Sappiamo che per alcuni numeri primi $p$ lo sviluppo decimale di $\frac{1}{p}$ ha esattamente $p-1$ cifre. Per esempio, $ \frac{1}{7} = 0,\!(142857)$ e $ \frac{1}{19} = 0,\!(052631578947368421)$, dove le parentesi tonde indicano il periodo. Questi numeri sono detti numeri primi lunghi (full reptend primes) e costituiscono la successione A001913 in OEIS. Per altri numeri primi, invece, il periodo è più corto, anche se deve essere necessariamente un fattore di $p-1$; per esempio $ \frac{1}{13} = 0,\!(076923)$ e $ \frac{1}{37} = 0,\!(027)$. Nel caso dei numeri primi lunghi sappiamo che il periodo si ripete ciclicamente: i resti di $\frac{i}{7}$ sono 142857, 285714. 428571, 571428, 714285, 857142. Negli altri casi troveremo più gruppi di periodi ciclici: nel caso di $\frac{i}{13}$ abbiamo 076923, 153846, 230769, 307692, 384615 e così via. Notate che almeno a prima vista non c’è nessun ordine nella successione; il primo periodo è in posizione 1, 3, 4 e il secondo in posizione 2 e 5. Questi periodi si chiamano insiemi ripetuti distinti.

Un risultato di James K. Schiller, riportato da John D. Cook, mosgra però che la collezione di insiemi ripetuti distinti per ciascun numero primo è il più uniforme possibile rispetto alle cifre da 0 a 9. Più precisamente, se abbiamo $p = 10q + r$, con $1 \le r \le 9$ e prendiamo tutte le cifre degli insiemi ripetuti distinti avremo che $11 − r$ cifre appariranno $q$ volte e le altre $r − 1$ appariranno $q + 1$ volte. Per esempio con $ \frac{1}{13} $ abbiamo i due insiemi 076923 e 153846, e quindi dovremmo avere due cifre che appaiono due volte e tutte le altre una volta. In effetti troviamo due volte 3 e 6. Un esempio più complicato è $1/73$, che ha i nove periodi 01369863, 02739726, 04109589, 05479452, 06849315, 08219178, 12328767, 16438356 e 24657534; se prendiamo tutte queste cifre scopriamo che anche in questo caso il 3 e il 6 appaiono una volta in più delle altre cifre.

È un caso che siano sempre il 3 e il 6? Secondo me no, ma sono troppo pigro per dimostrare che se il numero primo finisce per 3 le cifre in eccesso sono quelle due, mentre se il numero finisce con 7 saranno 1, 2, 4, 5, 7, 8 e se finisce con 9 saranno tutte tranne 9 e 0 (se finisce per 1 ovviamente tutte le cifre appariranno lo stesso numero di volte). Volete divertirvi voi?