima cosa ha costruito un insieme di tre dadi non transitivi, come in figura qui sotto:

Ho lasciato il nome inglese del colore dei dadi (e quello strano “Olive”, anche se “Green” in questo caso sarebbe comunque andato bene) perché abbiamo un ordinamento Red > Blue > Olive (> Red) dal nome più breve a quello più lungo. La cosa interessante è che se dopo un po’ di partite con quei dadi l’avversario si insospettisce potete proporre che siate voi a scegliere il primo dado; per compensare fate però due lanci anziché uno. Sembra incredibile, ma con il doppio lancio l’ordine delle probabilità si inverte: Red < Blue < Olive (< Red), anche se Red vince su Olive con una probabilità di 671/1296 che è circa il 51,7%, quindi non molto visibile con pochi lanci.

Grime però prosegue con un set di cinque dadi, mostrati qui sotto. I numeri sui dadi sono i seguenti:

Red: 4 4 4 4 4 9
Yellow: 3 3 3 3 8 8
Blue: 2 2 2 7 7 7
Magenta: 1 1 6 6 6 6
Olive: 0 5 5 5 5 5

Anche in questo caso abbiamo la catena di vantaggio “per minor lunghezza del nome”: Red > Blue > Olive > Yellow > Magenta (>Red); ma abbiamo anche una seconda catena di vantaggio “per ordine alfabetico”: Blue > Magenta > Olive > Red > Yellow (> Blue), e finalmente si riesce a capire il perché il colore è Olive e non Green. Questa doppia catena vincente potrebbe ricordarvi l’estensione del gioco carta-forbici-sasso che si chiama rock-paper-scissors-lizard-spock e che è stato anche presentato in The Big Bang Theory. La catena alfabetica è più forte, nel senso che la probabilità media di vincita è maggiore, ma se il vostro avversario subodora qualcosa potete sempre passare all’altra catena per mostrare che state “scegliendo casualmente”…

Cosa succede se lanciamo due volte il dado? La catena alfabetica resta quasi la stessa, con l’unico scambio tra Red e Olive (ma Red vince su Olive con probabilità 671/1296 quindi come nel caso dei tre dadi il margine è ristretto), mentre quella per lunghezza del nome si inverte, oltre a essere quella che mediamente ci dà più vantaggio! Questo ci permette di giocare contro due opponenti, lasciando loro la scelta e decidendo alla fine se lanciare uno o due dadi, assicurandosi un vantaggio rispetto a ciascuno dei due (non rispetto a entrambi, quello sarebbe stato pretendere troppo…) Ecco, non giocate con i vostri amici se volete che restino amici, però!

Per i curiosi, qui si trovano altre informazioni sui dadi di Grime.

Le immagini sono tratte dal sito di Grime citato nell’articolo

Abbiamo visto le prime proprietà del rapporto plastico ρ. Ma naturalmente ce ne sono molte altre. Per prima cosa, ρ è un numero morfico; per la precisione, uno dei due unici numeri morfici maggiori di 1. La nozione di numero morfico è così di nicchia che mentre scrivo non c’è nemmeno una voce di Wikipedia in inglese al riguardo: però non è poi così complicata. Prendiamo il buon vecchio rapporto aureo φ. Sappiamo che vale la formula

$ \begin{cases}\varphi\!+\!1\;=\;\varphi^{2},\\ \varphi\!-\!1\;=\;\varphi^{-1}\end{cases} $

Per il rapporto plastico vale una formula simile, anche se con esponenti diversi:

$ \begin{cases}\rho\!+\!1\;=\;\rho^{3},\\ \rho\!-\!1\;=\;\rho^{-4}\end{cases} $

In generale un numero x maggiore di 1 è morfico se sia x+1 che x−1 sono potenze di x. Questa proprietà è condivisa solo da φ e ρ e ha un interessante corollario di cui parlerò un’altra volta (devo ancora fare tutti i conti…). Per il momento, tenete solo presente che $1 +\varphi^{-1} +\varphi^{-2} =2$; inoltre $\sum_{n=0}^{13} \rho^{-n} =4$. Dalla definizione della successione di Perrin abbiamo intravisto, e magari intuito, che $\rho^{n} =\rho^{n-2} +\rho^{n-3}$; abbiamo anche $ \rho^{n} =\rho^{n-1} +\rho^{n-5} = \rho^{n-3} +\rho^{n-4} +\rho^{n-5} $.

Graficamente, il rapporto plastico ha delle interessanti proprietà. Tra l’altro, il primo a studiare questo numero intorno al 1960, riferendosi proprio all’architettura, è stato l’olandese dom Hans van der Laan: il “dom” sta appunto a indicare che era un monaco benedettino. Anch’egli ha definito una successione come quelle di Perrin e Padovan dove il rapporto tra termini successivi tende a ρ; i valori iniziali nel suo caso sono $V_1 = 0, V_0 = V_2 = 1$. Ma l’architettura non è il mio campo, quindi passo; e soprattutto ci sono proprietà più semplici.

Prendiamo per esempio un quadrato di lato unitario: come possiamo dividerlo in tre rettangoli simili? Una soluzione facile è fare tre rettangoli paralleli di lati 1 e 1/3. Una soluzione abbastanza facile è quella di fare un rettangolo di lati 1 e 2/3, e dividere la striscia rimanente in due rettangoli di lato 1/3 e 1/2. Ma c’è una terza possibilità, mostrata a destra nella figura qui sotto.

In questo caso, il rettangolo a sinistra divide il quadrato in due parti le cui aree hanno rapporto ρ, e quindi i suoi lati sono in rapporto plastico; il rapporto tra i lati del rettangolo grande e quelli del lato medio è dunque ρ, mentre quello tra i lati del rettangolo medio e del rettangolo piccolo è ρ². Sempre con i rettangoli si può costruire una spirale plastica, che assomiglia a una spirale aurea ma come vedete dalla figura spunta un po’ fuori dai rettangoli.

Non poteva poi mancare il frattale di Rauzy: poiché il rapporto plastico è vicino a 1, è difficile accorgersi che le tre figure colorate sono in rapporto ρ² : ρ : 1.

Termino con una curiosità più lessicale che altro: il raggio della sfera che circoscrive un icosidodecadodecaedro camuso di lato unitario (sì, ci sono due “dodeca” consecutivi, non è un errore di copincolla) è $\frac{1}{2} \sqrt{ \frac{2 \rho -1}{\rho -1}} $. Direi però che non ce ne facciamo molto…

Immagini da Wikimedia Commons: i rettangoli plastici sono di David Eppstein, di pubblico dominio; la spirale plastica e il frattale di Rauzy sono di Zilverspreeuw, CC-BY-SA-4.0; l’icosidodecadodecaedro camuso è di Tomruen, usando il software Stella.

Ultimo aggiornamento: 2025-04-02 11:56

Vi ho parlato – qui, qui e qui – del rapporto superaureo ψ, che è l’unica soluzione positiva dell’equazione $x^3 = x^2 + 1$. E cosa succede se prendiamo invece l’equazione $x^3 = x + 1$? Semplice: otteniamo il rapporto plastico (o numero plastico, se preferite), che si indica con ρ e vale circa 1,324717957… Ah: non traducete “plastic number” come “numero di plastica”, perché sarebbe riduttivo. L’aggettivo “plastico” in questo caso significa “che si può modellare artisticamente”.

Abbiamo una formula esplicita per ρ:

$\rho=\sqrt[3]{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}+\sqrt[3]{\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}$,

il che non è in effetti un valore bello a vedersi, ma dobbiamo accontentarci di quel che ci passa il convento. Anche lo sviluppo in frazione continua non ci dice molto: comincia infatti con [1;3,12,1,1,3,2,3,2,4,2,141,80,…] dove l’unica cosa davvero interessante è che ci si può fermare al dodicesimo livello della frazione continua, prima cioè del 141 e avere un’approssimazione molto precisa. E a proposito di approssimazioni, ρ è il più piccolo numero di Pisot-Vijayaraghavan e quindi come ricordate le sue potenze sono molto vicine a numeri interi.

Inutile dire che esiste una successione ricorsiva simile a quella di Fibonacci tale che il rapporto tra due termini successivi tenda a ρ; anzi, ce ne sono due. La più nota è probabilmente quella di Padovan (che non è un matematico italiano ma britannico), definita nel modo seguente: P(0) = P(1) = P(2) = 1, e P(n) = P(n−2) + P(n−3). La seconda è quella di Perrin (ma ne aveva già parlato Édouard Lucas), con la stessa ricorrenza ma i cui primi tre valori sono 3, 0, 2; questa successione ha un significato combinatorio. Che bisogna passare al termine tre posizioni indietro è chiaro, visto che ρ è la soluzione di un’equazione di terzo grado.

Come i numeri di Fibonacci permettono di costruire un quadrato che racchiude una spirale, capita qualcosa di simile con i numeri di Padocan che però usano triangoli equilateri anziché quadrati, formando una figura più simile a una conchiglia. In figura potete vedere tre di queste spirali.

Ci sono altre proprietà del rapporto plastico, che vi racconterò la prossima volta.

Le spirali plastiche sono di Hyacinth, da Wikimedia Commons

Ultimo aggiornamento: 2025-03-30 19:24