Nel 1958 il matematico scozzese C. Dudley Langford stava guardando suo figlio piccolo che giocava con dei cubi colorati: ne aveva presi sei e li aveva messi in fila. I matematici, si sa, sono brutte persone: invece che giocare con suo figlio, notò che c’erano tre coppie di cubi di colori diversi, rosso, azzurro e giallo. Inoltre i due cubi rossi avevano un altro cubo in mezzo, quelli azzurri due e quelli gialli tre, come nella parte in alto della figura.

Spero dopo aver mandato a dormire il bimbo, Langford da buon matematico provò a vedere se la configurazione era generalizzabile: ci riuscì con quattro coppie, e addirittura con quindici: ma alcuni casi proprio non volevano saperne di avere soluzione, e così congetturò che una soluzione era possibile solo se il numero di coppie fosse della forma $4k$ oppure $4k+3$, come è in effetti il caso: Roy O. Davies lo dimostrò l’anno successivo.

La formulazione matematica del problema di Langford chiede di trovare una successione di $n$ coppie di oggetti, denominati $a_1, a_2, … a_n, b_1, b_2, … b_n$, tali che $b_i − a_i = i + 1 \forall i = 1, …, n$. Il numero di soluzioni, quando ovviamente ci sono, cresce in maniera molto rapida, come si vede nella successione su OEIS: c’è solo una soluzione per 3 o 4 coppie di blocchi, ma per venti coppie ci sono più di 2600 miliardi di possibili soluzioni!

Quasi contemporaneamente da Langford ma in modo indipendente, Thoralf Skolem propose un problema simile, dove però le distanze tra i blocchi $b_i$ e $a_i$ non sono $ i+1$ ma semplicemente $i$. R. S. Nickerson riscoprì il problema una decina d’anni dopo, e così la versione si chiama di Skolem-Nickerson. Come si può vedere nella voce di Wikipedia, per questa versione del problema ci sono successioni solo se il numero di coppie è della forma $4k$ oppure $4k+1$. Anche in questo caso le soluzioni crescono molto rapidamente al crescere del numero di coppie.

Ci sono ancora altre curiosità su questo problema, ma ve le racconto la prossima volta…

(Immagine di RiccardoFila, da Wikimedia Commons, CC-BY-SA 4.0)