Nel 1958 il matematico scozzese C. Dudley Langford stava guardando suo figlio piccolo che giocava con dei cubi colorati: ne aveva presi sei e li aveva messi in fila. I matematici, si sa, sono brutte persone: invece che giocare con suo figlio, notò che c’erano tre coppie di cubi di colori diversi, rosso, azzurro e giallo. Inoltre i due cubi rossi avevano un altro cubo in mezzo, quelli azzurri due e quelli gialli tre, come nella parte in alto della figura.

Spero dopo aver mandato a dormire il bimbo, Langford da buon matematico provò a vedere se la configurazione era generalizzabile: ci riuscì con quattro coppie, e addirittura con quindici: ma alcuni casi proprio non volevano saperne di avere soluzione, e così congetturò che una soluzione era possibile solo se il numero di coppie fosse della forma $4k$ oppure $4k+3$, come è in effetti il caso: Roy O. Davies lo dimostrò l’anno successivo.

La formulazione matematica del problema di Langford chiede di trovare una successione di $n$ coppie di oggetti, denominati $a_1, a_2, … a_n, b_1, b_2, … b_n$, tali che $b_i − a_i = i + 1 \forall i = 1, …, n$. Il numero di soluzioni, quando ovviamente ci sono, cresce in maniera molto rapida, come si vede nella successione su OEIS: c’è solo una soluzione per 3 o 4 coppie di blocchi, ma per venti coppie ci sono più di 2600 miliardi di possibili soluzioni!

Quasi contemporaneamente da Langford ma in modo indipendente, Thoralf Skolem propose un problema simile, dove però le distanze tra i blocchi $b_i$ e $a_i$ non sono $ i+1$ ma semplicemente $i$. R. S. Nickerson riscoprì il problema una decina d’anni dopo, e così la versione si chiama di Skolem-Nickerson. Come si può vedere nella voce di Wikipedia, per questa versione del problema ci sono successioni solo se il numero di coppie è della forma $4k$ oppure $4k+1$. Anche in questo caso le soluzioni crescono molto rapidamente al crescere del numero di coppie.

Ci sono ancora altre curiosità su questo problema, ma ve le racconto la prossima volta…

(Immagine di RiccardoFila, da Wikimedia Commons, CC-BY-SA 4.0)

“Canta, canta tenebroso”
(Poesia gaussiana)

Benvenuti all’edizione numero 188 del Carnevale della matematica, dal tema “cos’è per voi la matematica?”
La cellula melodica fornita da Dioniso questa volta vede un tritono. Nulla di così strano, visto che il merlo “canta tenebroso”, no?

Il 188 è un numero intoccabile, non essendo la somma dei divisori propri di nessun altro numero; fa parte delle terne pitagoriche (141, 188, 235), (188, 2205, 2213), (188, 4416, 4420), (188, 8835, 8837); è un numero felice ma odioso; e infine è un numero congruente, nel senso che è l’area di un triangolo rettangolo i cui lati sono razionali. Il piccolo problema è che i cateti di questo triangolo sono una frazione di 2·14561856·2289169 e 14561856²−2289169² rispettivamente…

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Sapete bene che io il tema non lo considero mai: vediamo comunque chi e cosa ha scritto, in tema o fuori tema.

Flavio Ubaldini ci propone Zenone e il mistero della discesa infinita, l’anticipazione di un suo articolo per Nuova Lettera matematica.

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Annalisa Santi dice di essere uscita dal tema perché una mostra di ceramica raku le ha stimolato una correlazione tra il teorema di incompletezza di Gödel, l’estetica del wabi-sabi e la ceramica raku. Quindi ne è risultato un articolo per riflettere sul ruolo positivo dell’imperfezione e del limite nella verità, nella bellezza e nella creazione. Il post è Verità imperfette: wabi-sabi, Gödel e la ceramica raku.

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Mauro Merlotti ha il coraggio di ammettere che rispondere in tema alla domanda di questo carnevale non è semplice: “è un’altra di quelle cose che se non me lo chiedi lo so, ma se devo spiegarlo non sono sicuro di saper rispondere con precisione.” Ha così fatto un post che va oltre le formule e cerca di “dimostrare” identità e teoremi con il supporto di figure più o meno esplicite e chiare. Per sua natura, la trigonometria si presta bene a questo discorso. Il post è Zibaldone Scientifico: 273. Formule trigonometriche.

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Daniela Molinari di Amo la matematica ha invece scelto di restare in tema con Matematica. Come dice, “L’istinto porta ad elencare una serie di aggettivi, che possano in qualche modo racchiudere o far riconoscere la matematica. Il secondo pensiero è quello di definire la matematica attraverso il suo insieme complementare, cioè dicendo cosa la matematica non è. Mentre guardo l’una e l’altra strada, scorgo una terza via: quella che passa per le citazioni di importanti matematici e per la testa dei miei alunni, aggirandomi tra nuvole di parole nel tentativo di afferrare l’inafferrabile.”

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MaddMaths! come al solito ha tanti post di tante categorie. Prima i post fuori categoria:

⋄ Roma Math Career Day 2025, aperte le iscrizioni!
L’istituto per le applicazioni del calcolo e l’Istituto di analisi dei sistemi ed informatica del Cnr e i dipartimenti di matematica dei tre atenei romani, Sapienza, Tor Vergata e Roma Tre, in collaborazione con l’Associazione MaddMaths! ETS, dopo il successo delle precedenti edizioni, hanno deciso di organizzare anche nel 2025 il Roma Math Career Day allo scopo di mettere in contatto persone neolaureate e laureande in matematica di tutti gli atenei italiani con aziende potenzialmente interessate a reclutarli. L’evento si terrà il 18 settembre p.v. presso la sede del Cnr in via dei Taurini 19 a Roma. Scopriamo insieme di cosa si tratta e come partecipare.
⋄ Referendum: il quorum visto da un matematico
L’8 e il 9 giugno i cittadini italiani sono stati chiamati alle urne per 5 diversi referendum. Come accade per ogni referendum, si moltiplicano gli appelli: per il sì, per il no, per l’astensione. E in molti si interrogano sul quorum: è corretto fissare il quorum al 50% degli aventi diritto, quando l’affluenza alle elezioni politiche è in crollo? Alberto Saracco analizza la situazione con gli occhi del matematico e propone una possibile soluzione.
⋄ È logico fare logica a scuola? – Parte 3
Ha senso insegnare la teoria degli insiemi a scuola. E se sì, in che modo? È possibile superare la diatriba tra l’idea anacronistica di usare gli insiemi per introdurre i numeri naturali nella pratica didattica e l’odio aprioristico per l’«insiemistica»? Questo articolo è stato scritto da Luigi Bernardi e Antonio Veredice.
⋄ La scienza delle decisioni ci riguarda tutti – Verso ODS 2025
A settembre si terrà a Milano l’International Conference on Optimization and Decision Science 2025, il convegno annuale dell’Associazione Italiana di Ricerca Operativa su ottimizzazione e scienza delle decisioni. Ce lo racconta Giovanni Righini, professore ordinario di Ricerca Operativa presso il Dipartimento di Informatica dell’Università degli Studi di Milano e coordinatore del Comitato Organizzativo. Spoiler: ci saremo anche noi di MaddMaths!.
⋄ Capitan America, Erdos o Bacon… chi è meglio?
Il web ha reso familiare a tutti l’espressione “social network”, ma al prezzo di renderla un po’ ambigua. Oggi la associamo subito a piattaforme come Facebook o Instagram, dimenticando che una rete sociale è una struttura fatta di relazioni tra cose o individui. Prima di pensare ai like e alle stories, varrebbe la pena riflettere su tutte le forme di reti sociali che ci circondano: amicizie, collaborazioni, alleanze… perfino quelle tra supereroi. Massimo Martone ci racconta di un articolo recente che mette in luce alcune strutture interessanti nel mondo dei supereroi Marvel.
⋄ Un quarantesimo di millennio per i Millennium Problems
Oggi è il 25esimo anniversario dell’annuncio dei sette Millenium Problems da parte del Clay Mathematics Institute. Daniele Aurelio ci racconta di cosa si tratta.
⋄ Storie di matematiche e matematici: un nuovo podcast
Da qualche giorno è disponibile su tutte le piattaforme di podcast, la prima puntata di una nuova serie intitolata “Storie di Matematiche e Matematici”, prodotta dal Laboratorio FDS del Dipartimento di Matematica del Politecnico di Milano e in collaborazione con METID. Il Laboratorio FDS è attivo da molti anni nella formazione, divulgazione e sperimentazione didattica e con questa iniziativa, esplora i podcast come nuovo strumento per raccontare la Matematica e i suoi protagonisti. La serie è stata realizzata da Giulio Magli, Monica Conti e Annalisa Panati che ci accompagneranno attraverso le biografie di matematiche e matematici spesso non abbastanza conosciute. Abbiamo incontrato Giulio Magli, direttore del Laboratorio FDS, che ci ha raccontato la genesi e gli obiettivi del progetto.
⋄ A quite beautiful mind – un’intervista a Peter Lax (1 maggio 1926 – 16 maggio 2025)
Venerdì scorso è venuto a mancare, nella sua casa di Manhattan, il matematico Peter Lax. Aveva 99 anni. Ha studiato problemi matematici all’intersezione tra la teoria e le applicazioni, ridefinendo il modo con cui gli scienziati avrebbero usato le nuove tecnologie computazionali per risolvere problemi tecnologici, dalla progettazione di velivoli alle previsioni del tempo. Per ricordalo ripubblichiamo un’intervista raccolta a Roma da Marco Motta e Roberto Natalini, in occasione della Picone Lecture tenutasi presso la sede centrale del Cnr il 27 giugno 2007.

Passiamo ora alle rubriche, partendo con la mia Diario di un matematico non praticante: Maurizio Codogno, meglio noto in rete come .mau., racconta come lui vede la matematica, con la scusa di non doverla insegnare né crearne di nuova

⋄ Io sono un platonista riformato
Il tema di oggi è filosofico: i concetti matematici esistono? Sono veri? Più in generale, cosa sono? Le risposte sono sempre troppe.
⋄ La matematica è umanistica o scientifica?
Il tema di oggi, se la matematica sia umanistica o scientifica, può sembrare strano: chi non è matematico è convinto che la matematica non sia certo umanistica. La risposta è piuttosto spiazzante.

Storie che contano è un progetto per esplorare la matematica e le sue tantissime branche con una lente diversa: quella della scrittura.

⋄ 4) Fabrizio Lanfredi, “AM♥♥RE” è un racconto un po’ romantico e un po’ nerd.
⋄ 5) Massimo Ferri, “5cm” Massimo Ferri sfrutta un racconto epistolare di pura fantasia per fantasticare su uno dei più celebri matematici della storia: Évariste Galois, morto ventenne con una pallottola nello stomaco dopo aver passato una notte insonne a delineare la teoria con cui avrebbe rivoluzionato l’algebra dei due secoli successivi (almeno). Cosa avrebbe potuto regalare – o anticipare – all’umanità se fosse vissuto più a lungo? Proviamo a scoprirlo…

I Rudi Mathematici sono ospitati da alcuni mesi da MaddMaths!. In questo mese hanno pubblicato come al solito un po’ di materiale.

⋄ RM316, Maggio 2025, è in linea
Maggio è il mese centrale della primavera e questo RM316, il RinoMato magazine dei Rudi Mathematici, riesce comunque ad uscire nel mese giusto e accontentatevi di trovarci dentro un compleanno striminzito, una sezione di Soluzioni&Note non particolarmente voluminosa (del resto, se occupa solo quattro pagine è colpa vostra, mica nostra) e consolatevi con un Paraphernalia Mathematica pieno zeppo di figure con bastoncini e caselline. Oppure cimentatevi con i Copolimeri, come fanno Grigio e Scarabocchio. Oppure, perdindirindina, scordatevi tutto: impegni matematica lavoro traffico coffee-break palestra e riunioni convocate all’ultimo minuto, e andate a godervi la primavera. Lo sapete, vero, che è la migliore delle stagioni, se aveste voglia di andarla a cercare?
⋄ I Problemi di LeScienze – Maggio 2025 – Ghiaccio bollente
Avete mai provato a rompere le scatole alla gente chiedendo in giro quale sia, secondo loro, la differenza tra matematici e fisici? Nella loro rubrica su Le Scienze i Rudi Mathematici propongono un problema di fisica. Certo, come sempre succede con i problemi di fisica, per risolverlo serve la matematica… Voi come lo avete risolto?
⋄ Quick & Dirty – Angoli massimi
Sapete rispondere a questo problema senza cedere alla tentazione di guardare la soluzione? Avete una risposta migliore? Fatecelo sapere!

Per la sezione Didattica c’è un singolo post:
⋄ Il n. 17 di Didattica della Matematica è online
È uscito il diciassettesimo numero della rivista semestrale Didattica della matematica. Dalla ricerca alle pratiche d’aula curata dal Centro competenze didattica della matematica del Dipartimento formazione e apprendimento / Alta scuola pedagogica della SUPSI di Locarno (Svizzera). Presentiamo il sommario (con i link diretti ai relativi articoli) e a seguire l’editoriale di SIlvia Sbaragli. Buona lettura!

Un post anche per le Letture matematiche:
⋄ Rivoluzioni matematiche: il Teorema di Stokes-Cartan di Chiara de Fabritiis
Con il numero di Giugno di Le Scienze troverete in allegato il trentatreesimo dei volumi della collana dedicata ad alcuni tra i maggiori teoremi matematici. La collana è stata elaborata in collaborazione con la redazione di MaddMaths!. Questo nuovo volume è dedicato al teorema di Stokes-Cartan ed è curato da Chiara de Fabritiis.

Per La lente matematica di Marco Menale:
⋄ Specie invasive e come liberarsene
Vi è capitato di vedere delle erbacce nel vaso della painta che tanto curate? Provate a strapparle via e rieccole di nuovo spuntare poco dopo. Potrebbe trattarsi di una specie aliena! Le specie aliene competono con quelle native fino a dominare l’ambiente in cui si trovano. La matematica descrive questo processo e…suggerisce qualche soluzione.
⋄ Pioverà nel fine settimana? Chiediamolo a Marc Kac!
La pioggia ha appena rovinato il nostro weekend estivo: quado potrebbe riaccadere? Usiamo il lemma di Kac. Il lemma di Kac misura l’attesa affinché una certa situazione si ripresenti. C’entra anche la probabilità.

Infine, Le news di Stefano Pisani:
⋄ Sbagliando s’impara? Ecco la risposta della matematica
Sbagliando s’impara? Una nuova ricerca dell’École Polytechnique in Francia testato l’esattezza di questo antico adagio, arrivando a conclusioni spiazzanti.
⋄ Risolvere un cruciverba sfruttando i segreti della percolazione
Risolvendo un cruciverba, è successo almeno una volta a tutti di sentirsi bloccati per poi, improvvisamente, iniziare a procedere spediti e riempire mezza griglia in pochi secondi. Quello che succede in quel momento di svolta, secondo il fisico tedesco Alexander Hartmann, dell’Università di Oldenburg, è molto simile a ciò che in fisica si chiama “transizione di fase”: un passaggio improvviso da uno stato all’altro di un materiale che si verifica, per esempio, quando il ghiaccio si scioglie o l’acqua inizia a bollire. Ma, rispetto a questi sistemi fisici, i cruciverba potrebbero essere unici dal punto di vista matematico. Scopriamo come.

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Anche Gianluigi Filippelli ha tanto materiale.

⋄ Iniziamo con la rubrica de I rompicapi di Alice. Questo mese ecco Il fantastico mondo dei politopi che riprende alcuni dei concetti che avevo già proposto nel Ritratto di Alicia Boole.

⋄ Per i Ritratti, invece, ecco Alice Lee, la statistica che dimostrò l’assenza di correlazione tra dimensioni del cervello e facoltà intellettive.

⋄ Per Le grandi domande della vita ecco:

* Se così, allora… su alcune equazioni matematiche.
* Questioni di geometria su alcuni problemi geometrici con i triangoli.
* La spirale di Eulero curva particolare scoperta per la prima volta proprio da Eulero.

⋄ Fuori dalle rubriche abbiamo

* Il cammino di Levy che prosegue, dopo il cammino dell’elefante, il discorso sui cammini casuali.
* Di ali che flettono in cui affronto, con le opportune formule, il problema delle ali flessibili in Formula 1.
* Su un errore di Godel, breve post su un articolo che racconta di un errore (o forse di una cattiva interpretazione da parte di altri) del logico austriaco.

Gianluigi chiude i contributi provenienti da DropSea con un recensione non matematica dove però, all’interno, c’è un po’ di matematica: La giostra del maleficio di Jean Ray, una raccolta di racconti dell’orrore in cui un paio sono a tema proprio matematico!

Gli ultimi due contributi, infine, vengono da EduINAF e sono le due astrografiche Il modello copernicano (che si era scordato di segnalare all’edizione precedente) e Le leggi di Keplero che completano la serie di infografiche a fumetti dedicate ai modelli del sistema solare.

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Infine i miei post del mese, comodamente suddivisi in categorie.

Per i quizzini della domenica:
⋄ Sottostringa, che si chiede se l’insieme dei quadrati contiene in un certo senso tutti i numeri.
⋄ Stringa iniziale, che complica la vita a chi aveva risolto quello della settimana scorsa.
⋄ Medie intere, un modo per scoprire una struttura nascosta in un ordinamento.
⋄ Borsellino. Riuscite a scoprire quali monete avevo?

Per le recensioni:
⋄ A Cool Guide to Statistics and Data Science, di Leo Cremonezi, che spiega ai ragazzi delle medie i concetti di base della data science.⋄
⋄ Il teorema dell’ombrello, di Michaël Launay. Che c’entra l’ombrello con la matematica? C’entra, c’entra.
⋄ Alice e Bob. Matematica e letteratura, di Gian Italo Bischi. A dirla tutta, alcuni accostamenti mi sembrano molto forzati.
⋄ Pi greco nei triangoli (di Tartaglia e no): due successioni infinite per calcolare pi greco, una nel triangolo di Tartaglia e una con i numeri triangolari.

Per la matematica light:
⋄ Quanto un cavallo è più veloce di un re?, un risultato sulla velocità relativa di un cavallo e di un re sulla scacchiera.
⋄ Due formule matematiche: una su una disuguaglianza che ha a che fare con π ed e, una sul lato dell’eptadecagono regolare inscritto in un cerchio unitario.
⋄ Quaternioni che non ce l’hanno fatta: quartetti di numeri con regole leggermente diverse da quelle che conosciamo.

Per Povera matematica:
⋄ Spread e ignoranza – Il nostro Presidente del Consiglio dei ministri ha dei problemi con la matematica (e nessun giornale è parso accorgersene)

Su Tumblr:
⋄ una citazione di Von Neumann
⋄ un’uguaglianza matematica (costruita con un trucco)
⋄ una simpatica uguaglianza numerica.
⋄ il solito svarione di AI Overview (stavolta aritmetico)

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Ci sentiamo a settembre!

Non si direbbe che il triangolo di Tartaglia – quello dove i due lati obliqui hanno sempre il numero 1 e i numeri interni sono la somma dei due superiori – e $\pi$ (spero di non dovervi spiegare cos’è…) abbiano qualcosa a che fare. E invece se guardate il disegno qui sopra, dove sono cerchiati un numero sì e uno no su una diagonale, sommate e sottraete man mano gli inversi di quei numeri ($\frac{1}{4} – \frac{1}{20} + \frac{1}{56} – \frac{1}{120} + …$) e moltiplicate per due terzi ottenete la parte decimale di pi greco! Magia? Non proprio.

Come raccontato in Cut the Knot, Daniel Hardisky ha scoperto la formula modificando la serie infinita per pi greco costruita dal matematico cinquecentesco del Kerala Nīlakaṇṭha Somayāji. La formula in questione è

$$\pi = 3 + \frac{4}{2\cdot 3 \cdot 4} – \frac{4}{4\cdot 5 \cdot 6} + \frac{4}{6\cdot 7 \cdot 8} – …$$

Da qui si sostituiscono i 4 a numeratore con $1 \cdot 2 \cdot 3$, moltiplicando per 2/3, e ottenendo

$$ \pi = 3 + \frac{2}{3} \left( \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{2\cdot 3 \cdot 4} – \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{4\cdot 5 \cdot 6} + \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6\cdot 7 \cdot 8} – … \right) $$

che è appunto la formula cercata.

Sempre nella stessa pagina, Alexander Bogomolny presenta un altro risultato, scoperto nel 2007 da Jonas Castillo Toloza, e che ricava $\pi$ a partire dai numeri triangolari:

$$\pi – 2 = \frac{1}{1} + \frac{1}{3} – \frac{1}{6} – \frac{1}{10} + \frac{1}{15} + \frac{1}{21} – \frac{1}{28} – \frac{1}{36} + …$$

Questa formula si può dimostrare lasciando da parte il primo termine, raggruppando a quattro a quattro gli altri, facendo le somme e scoprendo che sono esattamente i termini della serie di Nīlakaṇṭha. (D’accordo, prima bisogna dimostrare che la serie è assolutamente convergente e quindi possiamo fare i giocolieri con l’ordine degli addendi… ma ve lo risparmio).

È proprio vero che $\pi$ spunta quando meno ce l’aspettiamo!

I quaternioni sono un’estensione dei numeri complessi, ideata da William Rowan Hamilton che voleva estendere alla terza dimensione le operazioni geometriche permesse sul piano dall’introduzione dei numeri complessi: dopo lunghi e infruttuosi tentativi di aggiungere una nuova unità immaginaria che rappresentasse l’asse z, il 16 ottobre 1843 ebbe l’idea risolutiva mentre passeggiava con la moglie a Dublino e passava su Brougham Bridge: occorreva anche avere una terza unità immaginaria per riuscire a far tornare i conti nel caso di moltiplicazioni. Incise così sul parapetto del ponte le formule di base per i quaternioni: (ora il ponte si chiama Broom Bridge, e al posto dell’incisione c’è una targa)

$$i^2 = j^2 = k^2 = ijk = −1$$

Ok, tecnicamente non serviva una terza unità immaginaria: Hamilton avrebbe potuto accontentarsi di $i$ e $j$, con le uguaglianze $i^2 = j^2 = -1$ e $ij = -ji$, ma evidentemente preferiva una simmetria totale. Come avete notato, passando ai quaternioni perdiamo qualcosa. Come nel caso dei numeri complessi non avevamo più un ordinamento (naturale: possiamo sempre dire che $a+bi > c+di$ se $a>c$ oppure $a=c, b>d$, ma non ce ne facciamo niente in pratica), con i quaternioni perdiamo la commutatività della moltiplicazione. Questo non dovrebbe stupirci: se i quaternioni rappresentano operazioni che si fanno nello spazio e nel particolare quelli unitari rappresentano una rotazione, sappiamo che il risultato della composizione di due rotazioni spaziali dipende dall’ordine con cui si eseguono. La cosa divertente è che come al solito in matematica non si butta mai via nulla: la moltiplicazione di due quaternioni è fondamentalmente identica all’Identità dei quattro quadrati di Eulero, che il grande matematico svizzero aveva scoperto un secolo prima…

Quello che però ho scoperto in questi giorni è che i quaternioni non sono stati l’unico modo per rappresentare l’algebra corrispondente agli spazi 3D e 4D! I primi esempi sono stati trovati da James Cockle, un altro avvocato prestato alla matematica. Nel 1848 Cockle propose i tessarini, che sono definiti dalle seguenti relazioni:

$$i j = j i = k, \quad i^2 = -1, \quad j^2 = 1$$

I tessarini sono stati creati per rappresentare seno e coseno iperbolico, ma hanno lo svantaggio di avere dei divisori dello zero, cioè due numeri non nulli tale che il loro prodotto sia zero. L’anno successivo Cockle propose così i coquaternioni, con le relazioni

$$i^2 = -1, \quad j^2 = k^2 = 1, \quad ij = k = -ji $$

Anche in questo caso però abbiamo divisori dello zero e addirittura elementi nilpotenti (che cioè elevati a una potenza sufficientemente alta danno zero.

Tutti questi tipi di numero vengono oggi visti come matrici 2×2: abbiamo per i quaternioni le unità

$$1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad
i = \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix} \qquad
j = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \qquad
k = \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix}$$

Per i tessarini valgono invece le uguaglianze

$$1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad
i = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \qquad
j = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \qquad
k = \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix}$$

Per i coquaternioni infine abbiamo

$$1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad
i = \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix} \qquad
j = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \qquad
k = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

In pratica tutte queste algebre sono casi speciali dei biquaternioni, che sono appunto algebre sulle matrici 2×2. Non potete dire che i matematici non abbiano fantasia…

Oggi mi limito a mostrarvi due formule matematiche, la prima con una dimostrazione grafica e la seconda che dovete accettare in maniera fideistica (non ho mica voglia di fare i conti!)

Senza calcolatrice, sapreste dire se è più grande e^π oppure π^e? Il trucco, come mostrato da The Math Flow, consiste nel considerare la funzione $\frac{\ln(x)}{x}$. La sua derivata è $\frac{1-\ln(x)}{x^2}$, che si annulla solo per $x = e$. Prendendo i punti di ascissa $e$ e $\pi$ sul grafico della funzione, abbiamo pertanto che $\frac{1}{e} > \frac{\ln(\pi)}{\pi}$; moltiplicando per $\pi$, abbiamo $\frac{\pi}{e} > \ln(\pi)$; prendendo l’antilogaritmo otteniamo $e^{\pi/e} > \pi$; elevando infine alla potenza $e$ ricaviamo $e^pi > \pi^e$.

Passiamo ora al primo grande risultato trovato da Gauss: la costruzione di un nuovo poligono regolare di riga e compasso, oltre a quelli già noti ai greci. Per la precisione Gauss ha trovato tutti i possibili poligoni costruibili, che hanno un numero di lati che una volta fattorizzato risulta essere una potenza di due per un prodotto di primi di Fermat. I primi di Fermat che conosciamo sono solo 3, 5, 17, 257 e 65537; triangolo e pentagono li conoscevamo, il 257-gono e il 65537-gono non sono disegnabili in pratica, e quindi resta l’eptadecagono. La formula presentata da Fermat’s Library è quella che dà il lato di un eptadecagono inscritto in un cerchio di raggio unitario:

$$\begin{align}
&\cos \left( \frac{2\pi}{17} \right) = \frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}}{16} + \\& + \frac{2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}{16}
\end{align}$$

Questo numero è chiaramente (…) costruibile con riga e compasso, perché si ottiene usando solo addizioni, moltiplicazioni ed estrazione di radice quadrata: ma vi voglio vedere ad ottenere una costruzione geometrica esplicita. Non ho idea di come Gauss sia arrivato a scoprire questa costruzione. Una cosa è però certa: Gauss è riuscito a trasformare un problema apparentemente geometrico in uno algebrico, e ha così mostrato come cambiare punto di vista può portare a risultati entusiasmanti!

Anche se non sapete giocare a scacchi, sapete sicuramente come è fatta una scacchiera, e sapete con ogni probabilità come si muove il re (una casella per volta, in orizzontale verticale o diagonale). Potreste forse avere qualche problema con la mossa di un cavallo: esso si muove infatti in un modo strano, spostandosi di una casella in una direzione e due in quella perpendicolare, indipendentemente dai pezzi che trova sul suo percorso. (Se non ve lo ricordaste, sappiate che siete in buona compagnia: anche la pratchettiana MORTE fa fatica a tenerlo a mente). Nella figura qui sotto vedete le mosse di un cavallo, e quante mosse occorrono per raggiungere una casella in un sottoinsieme di una scacchiera.

La stessa cosa per le mosse di un re appare nella figura sottostante.

Come vedete, nel caso di caselle vicine a quella di partenza può darsi che il cavallo ci metta più tempo di un re per arrivarci. Dovrebbe però essere chiaro che man mano che ci si allontana il cavallo ha un vantaggio competitivo: il re si sposta di 1 o √2 caselle, il cavallo di √5, e il costo per posizionarsi sulla casella giusta è percentualmente risibile se la distanza è molto grande. Ma quanto vale questo vantaggio competitivo? Cose si può leggere in questo annuncio dell’università di Montréal, il rapporto esatto è quasi due, o per la precisione 24/13.

L’articolo di Christian Táfula considera più in generale “ipercavalli” che si muovono di $a$ caselle in una direzione e $b$ in quella perpendicolare: il caso del normale cavallo equivale ad avere $(a,b) = (1,2)$. Come ho detto sopra, l’usuale cavallo ha una velocità di 24/13 rispetto a quella di un re. L’ipercavallo $(2,3)$ ha invece velocità 90/31, quindi quasi tre volte quella del re. Ma la cosa più incredibile, almeno per me, è calcolare il rapporto tra le due velocità, che è poco più di 1,572. Bene: se prendiamo ipercavalli $(a,b)$ e $(b,c)$, dove $a, b, c$ sono numeri di Fibonacci consecutivi, il rapporto tra le due velocità tende al rapporto aureo al crescere della grandezza dei tre numeri. Di per sé non sembrerebbe esserci una relazione di questo tipo, e invece…

Conoscete sicuramente il principio dei cassetti: se avete $n$ cassetti e volete metterci dentro $n+1$ magliette, ci sarà almeno un cassetto che conterrà due magliette (più o meno stropicciate). Immagino però che non abbiate mai sentito parlare del principio del cammello: almeno io.non lo conoscevo, anche perché probabilmente il nome l’ha inventato Tiwadar Danka, che ne parla in questo suo articolo.

Il nome del principio deriva dalla vecchia storia del beduino che in punto di morte divide i suoi diciassette cammello tra i tre figli: al maggiore ne tocca la metà, al secondogenito un terzo e al minore un nono. Quando dopo il funerale i fratelli si accingono a spartirsi i cammelli, scoprono che bisogna fare spezzatini di cammello per la suddivisione, come mostrato in figura qui sopra: e notoriamente la carne di cammello è molto stopposa e non è buona nemmeno come spezzatino. Mentre stanno litigando, passa un vecchio saggio in sella al suo cammello. Fattosi spiegare il motivo della diatriba, ci pensa su un attimo e poi dice “Nema problema! Tenetemi un attimo il cammello, e rifacciamo i conti.” I cammelli sono ora 18, e i conti tornano perfettamente: nove cammelli vanno al figlio maggiore, sei al secondo e due al terzo. Facendo la somma abbiamo 17 cammelli suddivisi tra i fratelli; il saggio saluta, si riprende il suo cammello e se ne va.

Cosa ha fatto il saggio? Ha aggiunto e poi tolto un cammello. Il principio del cammello è proprio questo: se noi sommiamo e sottraiamo la stessa quantità non modifichiamo il risultato, ma magari possiamo riarrangiare i termini per trovare una soluzione. Nel caso del racconto qui sopra in realtà c’è un trucco: il beduino aveva fatto male la suddivisione, oltre a fare parti estremamente disuguali. Infatti 1/2 + 1/3 + 1/9 = 17/18. Ecco perché i conti non tornavano! Ma ci sono altri esempi pratici. Per esempio, come si arriva alla soluzione di un’equazione di secondo grado? Noi a scuola impariamo la formula a memoria, e poi ce la dimentichiamo subito dopo. Nel mondo anglosassone la formula viene ricavata “completando il quadrato” e questa è un’applicazione del principio del cammello. Vediamo come.

Partendo dall’equazione $ax^2 + bx + c = 0$, il primo passaggio consiste nel fattorizzare $a$:

$$a \left[ x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} \right] = 0$$

Da qui ci piacerebbe avere un qualcosa della forma $(ax+r)^2$: per farlo possiamo sommare e sottrarre un cammell… ehm, il termine $b^2/4a^2$. Otteniamo dunque

$$a \left[ x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} – \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a} \right] = 0 \quad → \quad \\ a \left[ \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 – \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a} \right] = 0$$

Perché il prodotto di due termini sia nullo, almeno uno deve esserlo: ma $a \ne 0$ perché sennò l’equazione non sarebbe di secondo grado, quindi a essere nulle è il secondo,da cui abbiamo

$$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 – 4ac}{(2a)^2}$$

che ci porta rapidamente alla formula cercata.

Il secondo esempio di Danka sfrutta una variante del principio del cammello: anziché sommare e sottrarre la stessa quantità, si moltiplica e divide per la stessa quantità (non nulla, ovvio). Questa variante viene usata per ricavare la formula della derivata di una funzione composta. Sappiamo che la definizione della derivata di una funzione $f()$ nel punto $a$ è data da

$$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} $$

E se noi volessimo trovare la derivata in $a$ di $(f \circ g)()$? Riscriviamo la formula sopra:

$$ (f \circ g)'(a) = \lim_{x \to a} \frac{(f \circ g)(x)-(f \circ g)(a)}{x-a} $$

A questo punto prendiamo il nostro cammello e moltiplichiamo e dividiamo per $g(x) – g(a)$. Otteniamo

$$ (f \circ g)'(a) = \lim_{x \to a} \frac{(f \circ g)(x)-(f \circ g)(a)}{g(x) – g(a)} \frac{g(x) – g(a)}{x-a} $$

Abbiamo ora il limite di un prodotto che (sempre alle solite condizioni di esistenza) è uguale al prodotto dei limiti:

$$ (f \circ g)'(a) = \lim_{x \to a} \frac{(f \circ g)(x)-(f \circ g)(a)} {g(x) – g(a)}\lim_{x \to a} \frac{g(x) – g(a)}{x-a} $$

Ma il primo limite è $f'(g(a))$ e il secondo è $g'(a)$, da cui il risultato cercato $(f \circ g)'(a) = f'(g(a))\cdot g'(a)$.

L’unico vero problema del principio del cammello è che bisogna avere un’idea di cosa ci può servire per facilitarci la vita: ma se ricontrollate gli esempi vedete che non è poi così difficile. Anche nel secondo caso tutto quello che avevamo a disposizione era la definizione di derivata, e quindi ce la siamo cercata (senza doppi sensi). Vi vengono in mente altri casi in cui si può usare il principio del cammello?

La silhouette del cammello è presa da SVGrepo.

Prendiamo un foglio a quadretti, e consideriamo i vertici dei quadretti (i punti di un lattice a coordinate intere, per dirlo in maniera più seria: nel seguito parlerò di punti a coordinate intere o punti del lattice.) Disegniamo ora sul foglio un cerchio. Secondo voi, il teorema “dato un numero $n$, è sempre possibile costruire un cerchio che contiene al suo interno esattamente $n$ punti a coordinate intere” è vero o falso? (Possiamo accettare o no i punti a coordinate intere sulla circonferenza, tanto è sempre possibile allargare il raggio di un $\varepsilon$ abbastanza piccolo da non toccare nessun altro punto a coordinate intere). In questo caso la dimostrazione è relativamente semplice: se troviamo un punto del piano che abbia distanza diversa da tutti i punti del lattice, possiamo costruire un cerchio di centro quel punto, e al crescere del raggio il numero di punti ivi contenuti crescerà di una singola unità per volta. Un punto simile è $P = (\sqrt 2, \frac{1}{3})$.

Come dimostrarlo? Supponiamo per assurdo che i punti distinti del lattice di coordinate $(a,b)$ e $(c,d)$ siano alla stessa distanza da $P$. Abbiamo allora per definizione

$(a-\sqrt 2)^2 + (b-\frac{1}{3})^2 = (c-\sqrt 2)^2 + (d-\frac{1}{3})^2$

Separando la parte irrazionale da quella razionale otteniamo

$2(c-a)\sqrt 2 = c^2 + d^2 – a^2 – b^2 + \frac{2}{3}(b-d)$

Poiché il secondo membro è un numero razionale, anche il primo deve esserlo; pertanto devono essere entrambi uguali a zero. Abbiamo così

$c=a; c^2 + d^2 – a^2 – b^2 + \frac{2}{3}(b-d) = 0.$

Sostituendo la prima uguaglianza nella seconda, abbiamo $d^2 – b^2 + \frac{2}{3}(b-d) = 0$, cioè

$(d-b)(d+b-\frac{2}{3}) = 0.$

Ma $b$ e $d$ sono interi, quindi il secondo fattore non può essere nullo; pertanto $d=b$. Ma allora i due punti $(a,b)$ e $(c,d)$ coincidono, il che va contro la nostra ipotesi. Pare che Hugo Steinhaus sia anche riuscito a dimostrare che è possibile trovare un cerchio di area $n$ che contiene esattamente $n$ punti a coordinate intere, ma non sono riuscito a trovare traccia di questa dimostrazione.

Passiamo ora a un problema più complicato, considerando non il cerchio ma solo la circonferenza appena costruita. È possibile che questa circonferenza non passi per nessuno dei vertici dei quadretti (i punti di un lattice a coordinate intere, per dirlo in maniera più seria). Ma a volte capita che alcuni dei punti della circonferenza abbiano coordinate intere. Per esempio, la circonferenza $x^2 + y^2 = 25$, cioè di centro l’origine e raggio 5, passa per i punti $(-5,0), (5,0), (0,-5), (0,5), (-3,-4), (-3,4), (3,-4), (3,4)$. La domanda che ora possiamo farci è “ma dato un numero $n$, riusciamo a costruire una circonferenza che passi per esattamente $n$ punti di coordinate intere?”

Se $n=1$ trovare una circonferenza simile è semplice: si prende una circonferenza di centro $(0,\frac{1}{4})$ e raggio \frac{1}{4}. Se $n=2$ è altrettanto semplice: si prende una circonferenza di centro $(0,\frac{1}{2})$ e raggio \frac{1}{2}. In figura vedete una possibile soluzione per il caso $n=4$. Ma provate a risolvere il caso $n=3$… Una dimostrazione del teorema si è avuta solo nel 1958, a opera del matematico polacco Andrzej Schinzel, e ha il pregio di essere costruttiva: se $n$ è pari e quindi $n = 2k$ allora la circonferenza cercata ha centro $(\frac{1}{2}, 0)$ e raggio $\frac{1}{2} \cdot 5^{(k-1)/2}$, mentre se $n$ è dispari e quindi $n = 2k+1$ la circonferenza ha centro $(\frac{1}{3}, 0)$ e raggio $\frac{1}{2} \cdot 5^k$.

Non scrivo la dimostrazione, che è piuttosto lunga (e la pagina di Wikipedia è troppo stringata per capirci qualcosa, tra l’altro): posso però dire che si basa su un teorema di teoria dei numeri, che non dimostrerò, che afferma che il numero $r(n)$ di soluzioni intere $(x,y)$ dell’equazione $x^2 + y^2 = n$ è quattro volte la differenza tra il numero di divisori di $n$ della forma $4h+1$ e quelli della forma $4h+3$: il numero in realtà è da dividere per due perché si contano sia $(x,y)$ che $(y,x)$.