Domenica scorsa è stata Pasqua. Ma come si sapeva che proprio quel giorno era Pasqua? No, non venitemi a dire “la prima domenica dopo il primo plenilunio di primavera”, perché comincio a chiedervi “quando comincia la primavera?” (astronomicamente per esempio in questi anni cade il 20 marzo, e addirittura avremo degli anni in cui cadrà il 19 marzo) e “quando è domenica?” (ecclesiasticamente la domenica comincia al tramonto del sabato, con i primi vespri). A differenza degli islamici, almeno quelli sauditi, per cui boskovianamente “Ramadan comincia con prima falce di luna” (e quest’anno ci sono state due date diverse per l’inizio, quella astronomica e quella visuale), per i cristiani è necessario sapere già all’Epifania quando sarà Pasqua e quindi si è preparato tutto un armamentario di conteggi, con epatta e numero aureo, per avere la data sempre a disposizione. Ah, per definizione la primavera inizia il 21 marzo. Ma per fare questi conti occorre avere una serie di tabelle, e soprattutto tenere conto che l’approssimazione del ciclo di Metone, per cui 19 anni corrspondono esattamente a 235 mesi lunari, è per l’appunto un’approssimazione… oltre a incasinare il tutto passando al calendario gregoriano che segue sì più correttamente le stagioni ma complica parecchio i conti.

A questo punto entra in scena uno che i conti li sapeva fare sin troppo bene: Carl Friedrich Gauss. Il burbero genio aveva probabilmente qualche ora di svago e nel 1800 preparò un metodo che permette di calcolare a mente (d’accordo, se ti chiami Gauss…) la data della Pasqua per tutto un secolo; con il calendario giuliano in realtà il conto è perpetuo, mentre con quello gregoriano occorre imparare anche due numeri specifici per ciascun secolo. La buona notizia è che dal 1900 al 2099 quei due numeri restano identici, quindi per quanto ci riguarda il problema non si pone. Ma veniamo al conteggio, che richiede di usare l’aritmetica modulare, cioè il resto della divisione per un qualche numero intero. Dato un anno X, calcoliamo a = X mod 19, b = X mod 4, c = X mod 7; poi calcoliamo d = (19a + M) mod 30 ed e = (2b + 4c + 6d + N) mod 7. A questo punto sappiamo che Pasqua sarà il (22 + d + e) marzo, dove ovviamente il 32 marzo è il primo aprile e così via.

I più perspicaci di voi, cioè tutti, avranno notato che ho aggiunto altre due variabili, M e N. Nel calendario giuliano le cose erano semplici: valevano rispettivamente 15 e 5. Per il calendario gregoriano i loro valori cambiano di secolo in secolo: come dicevo sopra, però, dal 1900 al 2099 abbiamo M=24 e N=6. A questo punto possiamo fare la controprova: nel 2026 abbiamo a = 2026 mod 19 = 12, b = 2026 mod 4 = 2, c = 2026 mod 7 = 3, d = (19·12 + 24) mod 30 = 12 ed e = (2·2 + 4·3 + 6·12 + 5) mod 7 = 2. Infine 22+12+2 = 36, pertanto Pasqua è il “36 marzo” vale a dire il 5 aprile. Per il 2027 abbiamo a = 2026 mod 19 = 13, b = 2026 mod 4 = 3, c = 2026 mod 7 = 4, d = (19·13 + 24) mod 30 = 1 ed e = (2·3 + 4·4 + 6·1 + 5) mod 7 = 5, quindi Pasqua è il 22+1+5 cioè il 28 marzo. Per completezza aggiungo due eccezioni: se il conto dà 26 aprile allora Pasqua è il 19 aprile, mentre se dà 25 aprile con d = 28, e=6 e a=10 allora è il 18 aprile. Sempre per completezza, la prima formula di Gauss valeva solo dal 1700 al 1899; nel 1807 la generalizzò aggiungendo una formula per calcolare M e N e nel 1816 corresse un errore.

Come ha fatto Gauss a trovare questa formula? Per una volta ce l’ha spiegato: la prima parte serve ad approssimare la posizione della luna e la seconda per aggiustare le cose secondo il computo ecclesiastico. Se siete persone amanti del rischio, Wikipedia in inglese ha la spiegazione… oppure vi leggete il testo originale in tedesco. Può infine essere divertente notare che secondo il calendario gregoriano le date della Pasqua si ripeterebbero ogni 5 milioni e 700000 anni, che la daa più frequente è il 19 aprile mentre quella meno probabile è il 22 marzo che capita meno di una volta ogni 200 anni. Pensate solo a cosa succederebbe se si fissasse una volta per tutte la data della Pasqua, tipo alla seconda domenica di aprile: tutto questo lavoro per nulla!