Colin Wright ha recentemente postato sul suo sito questa curiosità, segnalatagli da un suo amico.
Passo 1: Scriviamo le potenze di 2 da 0 a 9: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512.
Passo 2: Mettiamo questi numeri in ordine lessicografico: 1, 128, 16, 2, 256, 32, 4, 512, 64, 8.
Passo 3: Mettiamo un punto decimale (o una virgola, se preferite) dopo la prima cifra di ciascun numero: 1.0, 1.28, 1.6, 2.0, 2.56, 3.2, 4.0, 5.12, 6.4, 8.0.
A questo punto abbiamo dieci numeri in ordine crescente, compresi tra 1 e 8. Chiamiamoli “duetti” e lasciamoli un attimo da parte.
Passo 4: Calcoliamo le potenze di $10$ da $10^{0.0}$ a $10^{0.9}$ con gli esponenti che crescono man mano di 0.1. Otteniamo (arrotondando)
$10^{0.0} = 1.000$; $10^{0.1} \approx 1.259$; $10^{0.2} \approx 1.585$; $10^{0.3} \approx 1.995$; $10^{0.4} \approx 2.512$; $10^{0.5} \approx 3.162$; $10^{0.6} \approx 3.981$; $10^{0.7} \approx 5.012$; $10^{0.8} \approx 6.310$; $10^{0.9} \approx 7.943$
Chiamiamo questi dieci valori (che evidentemente sono già in ordine crescente) “potenze”.
Passo 5: Prendiamo i duetti e le potenze, mettiamoli a fianco e vediamo la differenza in percentuale tra i valori corrispondenti:
$$
\begin{matrix}
n & \textrm{potenza} & \textrm{duetto} & \textrm{differenza} \\
0 & 1.000 & 1.0 & 0\% \\
1 & 1.259 & 1.28 & 2\% \\
2 & 1.585 & 1.6 & 1\% \\
3 & 1.995 & 2.0 & 0\% \\
4 & 2.512 & 2.56 & 2\% \\
5 & 3.162 & 3.2 & 1\% \\
6 & 3.981 & 4.0 & 0\% \\
7 & 5.012 & 5.12 & 2\% \\
8 & 6.310 & 6.4 & 1\% \\
9 & 7.943 & 8.0 & 1\% \\
\end{matrix}
$$
Una coincidenza notevole, vero? Ma sarà davvero una coincidenza o c’è qualcosa sotto? Vi lascio un paio di giorni per provare a trovare una spiegazione comprensibile di questa coincidenza. Sono buono e vi voglio aiutare: se provate con le prime venti potenze di 2 (e naturalmente fate crescere le potenze di 10 di un ventesimo anziché un decimo) la coincidenza non c’è. In compenso se provate le prime nove potenze di 6 e fate crescere di un nono le potenze di 10 la coincidenza è ancora maggiore, con un errore massimo dello 0.69%.
Giusto per capire: il fatto che la ricorsività si fermi al penultimo elemento è spiegato anche dalla ratio che dovremmo cogliere?
0, 2, 1, 0, 2, 1…, 1, 1
le diverse differenze percentuali hanno un senso, se scaviamo in fondo: puoi notare come quelle maggiori corrispondono alle potenze di 2 maggiori. Però non sono poi così importanti, anche se magari a qualcuno potrà servire questa nota.