Un palindromo è una parola che può essere letta allo stesso modo da sinistra a destra o da destra a sinistra. Come a suo tempo scrisse Stefano Bartezzaghi, in italiano i palindromi più lunghi secondo le regole della Settimana enigmistica (nomi, oppure verbi all’infinito o al participio) hanno sette lettere (OSSESSO, INGEGNI, ANILINA); accettando i risultati “in altura” (parole desuete) troviamo le otto lettere di EREGGERE, forma antica di erigere; “in favore di vento” (verbi coniugati) tocchiamo le nove lettere di ONORARONO. Se infine accettiamo il doping e inventiamo parole, arriviamo alle quattordici lettere di ACCAVALLAVACCA, ipotetico dispositivo per impilare mucche una sull’altra.
Se dalle lettere passiamo ai numeri, possiamo chiederci se possiamo ottenere un numero qualunque sommando due numeri palindromi. La risposta è no: per arrivare a 201 bisogna per forza sommare tre palindromi, per esempio 101+99+1. Però è sempre possibile ottenere un numero sommando tre numeri palindromi. Questo articolo del 2017 di Javier Cilleruelo, Florian Luca e Lewis Baxter lo dimostra esplicitamente non solo per la base 10 ma per tutte le basi da 5 in su, costruendo una serie di algoritmi che trattano i vari casi. Si può dire qualcosa di più? Non molto, almeno leggendo questo articolo. Si sa che la densità dei numeri che non possono essere scritti come somma di due palindromi è positiva (esiste cioè una costante c per cui la quantità di numeri da 1 a x esprimibili come somma di due palindromi è minore di cx); nel 2024 Dmitrii Zakharov ha trovato un risultato più forte, che cioè esiste una costante c’ per cui la quantità di numeri da 1 x esprimibili come somma di due palindromi è minore di x/logc’x. Quindi per ottenere “quasi tutti” i numeri c’è bisogno di sommare tre palindromi. Per quanto riguarda le altre basi, Aayush Rajasekaran, Jeffrey Shallit e Tim Smith hanno dimostrato che anche in base 3 e 4 bastano tre palindromi, mentre in base 2 ne possono occorrere quattro: che tre non bastassero era già noto, perché 101100002 non può essere scritto come somma di due palindromi, ed essendo pari non può essere somma di tre palindromi, visto che un palindromo in base 2 deve per forza terminare con 1. Questo articolo è interessante perché l’approccio usato per risolverlo è stato costruire un automa che verificasse le proprietà, roba insomma più da informatica teorica che da matematica.
A che serve tutto questo? Ovviamente a nulla :-)
PS: ho provato a chiedere a Gemini “is it true that every positive integer in base 3 is the sum of at most three palindromes? Do you have a source for this?” e ha fallito miseramente, dicendo che sì, è sempre vero, e citando proprio l’articolo qui sopra. Mai fidarsi di un chatbot.