Sono in molti a pensare che la geometria classica sia terminata con Euclide e i suoi Elementi, che hanno organizzato tutto. Questo non è affatto vero: esistono tanti teoremi, anche su figure apparentemente semplici come i triangoli, che sono stati scoperti in epoca moderna. Ma soprattutto non dobbiamo dimenticarci che in epoca ellenistica lo studio della matematica in generale e della geometria in particolare è proseguito, e si hanno molti teoremi “classici” ma non “euclidei” (anche se parliamo sempre di geometria euclidea, si intende).

Un esempio è il teorema di Tolomeo, il cui enunciato con relativa dimostrazione si trova nell’Almagesto, e che afferma che in un quadrilatero ABCD ciclico (vale a dire inscritto in una circonferenza), vale la seguente relazione:

cioè che la somma dei prodotti delle coppie di lati opposti è uguale al prodotto delle sue diagonali. Nella figura qui sopra vedete un quadrilatero ciclico con le sue diagonali, e gli angoli uguali a due a due perché angoli alla circonferenza insistenti sullo stesso raggio; quindi $ \alpha + \beta + \gamma + \delta = 180^{\circ}.$

Nel 2015 William Derrick e James Hirstein, dell’università del Montana, hanno pubblicato una dimostrazione senza parole del teorema, che vedete nella figura qui sotto. In pratica si scalano tre dei triangoli mostrati nella figura originale e li si riassemblano per formare un parallelogramma, sfruttando l’equazione sugli angoli che abbiamo appena visto. Il risultato finale è immediato. Qui trovate un video con questa dimostrazione.

Notato nulla di strano? Tolomeo non avrebbe mai usato una dimostrazione del genere, perché abbiamo scritto dei segmenti come fossero delle aree. La forza dell’algebra è anche questa: svincolarci dal significato geometrico degli elementi e considerarli come semplici numeri.