Il primo giorno in seconda liceo, il nuovo professore di matematica si è presentato dicendo a ciascuno di noi un numero di due cifre e chiedendo di fattorizzarlo (a mente, ovvio). Questo è abbastanza banale: se volete allenarvi potete andare su questo sito, dove in un minuto dovete indicare quanti più numeri primi possibile. (Ci ho provato mentre scrivevo questo post e sono cascato solo in fondo, ma era già un numero di tre cifre).

Tutto questo è però da dilettanti. Nel 2023 Hilarie Orman e Richard Schroeppel hanno preparato un manuale (mai uscito dallo stato di bozza) dal titolo “Numbers for Masochists: A Guide to Mental Factoring” che spiega come fattorizzare a mente numeri fino a 100000 (centomila, ho messo il numero corretto di zeri). Gli autori dicono subito che è una cosa essenziamente inutile, ma non si sa mai cosa uno voglia fare per perdere tempo. Alcune tecniche le conoscevo, altre (quelle per trovare fattori primi grandi, generalmente) mi erano ignote; ma credo che la parte più interessante sia quella dove gli autori raccontano la matematica che sta dietro ad alcune di queste regole mentali, soprattutto quella delle formule quadratiche. Tanto il manuale si può liberamente scaricare: potete poi decidere voi se ne vale o no la pena.

Oggi parlo brevemente di due sviluppi matematici (occhei, il secondo è più legato all’intelligenza artificiale) che hanno dato un risultato che non ci si aspettava. I due sviluppi hanno in comune che il matematico intervistato dallo Scientific American per far capire di più (hahaha) i lettori è sempre lo stesso: Ken Ono, un pezzo grosso nella teoria dei numeri, che ha condotto in prima persona il primo sviluppo e partecipato al secondo.

Il primo sviluppo parla di una definizione dei numeri primi. A scuola ci hanno insegnato che un numero è primo se non ha divisori propri. (Il numero stesso e 1 sono divisori impropri: così ci togliamo una volta per tutte il commento “ma perché 1 non è considerato primo?”). Quello che Ono ha scoperto, insieme a William Craig e Jan-Willem van Ittersum, è una definizione alternativa di numero primo che non parla di divisioni, ma si basa sulle partizioni di un numero. Una partizione di un numero naturale n è semplicemente un modo di suddividerlo in parti (sempre numeri naturali) che una volta sommate tra di loro danno il numero di partenza. Per esempio ci sono 11 partizioni di 6: (1,1,1,1,1,1), (2,1,1,1,1), (2,2,1,1), (2,2,2), (3,1,1,1), (3,2,1), (3,3), (4,1,1), (4,2), (5,1), (6). Ordunque, Ono e i suoi colleghi hanno dimostrato che esistono infinite funzioni legate alle partizioni che permettono di dire se un numero è primo. Se per esempio prendiamo un numero n e calcoliamo

$$(3n^3−13n^2+18n−8)M_1(n)+(12n^2−120n+212)M_2(n)−960M_3(n)$$

dove le $M_i$ sono le funzioni di partizione di MacMahon, che sono abbastanza note a chi lavora sulle partizioni, otterremo zero se e solo se n è un numero primo. A che serve tutto questo? Da un punto di vista pratico, a nulla. Calcolare le $M_i$ è molto più complicato di fattorizzare un numero, che è già un compito non banale. Insomma, se vi stavate preoccupando che gli algoritmi di crittografia basati sulla difficoltà di fattorizzazione fossero da buttare via potete dormire sonni tranquilli. Quello che è importante, però, è avere trovato una correlazione tra due campi della matematica apparentemente slegati tra di loro: e si sa che in questi casi da cosa nasce cosa.

Il secondo sviluppo vede invece una versione di o4-mini (il modello più recente di OpenAI) addestrato esplicitamente su problemi di teoria dei numeri. Un gruppo di matematici, ancora una volta guidato da Ono, ha preparato un insieme di domande “difficili” e su cui non dovevano esserci esempi risolti in letteratura, tanto che i matematici non solo hanno firmato un NDA ma è stato loro imposto di usare Signal per comunicare tra di loro, in modo che non potessero esserci fuoriuscite di dadi. Secondo Ono, anche se alla fine i trenta matematici hanno trovato dieci domande a cui il modello non ha saputo rispondere, i progressi dell’IA sono stati incredibili. Ono racconta di un problema aperto di teoria dei numeri che è stato risolto in una decina di minuti, con il modello che termina l’esposizione con “Non è necessaria la citazione perché il numero misterioso è stato calcolato da me!” Come ha commentato Yang Hui He, “C’è la dimostrazione per induzione, la dimostrazione per contraddizione e la dimostrazione per intimidazione. Se dici qualcosa con sufficiente autorità, la gente s’intimorisce. Penso che o4-mini abbia imparato la dimostrazione per intimidazione: afferma tutto con grande sicurezza”. Non ho visto le domande, e anche se le avessi viste non penso che le avrei capite, o se per questo avrei capito l’output del modello – no, non lo chiamo “ragionamento”. La mia idea è che in un certo senso il risultato sia combinatorio: è vero che non esiste un testo specifico da copiare per trovare la risposta, ma le tecniche sono comunque standard e quindi gli esempi trovati in letteratura sono utilizzabili da un sistema automatico per costruire la risposta. Un livello superiore e una velocità molto maggiore rispetto a quello che facevo io all’università nel risolvere gli esercizi di algebra, ma la logica è ancora la stessa.

Ultimo aggiornamento: 2025-07-02 11:39

La scorsa settimana avevo presentato il problema di Langford: mettere in fila $2n$ coppie di numeri da $1$ a $n$ in modo che tra i due numeri $i$ ci siano esattamente $i$ altri numeri. Per $n=3$ e $n=4$ le soluzioni (essenzialmente uniche) sono rispettivamente 3-1-2-1-3-2 e 4-1-3-1-2-4-3-2. Ho anche detto che una soluzione era possibile solo se il numero di coppie era della forma $4k$ oppure $4k+3$, come è stato dimostrato da Roy O. Davies. La dimostrazione è molto semplice: eccola qua.

Numeriamo da $1$ a $2n$ i numeri dell’elenco, e per ciascun numero $k \in {1, … n}$ consideriamo le due posizioni $P_k < Q_k$ dei due numeri nell'elenco. Nel caso $n=3$ abbiamo per esempio $P_1 = 2, Q_1 = 4, P_2 = 3, Q_2 = 6, P_3 = 1, Q_3 = 5.$ Chiaramente abbiamo $Q_k = P_k + k + 1$ per definizione di coppia $k$. La somma di tutti questi valori è $\sum_{k=1}^{n} (2P_k + k + 1) = 2\sum_{k=1}^{n} P_k + n + n(n+1)\!/\!2$, ma visto che sono i valori da $i$ a $2n$ sappiamo che la somma è anche $n(2n+1).$ Poiché la somma dei $P_k$ è evidentemente un numero intero, ci accorgiamo subito che se $n = 4q + 1$ oppure $n = 4q +2$ abbiamo che gli altri termini danno una somma frazionaria e quindi non ci sono soluzioni. □ Questo è un risultato negativo, nel senso che ci dice quando non si può risolvere il problema ma non quando lo si può fare. Però le soluzioni negli altri casi sono tantissime, a parte quella unica nei casi visti sopra. Davies pensava che per $n=7$ ci fossero 25 soluzioni, e Martin Gardner nel 1967 riportò quel valore: in realtà ce ne sono 26. John Miller, come scrive nel suo sito, programmò un computer nel 1968 e trovò le 26 soluzioni per $n=7$ e le 150 per $n=8$. (Due persone riuscirono a trovare tutte le soluzioni nel primo caso a mano…). E.J. Groth ottenne anche il numero di soluzioni per $n=11$ (17792) e $n=12$ (108144). Altri valori si possono trovare come sempre su OEIS: quelli per 15 e 16 sono stati computati negli anni ’80; il 19 nel 1999, il 20 nel 2002, il 23 nel 2004, il 24 nel 2005, il 27 e il 28 nel 2015… e poi non si sa più. Del resto, le soluzioni per $n=28$ sono 1607383260609382393152, diciamo parecchie!

Si può anche decidere di accettare solo le soluzioni “planari” al problema, nel senso che i numeri uguali si possono connettere tra loro e ottenere un grafo planare. La soluzione generale per $n=3$ è planare, quella per $n=4$ e quelle per $n=7$ non lo sono, ci sono quattro soluzioni planari per $n=8$ e così via. Come al solito, OEIS ha la successione. C’è poi la “variante Tanton”, da James Tanton: in questo caso ci sono $n$ studenti seduti in circolo, e si chiede che si può dare un numero da 1 a $n$ agli studenti in modo tale che se lo studente $k$ si sposta di $k$ posti in senso orario (quindi quello $n$ non si sposta…) alla fine non ci sia nessuno seduto sulle ginocchia di un altro. In questo caso si può dimostrare con semplici sistemi di parità che il numero di studenti deve essere dispari: stranamente la successione dei possibili valori (0, 0, 1, 0, 3, 0, 19, 0, 225, 0, 3441, 0, 79259, 0, 2424195…) non si trova su OEIS!

Ultimo aggiornamento: 2025-06-25 20:07

Nel 1958 il matematico scozzese C. Dudley Langford stava guardando suo figlio piccolo che giocava con dei cubi colorati: ne aveva presi sei e li aveva messi in fila. I matematici, si sa, sono brutte persone: invece che giocare con suo figlio, notò che c’erano tre coppie di cubi di colori diversi, rosso, azzurro e giallo. Inoltre i due cubi rossi avevano un altro cubo in mezzo, quelli azzurri due e quelli gialli tre, come nella parte in alto della figura.

Spero dopo aver mandato a dormire il bimbo, Langford da buon matematico provò a vedere se la configurazione era generalizzabile: ci riuscì con quattro coppie, e addirittura con quindici: ma alcuni casi proprio non volevano saperne di avere soluzione, e così congetturò che una soluzione era possibile solo se il numero di coppie fosse della forma $4k$ oppure $4k+3$, come è in effetti il caso: Roy O. Davies lo dimostrò l’anno successivo.

La formulazione matematica del problema di Langford chiede di trovare una successione di $n$ coppie di oggetti, denominati $a_1, a_2, … a_n, b_1, b_2, … b_n$, tali che $b_i − a_i = i + 1 \forall i = 1, …, n$. Il numero di soluzioni, quando ovviamente ci sono, cresce in maniera molto rapida, come si vede nella successione su OEIS: c’è solo una soluzione per 3 o 4 coppie di blocchi, ma per venti coppie ci sono più di 2600 miliardi di possibili soluzioni!

Quasi contemporaneamente da Langford ma in modo indipendente, Thoralf Skolem propose un problema simile, dove però le distanze tra i blocchi $b_i$ e $a_i$ non sono $ i+1$ ma semplicemente $i$. R. S. Nickerson riscoprì il problema una decina d’anni dopo, e così la versione si chiama di Skolem-Nickerson. Come si può vedere nella voce di Wikipedia, per questa versione del problema ci sono successioni solo se il numero di coppie è della forma $4k$ oppure $4k+1$. Anche in questo caso le soluzioni crescono molto rapidamente al crescere del numero di coppie.

Ci sono ancora altre curiosità su questo problema, ma ve le racconto la prossima volta…

(Immagine di RiccardoFila, da Wikimedia Commons, CC-BY-SA 4.0)

“Canta, canta tenebroso”
(Poesia gaussiana)

Benvenuti all’edizione numero 188 del Carnevale della matematica, dal tema “cos’è per voi la matematica?”
La cellula melodica fornita da Dioniso questa volta vede un tritono. Nulla di così strano, visto che il merlo “canta tenebroso”, no?

Il 188 è un numero intoccabile, non essendo la somma dei divisori propri di nessun altro numero; fa parte delle terne pitagoriche (141, 188, 235), (188, 2205, 2213), (188, 4416, 4420), (188, 8835, 8837); è un numero felice ma odioso; e infine è un numero congruente, nel senso che è l’area di un triangolo rettangolo i cui lati sono razionali. Il piccolo problema è che i cateti di questo triangolo sono una frazione di 2·14561856·2289169 e 14561856²−2289169² rispettivamente…

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Sapete bene che io il tema non lo considero mai: vediamo comunque chi e cosa ha scritto, in tema o fuori tema.

Flavio Ubaldini ci propone Zenone e il mistero della discesa infinita, l’anticipazione di un suo articolo per Nuova Lettera matematica.

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Annalisa Santi dice di essere uscita dal tema perché una mostra di ceramica raku le ha stimolato una correlazione tra il teorema di incompletezza di Gödel, l’estetica del wabi-sabi e la ceramica raku. Quindi ne è risultato un articolo per riflettere sul ruolo positivo dell’imperfezione e del limite nella verità, nella bellezza e nella creazione. Il post è Verità imperfette: wabi-sabi, Gödel e la ceramica raku.

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Mauro Merlotti ha il coraggio di ammettere che rispondere in tema alla domanda di questo carnevale non è semplice: “è un’altra di quelle cose che se non me lo chiedi lo so, ma se devo spiegarlo non sono sicuro di saper rispondere con precisione.” Ha così fatto un post che va oltre le formule e cerca di “dimostrare” identità e teoremi con il supporto di figure più o meno esplicite e chiare. Per sua natura, la trigonometria si presta bene a questo discorso. Il post è Zibaldone Scientifico: 273. Formule trigonometriche.

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Daniela Molinari di Amo la matematica ha invece scelto di restare in tema con Matematica. Come dice, “L’istinto porta ad elencare una serie di aggettivi, che possano in qualche modo racchiudere o far riconoscere la matematica. Il secondo pensiero è quello di definire la matematica attraverso il suo insieme complementare, cioè dicendo cosa la matematica non è. Mentre guardo l’una e l’altra strada, scorgo una terza via: quella che passa per le citazioni di importanti matematici e per la testa dei miei alunni, aggirandomi tra nuvole di parole nel tentativo di afferrare l’inafferrabile.”

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MaddMaths! come al solito ha tanti post di tante categorie. Prima i post fuori categoria:

⋄ Roma Math Career Day 2025, aperte le iscrizioni!
L’istituto per le applicazioni del calcolo e l’Istituto di analisi dei sistemi ed informatica del Cnr e i dipartimenti di matematica dei tre atenei romani, Sapienza, Tor Vergata e Roma Tre, in collaborazione con l’Associazione MaddMaths! ETS, dopo il successo delle precedenti edizioni, hanno deciso di organizzare anche nel 2025 il Roma Math Career Day allo scopo di mettere in contatto persone neolaureate e laureande in matematica di tutti gli atenei italiani con aziende potenzialmente interessate a reclutarli. L’evento si terrà il 18 settembre p.v. presso la sede del Cnr in via dei Taurini 19 a Roma. Scopriamo insieme di cosa si tratta e come partecipare.
⋄ Referendum: il quorum visto da un matematico
L’8 e il 9 giugno i cittadini italiani sono stati chiamati alle urne per 5 diversi referendum. Come accade per ogni referendum, si moltiplicano gli appelli: per il sì, per il no, per l’astensione. E in molti si interrogano sul quorum: è corretto fissare il quorum al 50% degli aventi diritto, quando l’affluenza alle elezioni politiche è in crollo? Alberto Saracco analizza la situazione con gli occhi del matematico e propone una possibile soluzione.
⋄ È logico fare logica a scuola? – Parte 3
Ha senso insegnare la teoria degli insiemi a scuola. E se sì, in che modo? È possibile superare la diatriba tra l’idea anacronistica di usare gli insiemi per introdurre i numeri naturali nella pratica didattica e l’odio aprioristico per l’«insiemistica»? Questo articolo è stato scritto da Luigi Bernardi e Antonio Veredice.
⋄ La scienza delle decisioni ci riguarda tutti – Verso ODS 2025
A settembre si terrà a Milano l’International Conference on Optimization and Decision Science 2025, il convegno annuale dell’Associazione Italiana di Ricerca Operativa su ottimizzazione e scienza delle decisioni. Ce lo racconta Giovanni Righini, professore ordinario di Ricerca Operativa presso il Dipartimento di Informatica dell’Università degli Studi di Milano e coordinatore del Comitato Organizzativo. Spoiler: ci saremo anche noi di MaddMaths!.
⋄ Capitan America, Erdos o Bacon… chi è meglio?
Il web ha reso familiare a tutti l’espressione “social network”, ma al prezzo di renderla un po’ ambigua. Oggi la associamo subito a piattaforme come Facebook o Instagram, dimenticando che una rete sociale è una struttura fatta di relazioni tra cose o individui. Prima di pensare ai like e alle stories, varrebbe la pena riflettere su tutte le forme di reti sociali che ci circondano: amicizie, collaborazioni, alleanze… perfino quelle tra supereroi. Massimo Martone ci racconta di un articolo recente che mette in luce alcune strutture interessanti nel mondo dei supereroi Marvel.
⋄ Un quarantesimo di millennio per i Millennium Problems
Oggi è il 25esimo anniversario dell’annuncio dei sette Millenium Problems da parte del Clay Mathematics Institute. Daniele Aurelio ci racconta di cosa si tratta.
⋄ Storie di matematiche e matematici: un nuovo podcast
Da qualche giorno è disponibile su tutte le piattaforme di podcast, la prima puntata di una nuova serie intitolata “Storie di Matematiche e Matematici”, prodotta dal Laboratorio FDS del Dipartimento di Matematica del Politecnico di Milano e in collaborazione con METID. Il Laboratorio FDS è attivo da molti anni nella formazione, divulgazione e sperimentazione didattica e con questa iniziativa, esplora i podcast come nuovo strumento per raccontare la Matematica e i suoi protagonisti. La serie è stata realizzata da Giulio Magli, Monica Conti e Annalisa Panati che ci accompagneranno attraverso le biografie di matematiche e matematici spesso non abbastanza conosciute. Abbiamo incontrato Giulio Magli, direttore del Laboratorio FDS, che ci ha raccontato la genesi e gli obiettivi del progetto.
⋄ A quite beautiful mind – un’intervista a Peter Lax (1 maggio 1926 – 16 maggio 2025)
Venerdì scorso è venuto a mancare, nella sua casa di Manhattan, il matematico Peter Lax. Aveva 99 anni. Ha studiato problemi matematici all’intersezione tra la teoria e le applicazioni, ridefinendo il modo con cui gli scienziati avrebbero usato le nuove tecnologie computazionali per risolvere problemi tecnologici, dalla progettazione di velivoli alle previsioni del tempo. Per ricordalo ripubblichiamo un’intervista raccolta a Roma da Marco Motta e Roberto Natalini, in occasione della Picone Lecture tenutasi presso la sede centrale del Cnr il 27 giugno 2007.

Passiamo ora alle rubriche, partendo con la mia Diario di un matematico non praticante: Maurizio Codogno, meglio noto in rete come .mau., racconta come lui vede la matematica, con la scusa di non doverla insegnare né crearne di nuova

⋄ Io sono un platonista riformato
Il tema di oggi è filosofico: i concetti matematici esistono? Sono veri? Più in generale, cosa sono? Le risposte sono sempre troppe.
⋄ La matematica è umanistica o scientifica?
Il tema di oggi, se la matematica sia umanistica o scientifica, può sembrare strano: chi non è matematico è convinto che la matematica non sia certo umanistica. La risposta è piuttosto spiazzante.

Storie che contano è un progetto per esplorare la matematica e le sue tantissime branche con una lente diversa: quella della scrittura.

⋄ 4) Fabrizio Lanfredi, “AM♥♥RE” è un racconto un po’ romantico e un po’ nerd.
⋄ 5) Massimo Ferri, “5cm” Massimo Ferri sfrutta un racconto epistolare di pura fantasia per fantasticare su uno dei più celebri matematici della storia: Évariste Galois, morto ventenne con una pallottola nello stomaco dopo aver passato una notte insonne a delineare la teoria con cui avrebbe rivoluzionato l’algebra dei due secoli successivi (almeno). Cosa avrebbe potuto regalare – o anticipare – all’umanità se fosse vissuto più a lungo? Proviamo a scoprirlo…

I Rudi Mathematici sono ospitati da alcuni mesi da MaddMaths!. In questo mese hanno pubblicato come al solito un po’ di materiale.

⋄ RM316, Maggio 2025, è in linea
Maggio è il mese centrale della primavera e questo RM316, il RinoMato magazine dei Rudi Mathematici, riesce comunque ad uscire nel mese giusto e accontentatevi di trovarci dentro un compleanno striminzito, una sezione di Soluzioni&Note non particolarmente voluminosa (del resto, se occupa solo quattro pagine è colpa vostra, mica nostra) e consolatevi con un Paraphernalia Mathematica pieno zeppo di figure con bastoncini e caselline. Oppure cimentatevi con i Copolimeri, come fanno Grigio e Scarabocchio. Oppure, perdindirindina, scordatevi tutto: impegni matematica lavoro traffico coffee-break palestra e riunioni convocate all’ultimo minuto, e andate a godervi la primavera. Lo sapete, vero, che è la migliore delle stagioni, se aveste voglia di andarla a cercare?
⋄ I Problemi di LeScienze – Maggio 2025 – Ghiaccio bollente
Avete mai provato a rompere le scatole alla gente chiedendo in giro quale sia, secondo loro, la differenza tra matematici e fisici? Nella loro rubrica su Le Scienze i Rudi Mathematici propongono un problema di fisica. Certo, come sempre succede con i problemi di fisica, per risolverlo serve la matematica… Voi come lo avete risolto?
⋄ Quick & Dirty – Angoli massimi
Sapete rispondere a questo problema senza cedere alla tentazione di guardare la soluzione? Avete una risposta migliore? Fatecelo sapere!

Per la sezione Didattica c’è un singolo post:
⋄ Il n. 17 di Didattica della Matematica è online
È uscito il diciassettesimo numero della rivista semestrale Didattica della matematica. Dalla ricerca alle pratiche d’aula curata dal Centro competenze didattica della matematica del Dipartimento formazione e apprendimento / Alta scuola pedagogica della SUPSI di Locarno (Svizzera). Presentiamo il sommario (con i link diretti ai relativi articoli) e a seguire l’editoriale di SIlvia Sbaragli. Buona lettura!

Un post anche per le Letture matematiche:
⋄ Rivoluzioni matematiche: il Teorema di Stokes-Cartan di Chiara de Fabritiis
Con il numero di Giugno di Le Scienze troverete in allegato il trentatreesimo dei volumi della collana dedicata ad alcuni tra i maggiori teoremi matematici. La collana è stata elaborata in collaborazione con la redazione di MaddMaths!. Questo nuovo volume è dedicato al teorema di Stokes-Cartan ed è curato da Chiara de Fabritiis.

Per La lente matematica di Marco Menale:
⋄ Specie invasive e come liberarsene
Vi è capitato di vedere delle erbacce nel vaso della painta che tanto curate? Provate a strapparle via e rieccole di nuovo spuntare poco dopo. Potrebbe trattarsi di una specie aliena! Le specie aliene competono con quelle native fino a dominare l’ambiente in cui si trovano. La matematica descrive questo processo e…suggerisce qualche soluzione.
⋄ Pioverà nel fine settimana? Chiediamolo a Marc Kac!
La pioggia ha appena rovinato il nostro weekend estivo: quado potrebbe riaccadere? Usiamo il lemma di Kac. Il lemma di Kac misura l’attesa affinché una certa situazione si ripresenti. C’entra anche la probabilità.

Infine, Le news di Stefano Pisani:
⋄ Sbagliando s’impara? Ecco la risposta della matematica
Sbagliando s’impara? Una nuova ricerca dell’École Polytechnique in Francia testato l’esattezza di questo antico adagio, arrivando a conclusioni spiazzanti.
⋄ Risolvere un cruciverba sfruttando i segreti della percolazione
Risolvendo un cruciverba, è successo almeno una volta a tutti di sentirsi bloccati per poi, improvvisamente, iniziare a procedere spediti e riempire mezza griglia in pochi secondi. Quello che succede in quel momento di svolta, secondo il fisico tedesco Alexander Hartmann, dell’Università di Oldenburg, è molto simile a ciò che in fisica si chiama “transizione di fase”: un passaggio improvviso da uno stato all’altro di un materiale che si verifica, per esempio, quando il ghiaccio si scioglie o l’acqua inizia a bollire. Ma, rispetto a questi sistemi fisici, i cruciverba potrebbero essere unici dal punto di vista matematico. Scopriamo come.

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Anche Gianluigi Filippelli ha tanto materiale.

⋄ Iniziamo con la rubrica de I rompicapi di Alice. Questo mese ecco Il fantastico mondo dei politopi che riprende alcuni dei concetti che avevo già proposto nel Ritratto di Alicia Boole.

⋄ Per i Ritratti, invece, ecco Alice Lee, la statistica che dimostrò l’assenza di correlazione tra dimensioni del cervello e facoltà intellettive.

⋄ Per Le grandi domande della vita ecco:

* Se così, allora… su alcune equazioni matematiche.
* Questioni di geometria su alcuni problemi geometrici con i triangoli.
* La spirale di Eulero curva particolare scoperta per la prima volta proprio da Eulero.

⋄ Fuori dalle rubriche abbiamo

* Il cammino di Levy che prosegue, dopo il cammino dell’elefante, il discorso sui cammini casuali.
* Di ali che flettono in cui affronto, con le opportune formule, il problema delle ali flessibili in Formula 1.
* Su un errore di Godel, breve post su un articolo che racconta di un errore (o forse di una cattiva interpretazione da parte di altri) del logico austriaco.

Gianluigi chiude i contributi provenienti da DropSea con un recensione non matematica dove però, all’interno, c’è un po’ di matematica: La giostra del maleficio di Jean Ray, una raccolta di racconti dell’orrore in cui un paio sono a tema proprio matematico!

Gli ultimi due contributi, infine, vengono da EduINAF e sono le due astrografiche Il modello copernicano (che si era scordato di segnalare all’edizione precedente) e Le leggi di Keplero che completano la serie di infografiche a fumetti dedicate ai modelli del sistema solare.

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Infine i miei post del mese, comodamente suddivisi in categorie.

Per i quizzini della domenica:
⋄ Sottostringa, che si chiede se l’insieme dei quadrati contiene in un certo senso tutti i numeri.
⋄ Stringa iniziale, che complica la vita a chi aveva risolto quello della settimana scorsa.
⋄ Medie intere, un modo per scoprire una struttura nascosta in un ordinamento.
⋄ Borsellino. Riuscite a scoprire quali monete avevo?

Per le recensioni:
⋄ A Cool Guide to Statistics and Data Science, di Leo Cremonezi, che spiega ai ragazzi delle medie i concetti di base della data science.⋄
⋄ Il teorema dell’ombrello, di Michaël Launay. Che c’entra l’ombrello con la matematica? C’entra, c’entra.
⋄ Alice e Bob. Matematica e letteratura, di Gian Italo Bischi. A dirla tutta, alcuni accostamenti mi sembrano molto forzati.
⋄ Pi greco nei triangoli (di Tartaglia e no): due successioni infinite per calcolare pi greco, una nel triangolo di Tartaglia e una con i numeri triangolari.

Per la matematica light:
⋄ Quanto un cavallo è più veloce di un re?, un risultato sulla velocità relativa di un cavallo e di un re sulla scacchiera.
⋄ Due formule matematiche: una su una disuguaglianza che ha a che fare con π ed e, una sul lato dell’eptadecagono regolare inscritto in un cerchio unitario.
⋄ Quaternioni che non ce l’hanno fatta: quartetti di numeri con regole leggermente diverse da quelle che conosciamo.

Per Povera matematica:
⋄ Spread e ignoranza – Il nostro Presidente del Consiglio dei ministri ha dei problemi con la matematica (e nessun giornale è parso accorgersene)

Su Tumblr:
⋄ una citazione di Von Neumann
⋄ un’uguaglianza matematica (costruita con un trucco)
⋄ una simpatica uguaglianza numerica.
⋄ il solito svarione di AI Overview (stavolta aritmetico)

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Ci sentiamo a settembre!

Non si direbbe che il triangolo di Tartaglia – quello dove i due lati obliqui hanno sempre il numero 1 e i numeri interni sono la somma dei due superiori – e $\pi$ (spero di non dovervi spiegare cos’è…) abbiano qualcosa a che fare. E invece se guardate il disegno qui sopra, dove sono cerchiati un numero sì e uno no su una diagonale, sommate e sottraete man mano gli inversi di quei numeri ($\frac{1}{4} – \frac{1}{20} + \frac{1}{56} – \frac{1}{120} + …$) e moltiplicate per due terzi ottenete la parte decimale di pi greco! Magia? Non proprio.

Come raccontato in Cut the Knot, Daniel Hardisky ha scoperto la formula modificando la serie infinita per pi greco costruita dal matematico cinquecentesco del Kerala Nīlakaṇṭha Somayāji. La formula in questione è

$$\pi = 3 + \frac{4}{2\cdot 3 \cdot 4} – \frac{4}{4\cdot 5 \cdot 6} + \frac{4}{6\cdot 7 \cdot 8} – …$$

Da qui si sostituiscono i 4 a numeratore con $1 \cdot 2 \cdot 3$, moltiplicando per 2/3, e ottenendo

$$ \pi = 3 + \frac{2}{3} \left( \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{2\cdot 3 \cdot 4} – \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{4\cdot 5 \cdot 6} + \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6\cdot 7 \cdot 8} – … \right) $$

che è appunto la formula cercata.

Sempre nella stessa pagina, Alexander Bogomolny presenta un altro risultato, scoperto nel 2007 da Jonas Castillo Toloza, e che ricava $\pi$ a partire dai numeri triangolari:

$$\pi – 2 = \frac{1}{1} + \frac{1}{3} – \frac{1}{6} – \frac{1}{10} + \frac{1}{15} + \frac{1}{21} – \frac{1}{28} – \frac{1}{36} + …$$

Questa formula si può dimostrare lasciando da parte il primo termine, raggruppando a quattro a quattro gli altri, facendo le somme e scoprendo che sono esattamente i termini della serie di Nīlakaṇṭha. (D’accordo, prima bisogna dimostrare che la serie è assolutamente convergente e quindi possiamo fare i giocolieri con l’ordine degli addendi… ma ve lo risparmio).

È proprio vero che $\pi$ spunta quando meno ce l’aspettiamo!

I quaternioni sono un’estensione dei numeri complessi, ideata da William Rowan Hamilton che voleva estendere alla terza dimensione le operazioni geometriche permesse sul piano dall’introduzione dei numeri complessi: dopo lunghi e infruttuosi tentativi di aggiungere una nuova unità immaginaria che rappresentasse l’asse z, il 16 ottobre 1843 ebbe l’idea risolutiva mentre passeggiava con la moglie a Dublino e passava su Brougham Bridge: occorreva anche avere una terza unità immaginaria per riuscire a far tornare i conti nel caso di moltiplicazioni. Incise così sul parapetto del ponte le formule di base per i quaternioni: (ora il ponte si chiama Broom Bridge, e al posto dell’incisione c’è una targa)

$$i^2 = j^2 = k^2 = ijk = −1$$

Ok, tecnicamente non serviva una terza unità immaginaria: Hamilton avrebbe potuto accontentarsi di $i$ e $j$, con le uguaglianze $i^2 = j^2 = -1$ e $ij = -ji$, ma evidentemente preferiva una simmetria totale. Come avete notato, passando ai quaternioni perdiamo qualcosa. Come nel caso dei numeri complessi non avevamo più un ordinamento (naturale: possiamo sempre dire che $a+bi > c+di$ se $a>c$ oppure $a=c, b>d$, ma non ce ne facciamo niente in pratica), con i quaternioni perdiamo la commutatività della moltiplicazione. Questo non dovrebbe stupirci: se i quaternioni rappresentano operazioni che si fanno nello spazio e nel particolare quelli unitari rappresentano una rotazione, sappiamo che il risultato della composizione di due rotazioni spaziali dipende dall’ordine con cui si eseguono. La cosa divertente è che come al solito in matematica non si butta mai via nulla: la moltiplicazione di due quaternioni è fondamentalmente identica all’Identità dei quattro quadrati di Eulero, che il grande matematico svizzero aveva scoperto un secolo prima…

Quello che però ho scoperto in questi giorni è che i quaternioni non sono stati l’unico modo per rappresentare l’algebra corrispondente agli spazi 3D e 4D! I primi esempi sono stati trovati da James Cockle, un altro avvocato prestato alla matematica. Nel 1848 Cockle propose i tessarini, che sono definiti dalle seguenti relazioni:

$$i j = j i = k, \quad i^2 = -1, \quad j^2 = 1$$

I tessarini sono stati creati per rappresentare seno e coseno iperbolico, ma hanno lo svantaggio di avere dei divisori dello zero, cioè due numeri non nulli tale che il loro prodotto sia zero. L’anno successivo Cockle propose così i coquaternioni, con le relazioni

$$i^2 = -1, \quad j^2 = k^2 = 1, \quad ij = k = -ji $$

Anche in questo caso però abbiamo divisori dello zero e addirittura elementi nilpotenti (che cioè elevati a una potenza sufficientemente alta danno zero.

Tutti questi tipi di numero vengono oggi visti come matrici 2×2: abbiamo per i quaternioni le unità

$$1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad
i = \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix} \qquad
j = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \qquad
k = \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix}$$

Per i tessarini valgono invece le uguaglianze

$$1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad
i = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \qquad
j = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \qquad
k = \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix}$$

Per i coquaternioni infine abbiamo

$$1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad
i = \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix} \qquad
j = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \qquad
k = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

In pratica tutte queste algebre sono casi speciali dei biquaternioni, che sono appunto algebre sulle matrici 2×2. Non potete dire che i matematici non abbiano fantasia…