La valutazione p-adica di un numero naturale positivo $n$, definita per un numero primo $p$, è il più grande esponente $v$ tale che $p^v | n$. Se per esempio prendiamo 24, la sua valutazione 2-adica è 3 (24/8 = 3, mentre 24/16 non è intero quindi la valutazione non può essere 4 o di più), quella 3-adica è 3, le altre sono 1. Il valore assoluto p-adico è l’inverso della valutazione p-adica, e la distanza p-adica tra due numeri è il valore assoluto della loro differenza. Detto così mi sa che sia incomprensibile: forse è più semplice se dico che dati due numeri $a$ e $b$, se la loro differenza 2-adica è 1/8 allora la loro differenza deve essere un multiplo di 8 ma non di 16. Ah, per convenzione il valore assoluto p-adico di 0 è 0.

Ordunque: Zpordle (link) è un Worlds con la differenza p-adica. Ci sono dieci numeri primi (eventualmente ripetuti) in ordine crescente, e bisogna indovinare un numero da 1 a 1000. Dopo ciascun tentativo viene indicata la distanza p-adica tra l’ipotesi e il numero reale. Nella partita che ho fatto ieri, il primo tentativo con 500 ha dato norma 1. (“norm” è il valore assoluto p-adico, che assomiglia a una norma ma non lo è davvero: ma gli americani lo chiamano così…) Questo significa che il numero non è pari, altrimenti la differenza con 500 lo sarebbe stata. Il secondo tentativo è stato più fortunato: norma 1/8 vuol dire che la differenza con 257 è un multiplo di 8 ma non di 16, quindi il numero è della forma $8k + 9$. Il terzo è stato ancora più fortunato: sappiamo infatti ora che il numero è della forma $32k + 9$. Quarto e quinto tentativo mi dicono che il numero è della forma $3k + 2$; a questo punto ammetto di avere preso un foglio Google per fare i conti. Sesto e settimo tentativo hanno eliminato i multipli di cinque e quelli della forma $5k + 4$; l’ottavo mi ha confermato che il numero era della forma $5k + 1$. L’unica possibilità era 41, e infatti al nono tentativo ce l’ho fatta. Col senno di poi ho fatto parecchi errori: il primo è cominciare con 500 e non con 512, ma il peggiore è stato il quarto tentativo, dove avrei subito dovuto provare 41, perché sicuramente 18 non poteva essere possibile.

Ok, non credo che Zpordle spodesterà la tombola in attesa del Capodanno, ma magari potete provare a fare una partita per ripassare un po’ l’aritmetica modulare!

Ultimo aggiornamento: 2025-12-31 08:37